四川省乐山市峨眉山市博睿特外国语学校2023-2024学年上学期九年级期中数学试卷+

这是一份四川省乐山市峨眉山市博睿特外国语学校2023-2024学年上学期九年级期中数学试卷+，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，最简二次根式为( )
A. B. C. D.
2.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
3.下列方程中，有两个不等实数根的是( )
A. B.
C. D.
4.下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定∽的是( )
A. B. C. D.
6.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为( )
A. B.
C. D.
7.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )
A. B. C. D.
8.如图所示，已知的周长为1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2021个三角形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
9.在中，，如果，，那么的值是( )
A. B. C. D.
10.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )
A. 且B. 且
C. D. 且
11.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③其中正确结论的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
12.如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与相似的，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的最大面积是( )
A. 5B. 10C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
13.当x ______时，二次根式在实数范围内有意义．
14.如图，在中，点D是BC的中点，点G为的重心，，则______.
15.已知，化简：______.
16.已知的值为11，则代数式的值为______.
17.已知m，n为实数，且满足，则______.
18.如图，中，D在AC上，且AD：：n，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，那么的值为______用n表示
19.已知，且满足，，那么的值为______.
20.如图，点B、C是线段AD上的点，、、都是等边三角形，且，，已知与的相似比为2：则
①______；
②图中阴影部分面积为______.
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
21.先化简，再求值：，其中
四、解答题：本题共9小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.本小题8分
计算：
23.本小题8分
用适当的方法解下列方程：
；
24.本小题8分
如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且，，，，求BC的长．
25.本小题9分
如图，在的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和的顶点均为格点．
以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为1：2；保留作图痕迹，不要求写作法和证明
若点C的坐标为，则点的坐标为______，______，点的坐标为______，______，：______.
26.本小题9分
某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的倍．
当每个纪念品定价为元时，商店每天能卖出______件；
如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？
27.本小题9分
已知关于x的方程
当k是为何值时，此方程有实数根；
若此方程的两个实数根、满足：，求k的值．
28.本小题9分
已知：的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为
为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？
在的条件下，，动点P从C出发以的速度向A运动，动点Q从A出发以的速度向B运动．
①t为何值时，？
②t为何值时，与相似？
29.本小题10分
如果①；②；③；④；……
回答下列问题：
利用你观察到的规律求；
计算：…
30.本小题11分
如图，在直角中，，，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，交AB于点F，若，为实数试探究线段EF与EG的数量关系．
如图，当，时，EF与EG的数量关系是______.证明：
如图，当，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是______.证明：
如图，当m，n均为任意实数时，EF与EG的数量关系是______写出关系式，不必证明
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、是最简二次根式，故本选项正确；
D、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】D
【解析】解：由合比性质，得
，
故选：
根据合比性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系.总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
整理每个方程后，利用与0的关系来判断每个方程的根的情况．有两个不等实数根即
【解答】
解：，方程无实根．
B.，方程无实根．
C.，方程有两个相等的实数根．
D.，方程有两个不相等的实数根．
故选
4.【答案】C
【解析】解：A、，本选项错误；
B、，本选项错误；
C、，本选项正确；
D、，本选项错误．
故选
结合二次根式混合运算的运算法则进行求解即可．
本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式混合运算的运算法则．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．
【解答】解：，
，
A.添加，可用两角法判定∽，故本选项错误；
B.添加，可用两角法判定∽，故本选项错误；
C.添加，可用两边及其夹角法判定∽，故本选项错误；
D.添加，不能判定∽，故本选项正确；
故选：
6.【答案】D
【解析】解：一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
可列方程为，
即
故选：
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额万元，把相关数值代入即可．
考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，属于基础题．
根据三边对应成比例，两三角形相似即可得解．
【解答】
解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，，
A、三角形三边2，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B、三角形三边2，4，，与给出的三角形的各边成比例，故B选项正确；
C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．
故选：
8.【答案】D
【解析】解：如图，
、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
、EF、DF分别为的中位线，
，，，
的周长，
第二个三角形的周长是，
同理可得，第三个三角形是，
……
第2021个三角形的周长是，
故选：
根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是三角形的中位线定理，图形的变化规律，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意得：
故选：
本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解．
此题考查了三角函数的定义．可借助图形分析，确保正确率．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意得：，且，
解得且
故选：
利用一元二次方程的定义、二次根式的意义以及根的判别式的意义得到，且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析3条结论的正误是解题的关键．
设方程的两根为、，方程的两根为、
①根据方程解的情况可得出、，结合根与系数的关系可得出、，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出、，将展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出、，结合、、、均为负整数即可得出，③成立．综上即可得出结论．
【解答】
解：设方程的两根为、，方程的两根为、
①关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，
，，
，，
这两个方程的根都是负根，①正确；
②关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，
，，
，，
，②正确；
③，，
，
、均为负整数，
，
，，
，
、均为负整数，
，
，即
，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选
12.【答案】A
【解析】解：从图中可以看出的三边分别是2，，，
要让的相似三角形面积最大，尝试让DF为网格最大的对角线，即是，
所以这两个相似三角形的相似比是，
则另外两边长为，可得在第二列第三行的交点处符合题意。
此时两个相似三角形的面积比是1：5，
的面积为，
所以的最大面积是故选
要让的相似三角形面积最大，就要让DF为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答．
本题的关键是先求出最大的相似三角形，然后再利用面积比等于相似比的平方即可求解．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得
故答案为：
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
14.【答案】1
【解析】解：点G为的重心，
，
故答案为：
根据三角形的重心的性质解答即可．
本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
15.【答案】1
【解析】解：，
故答案为：
直接利用绝对值的性质结合二次根式的性质化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用a的取值范围化简是解题关键．
16.【答案】30
【解析】解：的值为11，
故答案为：
把代入代数式，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，注意代入法的应用．
17.【答案】33
【解析】解：依题意得：，
解得，则，
所以
故答案是：
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为零求得，则，代入求值即可．
本题考查了二次根式有意义的条件．注意本题中的分母
18.【答案】
【解析】证明：：：n，
：：
作DG平行于AF交BC于G，则，
根据比例的性质知，，
又E是BD的中点，
是的中位线，
故答案为：
作DG平行于AF交BC于由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得；然后根据三角形中位线的定义知，所以由等量代换证得结论．
本题考查了平行线分线段成比例．列比例式时，一定要找准对应线段，以防错解．
19.【答案】
【解析】解：，且满足，，
、b为方程的两个实数根，
，，
故答案为：
由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．
20.【答案】10；
【解析】【分析】
本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于②判断出直角三角形．
①利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
②设AG与CF、BF分别相交于点M、N，根据等边对等角求出，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例求出CM，从而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
①解：、都是等边三角形，
∽，，
即，解得；
②解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
即，
解得，
所以，，
，
，
，
即阴影部分面积为
故答案为：10；
21.【答案】解：原式
，
，
原式
【解析】先化简，再把x的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，化简此分式是解题的关键．
22.【答案】解：

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
23.【答案】解：，
或，
所以，；
，
，
，
，
所以，
【解析】利用因式分解法解方程；
利用配方法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
24.【答案】解：，，
∽，
，
，

【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
本题考查一元二次方程以及相似三角形，解题的关键是熟练运用方程的解法以及相似三角形的判定，本题属于基础题型．
25.【答案】解：如图所示：即为所求；
，0；1，2；1：
【解析】【分析】
此题主要考查了位似变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
利用与位似，且位似比为1：2，作出对应点即可；
利用所画图形得出对应点坐标进而利用相似三角形的性质得出面积比．
【解答】
解：见答案；
，，
：：
故答案为：，0；1，2；1：
26.【答案】解：；
设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得
整理得：
解之得：，
物价局规定，售价不能超过批发价的倍．即
不合题意，舍去，得
答：应定价4元/个，才可获得800元的利润．
【解析】解：每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨元，其销售量将减少10件，
当每个纪念品定价为元时，商店每天能卖出：件；
故答案为：450；
见答案．
直接利用每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨元，其销售量将减少10件，进而得出当每个纪念品定价为元时，商店每天能卖出的件数；
利用销量每件利润，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
27.【答案】解：关于x的方程有实数根，
，
解得：，
当时，方程有实数根．
方程的两个实数根为、，
，
，
、均为正数，
，即，
解得：
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
根据根与系数的关系可得出、，结合k的取值范围可得出、均为正数，根据可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元一次方程不等式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；根据根与系数的关系结合找出关于k的一元一次方程．
28.【答案】解：由根与系数的关系得：，，
是以BC为斜边的直角三角形，
即
化简得：
解得 ，
当时，方程为，
AB、AC两边为3，4；
当时，方程为，
AB、AC两边为，；不合题意，舍去．
综上：当时，是以BC为斜边的直角三角形；
①，
，，
则，，
由题意得，，
整理得，，
解得，，舍去，
答：当t为1时，；
②当，即时，∽，
解得，
当，即时，∽，
解得，，
答：当或时，与相似．
【解析】根据根与系数的关系得到，，根据勾股定理列出方程，解方程求出k，把k代入原方程检验即可；
①根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可；
②分∽和∽两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用一元二次方程的相关知识是解题的关键．
29.【答案】解：①；②；③；④；……
；
…
…

【解析】分析所给的式子不难得出；
利用中的规律进行求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
30.【答案】；
如图1，连接DE，
，，当，时
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
；
证明：如图2，作于点M，于点N，
，
∽，
，
即，
，
∽，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
又，，
，
，
，
∽，
，
即；

【解析】解：见答案；
见答案；
证明：如图2，作于点M，于点N，
，
∽，
，
即，
，
∽，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
又，，
，
，
，
∽，
，
即
故答案为：
【分析】
本题需要寻找相似三角形，并利用相似三角形的性质依次推理得出结论．
此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解，难度较大．