03，四川省眉山市仁寿县城区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题

这是一份03，四川省眉山市仁寿县城区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A. a≥1B. a≠2C. a≥﹣1且a≠2D. a＞2
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质得出a的取值范围．
【详解】解：∵有意义，
∴a+1≥0，且a-2≠0，
解得：a≥-1，且a≠2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
2. 下列各组中的四条线段成比例的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、，四条线段不成比例，故本选项不合题意；
B、，四条线段不成比例，故本选项不合题意；
C、，四条线段成比例，故本选项符合题意；
D、，四条线段不成比例，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了成比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3. 若3a-2b=0，则的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，求得，代入即可．
【详解】解：∵
∴，
代入得，
故答案为D．
【点睛】此题考查了分式求值，根据的等量关系代换是解题的关键．
4. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：∵方程中的，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，用判别式来判断，若，则有两个不相等的实数根；，则有两个相等的实数根；，则无实数根．
5. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程中二次项系数不为零及根的判别式建立不等式组求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：且．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握根的判别式是解题的关键，注意不要忽略“一元二次方程二次项系数不为零”这一隐含条件．
6. 如图，小正方形的辺长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查网格中三角形相似，涉及相似三角形的判定、网格中求角度与线段长等知识，根据题中图形得到，，由三角形相似的判定定理逐项验证即可得到答案，熟记相似三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：中，，，
A、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
B、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
C、中的三角形（阴影部分），，则，由两个三角形相似的判定定理可知，，该选项符合题意；
D、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
故选：C．
7. 若 是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 是一元二次方程的两个实数根，分别把代入，得出关于的方程，利用这些方程结合目标代数式变形，利用根与系数的关系即可．
【详解】 是一元二次方程的两个实数根，
，，变形得：，，
把左右两边同乘以得：，变形得：，

根据根与系数的关系可得： ，代入上式
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，关键是根据根的定义及根与系数的关系得出关于的方程后变形代入目标代数式，解题技巧体现为代入时“降次”（例如：）．
8. 如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人形通道，设人行道的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题.
【详解】由题意可得，
，
故选：.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.
9. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是找到对应线段成比例.
10. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵若点A在反比例函数（）的图象上，
∴，
∴，
∴，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数k的几何意义，正确得出是解题关键．
11. 如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是（ ）

A. 4B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．
【详解】∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，又∠ADC=∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴，，
∴ ，即，
解得，CD=6，
∴，
解得，BD=4，
∴BC=，
故选：C．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12. 已知，下列结论正确的个数为（ ）
①若是完全平方式，则；
②的最小值是2；
③若n是的一个根，则；
④若，则．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③根据一元二次方程的解，以及完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解．
【详解】解：①∵是完全平方式，
∴，
∴，故结论正确；
②∵，而，
∴，
∴最小值是2，故结论正确；
③∵
把代入，得：
，
即，
此时，
∴，即，
∴，
∴故结论错误；
④∵，
∴，
∴，故结论错误；
故选B．
二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 化简______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质先化简再计算即可．
【详解】原式
故答案为．
【点睛】本题考查二次根式的加减法，解题方法一般先化简再合并同类二次根式．
14. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设．则原方程转化为关于的一元二次方程，即；然后解关于的方程即可．
【详解】解：设．则
，即，
解得，或不合题意，舍去)；
故．
故答案是：．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的的取值范围：．
15. 如图，有长为 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为 ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为 的花圃， 的长是____．

【答案】
【解析】
【分析】设的长为 ，则的长为 ，由题意得， ，整理得 ，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设的长为 ，则的长为 ，
由题意得， ，整理得 ，
解得，或，
当时，的长为 ，不满足题意，舍去，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并求解．
16. 已知，则 k的值是 _____ ．
【答案】2或﹣1##﹣1或2
【解析】
【分析】根据比例的基本性质，三等式相加，即可得出k值．
【详解】解：∵，
∴，
分两种情况：
①若a+b+c≠0，则k=2；
②a+b+c=0时，a+b=﹣c，则k=﹣1；
故答案为：2或﹣1．
【点睛】本题考查比例的性质，掌握并熟练运用比例的基本性质是解题关键．
17. 如图，在平行四边形中，的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】由，可以假设，则，，证明，，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：设，
∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
18. 如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H；连接．以下四个结论：①；②；③；④．则上述结论正确的有_____．（把正确的代号填在横线上）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题综合考查了正方形性质、相似三角形的判定与性质等知识点．①由即可判断；②根据，，即可判断；③可证进行判断；④可由②进行判断．
【详解】解：①由题意得：，
∵，，
∴，
故①正确；
②由题意得：，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
故②正确；
③由题意得：
∵，
∴
∴，即：
∵，
∴
在中，，
∴
故③错误；
④由②知：
∴
故在正方形的另一条对角线上，
∴
故④正确；
故答案：①②④
三、解答题：（本大题共8个题，共78分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）2 （2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算．解题的关键是熟练掌握，负整数指数幂和零指数幂运算法则，算术平方根性质，平方差公式，分母有理化，是解题的关键．
（1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，算术平方根性质进行计算即可．
（2）先利用平方差公式，分母有理化化简，再合并即可．
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式
．
20. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程．
（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，即，
，
，；
【小问2详解】
解：，
，
或，
，．
21. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分式的化简求值．首先把分式分子分母能分解因式的先分解因式，进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．
【详解】解：
，
，
，
由知，，
则，
即的值为．
22. 今年大德福超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？
【答案】（1）四、五这两个月销售量的月平均增长率为
（2）当商品降价5元时，商场月获利元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设四、五这两个月销售量的月平均增长率为x，则四月份的销售量为件，五月份的销售量为件，再根据五月份的销售量为400件列出方程求解即可；
（2）设商品降价m元时，商场月获利元，则月销售量为件，每件的利润为，再根据总利润每件利润销售量列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设四、五这两个月销售量的月平均增长率为x，
由题意得，
解得或（舍去），
∴四、五这两个月销售量的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设商品降价m元时，商场月获利元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
∴当商品降价5元时，商场月获利元．
【点睛】，
23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若，满足，求的值．
【答案】（1）或2；
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键．
（1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到△，于是得到结论；
（2）根据，，代入，解方程即可得到结论．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：，
为正整数，
，2；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
解得：，，
，
．
24. 为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测 量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F 处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．
（1）直接写出 ；
（2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度．
【答案】（1）；（2）学校旗杆AB的高度为25米．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件推出△ABC∽△EDC，即可求解；
（2）根据已知条件推出△HGF∽△HAB，即可求解．
【详解】解：（1）∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ECD=∠ACB，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∵CD=1.8米，ED=1.5米，
∴=；
故答案为：；
（2）设AB=x，则BC=，
∵∠ABH=∠GFH=90°，∠AHB=∠GHF，
∴△HGF∽△HAB，
∴，
BH=BC+CD+DF+FH=+1.8+3.3+2.4=+7.5，GF=1.6米，FH=2.4米，
∴，
解得：x=25．
答：学校旗杆AB的高度为25米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
25. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△FCD∽△ABC；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值；
（3）若S△FCD＝10，BC＝16，请直接写出DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）DE=．
【解析】
【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；
（2）根据相似三角形的性质解答即可；
（3）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．
【详解】（1）证明：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
又∵DE=DE，
∴△BDE≌△CDE（SAS），
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）解：∵AD=AC，AM⊥DC，
∴DM=DC，
∵BD=DC，
∴，
∵DE⊥BC，AM⊥BC，
∴DE∥AM，
∴；
（3）过点A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴，
∵S△FCD=10，
∴S△ABC=40，又BC=16，
∴AM=5；
∵DE∥AM，
∴，
∵BD=CD=BC=8，DM=CD=4，BM=BD+DM=12，
∴DE=．
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，也利用了三角形的面积公式求线段的长．
26. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒．
（1）若平分，求t的值；
（2）当时，求点E的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先证是等腰直角三角形，得，即可得出结论；
（2）通过证明，可得，即可求解；
（3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出的值即可．
【小问1详解】
解：当平分时，，
∴是等腰直角三角形，
【小问2详解】
∵，
又
，
，
当时，，
∴，
∴点坐标为；
【小问3详解】
存在以、、为顶点的三角形与相似．理由如下：
当点在点上方时，如图1，
若时，
又∵，
∴，
∵，
∴，
解得：(不合题意舍去)，
∴；
∴点；
当点在点下方时，如图2，
①若时，
又∵，
则，
解得：(不合题意舍去)，
②若，则，
整理得：，
∴这种情况不成立；
综上所述，在运动的过程中，存在以、、为顶点的三角形与相似，点或．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．