2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题2.2 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】- （新高考专用）

这是一份2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题2.2 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】- （新高考专用），文件包含专题22函数的单调性奇偶性对称性与周期性九大题型举一反三新高考专用原卷版docx、专题22函数的单调性奇偶性对称性与周期性九大题型举一反三新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题2.2 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】
【新高考专用】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17847" 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 PAGEREF _Tc17847 \h 2
\l "_Tc25272" 【题型2 利用函数的单调性求参数】 PAGEREF _Tc25272 \h 4
\l "_Tc25907" 【题型3 利用函数的单调性求最值】 PAGEREF _Tc25907 \h 6
\l "_Tc21434" 【题型4 函数的奇偶性及其应用】 PAGEREF _Tc21434 \h 9
\l "_Tc24305" 【题型5 函数的对称性及其应用】 PAGEREF _Tc24305 \h 10
\l "_Tc20183" 【题型6 函数的周期性及其应用】 PAGEREF _Tc20183 \h 12
\l "_Tc18614" 【题型7 利用函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc18614 \h 16
\l "_Tc17362" 【题型8 利用函数的性质解不等式】 PAGEREF _Tc17362 \h 18
\l "_Tc2053" 【题型9 函数性质的综合应用】 PAGEREF _Tc2053 \h 21
1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大.
【知识点1 函数的单调性与最值的求法】
1.求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
3.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4.复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【知识点2 函数的奇偶性及其应用】
1.函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2.函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【知识点3 函数的周期性与对称性常用结论】
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)=，则T=2a；
(5)若f(x+a)=，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数f(x)=x2−4|x|+3的单调递减区间是（ ）
A．(−∞,−2)B．(−∞,−2)和(0,2)
C．(−2,2)D．(−2,0)和(2,+∞)
【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求
【解答过程】fx=x2−4x+3=x2−4x+3, x≥0x2+4x+3, x<0，
则由二次函数的性质知，当 x≥0时，y=x2−4x+3=x−22−1的单调递减区间为0,2；
当x<0，y=x2+4x+3=x+22−1的单调递减区间为−∞,−2，
故fx的单调递减区间是(−∞,−2)和(0,2).
故选：B.
【变式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中校考期中）“函数fx在区间1,2上不是增函数”的一个充要条件是（ ）
A．“存在a，b∈1,2，使得aB．“存在a，b∈1,2，使得aC．“存在a∈1,2，使得fa≤f1”
D．“存在a∈1,2，使得fa≥f2”
【解题思路】由增函数的定义，结合全称命题的否定形式，即可判断选项.
【解答过程】若函数fx在区间1,2是增函数，
即任意a,b∈1,2，使得a则若函数fx在区间1,2不是增函数，
即存在a,b∈1,2，使得a故选：B.
【变式1-2】（2022·江西·校联考二模）已知函数fx=x2−2,x≥0,x+3,x<0,若fa=fa+3，则gx=ax2+x的单调递增区间为（ ）
A．18,+∞B．−∞,18
C．12,+∞D．−∞,12
【解题思路】先根据题目条件求出a 的值，再根据二次函数的性质求出g(x) 的单调递增区间
【解答过程】解：依题意，a+3=a+32−2,a<0≤a+3,解得a＝－1，故gx=−x2+x，可知gx在−∞,12上单调递增
故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2>−1，则下列说法正确的是（ ）
A．y=f(x)+x是增函数B．y=f(x)+x是减函数
C．y=f(x)是增函数D．y=f(x)是减函数
【解题思路】对题中条件fx1−fx2x1−x2>−1进行变化，构造新函数g(x)=f(x)+x，根据增、减函数的定义即可.
【解答过程】不妨令x1∵fx1−fx2x1−x2>−1⇔f(x1)−f(x2)<−(x1−x2)⇔f(x1)+x1令g(x)=f(x)+x，∴g(x1)又x1故选:A.
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【例2】（2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习）已知函数fx=−x2+2ax+4,x⩽1,1x,x>1是−12,+∞上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．−1,−12B．−∞,−1
C．−1,−12D．−∞,−1
【解题思路】首先分析知，x>1，函数单调递减，则x⩽1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.
【解答过程】显然当x>1时，fx=1x为单调减函数，fx当x⩽1时，fx=−x2+2ax+4，则对称轴为x=−2a2×−1=a，f1=2a+3
若fx是−12,+∞上减函数，则a≤−122a+3≥1 解得a∈−1,−12，
故选：A.
【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知fx是定义在R上的单调函数，∀x∈R,ffx−x3−2x+1=13，则f5=（ ）
A．114B．116C．134D．136
【解题思路】借助换元思想即可解答.
【解答过程】由题意可知fx−x3−2x+1是一个常数，
设fx−x3−2x+1=t，则fx=x3+2x+t−1，
因为ffx−x3−2x+1=13，
所以ft=t3+3t−1=13，
因为ft=t3+3t−1在R上单调递增，且f2=13，
所以t=2，
所以fx=x3+2x+1，
则f5=53+2×5+1=136.
故选：D.
【变式2-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题p:fx=x2+ax−8,−1≤x≤1−a+4x−3a,x<−1在x∈(−∞,1]上为增函数，命题q:g(x)=a2x−4x−2在(2,+∞)单调减函数，则命题q是命题p的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】求出命题p,q中a的范围，根据充分条件，必要条件的概念判断.
【解答过程】若fx=x2+ax−8,−1≤x≤1−a+4x−3a,x<−1 在x∈−∞,1为增函数，
则−a2≤−1−a+4>0(−1)2+a⋅(−1)−8≥(−a+4)⋅(−1)−3a，解得3≤a<4；
g(x)=a2x−4x−2=a2(x−2)+2a2−4x−2=a2+2a2−4x−2在(2,+∞)为减函数，则2a2−4>0，即a>2或a<−2，
因为“3≤a<4”能推出“a>2或a<−2”，反之不成立，
所以命题q是命题p的必要不充分条件，
故选：B．
【变式2-3】（2023·北京丰台·统考一模）已知函数fx的定义域为R，存在常数tt>0，使得对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，当x∈0,t时，f(x)=x−t2．若fx在区间3,4上单调递减，则t的最小值为（ ）
A．3B．83C．2D．85
【解题思路】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.
【解答过程】因为存在常数tt>0，使得对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，
所以函数的周期为t，
当x∈0,t时，函数f(x)=x−t2在[0,t2)单调递减，
所以当x≥0时，函数f(x)=x−t2在[nt,(2n+1)t2)n∈N∗上单调递减，
因为fx在区间3,4上单调递减，
所以有nt≤32n+1t2≥4⇒t≤3nt≥82n+1⇒83≤t≤3，
故选：B.
【题型3 利用函数的单调性求最值】
【例3】（2023·江西九江·校考模拟预测）若0A．最小值3B．最大值3C．最小值9D．最大值9
【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.
【解答过程】令y=6x−x2=−(x−3)2+9，对称轴为x=3，开口向下，
因为0故选：D.
【变式3-1】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数fx=x−2x,gx=ax+2,x∈R，用Mx表示fx,gx中的较大者，记为Mx=maxfx,gx，若Mx的最小值为1，则实数a的值为（ ）
A．0B．±12C．±2D．±2
【解题思路】画出fx=x−2x的图象，分a=0，a>0和a<0三种情况，画出Mx的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案.
【解答过程】令ℎx=x−2x，定义域为−∞,0∪0,+∞，令ℎx=0，得x=±2，
且在−∞,0,0,+∞上单调递增，
画出函数图象如下：

则fx=x−2x的图象如下：

若a=0，则gx=2，画出Mx的图象如下，

显然最小值为2，不合题意，
若a>0，则画出Mx的图象如下：

显然函数在A点取得最小值，
令2x−x=1，解得x=−2，正值舍去，
令−2a+2=1，解得a=12，
若a<0，则画出Mx的图象如下：

显然函数在B点取得最小值，
令x−2x=1，解得x=2，负值舍去，
令2a+2=1，解得a=−12，
综上，a=±12.
故选：B.
【变式3-2】（2023下·山东青岛·高一统考开学考试）已知x>0，y>0，S=2xy4x2+y2+xyx2+y2，则（ ）
A．S的最大值是910B．S的最大值是223
C．S的最大值是32D．S的最大值是924
【解题思路】根据题意整理得S=32xy+yx2xy+yx2+1，令t=2xy+yx，利用基本不等式求得t∈22,+∞，进而整理可得S=3t+1t，结合对勾函数求最值.
【解答过程】∵S=2xy4x2+y2+xyx2+y2=2xyx2+y2+xy4x2+y24x2+y2x2+y2=6x3y+3xy34x4+5x2y2+y4=32xy+yx2xy2+yx2+5=32xy+yx2xy+yx2+1，
令t=2xy+yx，
∵x>0，y>0，则t=2xy+yx≥22xy×yx=22，当且仅当2xy=yx，即y=2x时等号成立，
故t∈22,+∞，可得S=32xy+yx2xy+yx2+1=3tt2+1=3t+1t，
又∵ft=t+1t在22,+∞上单调递增，则ft≥f22=22+122=924，
∴S=3t+1t≤3924=223，即S的最大值是223.
故选：B.
【变式3-3】（2023上·浙江·高三校联考期中）已知函数fx的定义域为R+，对于任意的x，y∈R+，都有fx+fy=fxy+1，当x>1时，都有fx>1，且f2=2，当x∈1,16时，则fx的最大值是（ ）
A．5B．6C．8D．12
【解题思路】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可.
【解答过程】令x=y=1，则f1=1，且f2+f2=f4+1
故f4=3，f4+f4=f16+1，故f16=5
且令x=x1，y=x2x1，可得fx1+fx2x1=fx2+1
设x2>x1，则x2x1>1，fx1−fx2=1−fx2x1<0
则fx1∴fx的最大值是f16=5
故选：A.
【题型4 函数的奇偶性及其应用】
【例4】（2023·河南开封·统考模拟预测）函数f(x)满足f(x)=2x−1x−2，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f(x+1)−2B．f(x+2)−2C．f(x−2)+2D．f(x+1)+2
【解题思路】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.
【解答过程】A：f(x+1)−2=2x+1x−1−2=3x−1，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合；
B：f(x+2)−2=2x+3x−2=3x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且3−x=−3x，符合；
C：f(x−2)+2=2x−5x−4+2=4x−13x−4，定义域为{x|x≠4}，不关于原点对称，不符合；
D：f(x+1)+2=2x+1x−1+2=4x−1x−1，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合；
故选：B.
【变式4-1】（2023·湖南·校联考模拟预测）设函数fx的定义域为R，且fx+1是奇函数，f2x+3是偶函数，则（ ）
A．f0=0B．f4=0C．f5=0D．f−2=0
【解题思路】由奇函数、偶函数的性质求解即可.
【解答过程】因为fx+1是奇函数，所以f−x+1=−fx+1，则f1=0．
又f2x+3是偶函数，所以f−2x+3=f2x+3，所以f5=f1=0．
故选：C.
【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=x2−ax+a−1，则满足fx≥0的x的取值范围是（ ）
A．−∞,−1∪0,1B．−1,1C．−1,0∪1,+∞D．−∞,−1∪1,+∞
【解题思路】先通过函数为奇函数求出a，再通过求解二次不等式以及奇函数的对称性得答案.
【解答过程】依题意fx是奇函数，所以f0=a−1=0，即a=1，
则fx=x2−x，x≥0，
当x≥0时，令fx≥0，解得x≥1或x=0，
根据对称性，当−1≤x<0时，fx≥0，
故满足fx≥0的x的取值范围是−1,0∪1,+∞．
故选：C．
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=lnx2+1+x+2x3,gx是定义在R上的偶函数，且gx在−∞,0上单调递增，则下列判断正确的是（ ）
A．fx⋅gx是偶函数
B．fx⋅gx是奇函数
C．fg2023D．gf2023>gf2024
【解题思路】利用函数的奇偶性的定义判断选项A，B；利用函数的单调性判断选项C，D.
【解答过程】易知函数fx,gx的定义域均为R．当x≥0时，易知函数fx在0,+∞上单调递增，
又f−x+fx=lnx2+1−x−2x3+lnx2+1+x+2x3=ln1=0，所以fx为奇函数，
易知f0=0，所以函数fx在−∞,+∞上单调递增．
因为gx是定义在R上的偶函数，且在−∞,0上单调递增，所以gx在0,+∞上单调递减．
选项A：因为f−x⋅g−x=−fx⋅gx，所以fx⋅gx是奇函数，所以A错误；
选项B：因为f−x⋅g−x=fx⋅gx，所以fx⋅gx是偶函数，所以B错误；
选项C：因为g2023>g2024，所以fg2023>fg2024，所以C错误；
选项D：因为0=f0gf2024，所以D正确．
故选：D.
【题型5 函数的对称性及其应用】
【例5】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数fx=x2x2−6x+18，则（ ）
A．fx是偶函数B．fx是奇函数
C．fx的图象关于直线x=3对称D．fx的图象关于点3,1成中心对称
【解题思路】对AB，根据f−x=x2x2+6x+18判断即可；对C，举反例判断即可；对D，计算可得f6−x+fx=2即可判断.
【解答过程】对AB，由f−x=x2x2+6x+18，易知选项A，B不正确；
对C，易得f2=25，f4=85，故f2≠f4，故选项C不正确；
对D，fx=x2x−32+9，故f6−x+fx =6−x23−x2+9+x2x−32+9=2x2−12x+36x−32+9=2，
故fx的图象关于点3,1中心对称.
故选：D.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足对任意实数x有fx+2=fx+1−fx，若y=f2x的图象关于直线x=12对称，f1=2，则k=123f(k)=（ ）
A．2B．1C．−1D．−2
【解题思路】由题意fx+2=fx+1−fx⇒fx+3=fx+2−fx+1⇒fx+3=−fx⇒fx+6=fx，从而fx是周期函数，又y=f2x的图象关于直线x=12对称，从而函数fx的图象关于直线x=1对称，由f1=2⇒f2,f3,f4,f5,f6，从而即可求解.
【解答过程】因为fx+2=fx+1−fx，所以fx+3=fx+2−fx+1，
从而可得fx+3=−fx，所以fx+6=fx，所以函数fx的一个周期为6．
因为y=f2x的图象关于直线x=12对称，
所以f1−2x=f1+2x， 即函数fx的图象关于直线x=1对称．
又f1=2，f2=f1−f0，
所以f2=f0=1，所以f3=−f0=−1,f4=−f1=−2,f5=−f2=−1,f6=f0=1，
所以f1+f2+⋅⋅⋅+f6=0．由于23除以6余5，
所以k=123f(k)=f(1)+ f(2)+⋅⋅⋅+f(5)=−f(6)=−1．
故选：C．
【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数y=fx满足fa+x+f(a−x)=2b，则说y=fx的图象关于点a,b对称，则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是（ ）
A．(−1011,2022)B．1011,2022
C．(−1012,2023)D．1012,2023
【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=−1012，计算出f(−1012+x)+f(−1012−x)=4046，从而求出对称中心.
【解答过程】函数定义域为{x|x≠−1,x≠−2...,≠−2022,x≠−2023}，
定义域的对称中心为(−1012,0)，所以可猜a=−1012，
则f(−1012+x)=−1012+x−1011+x+−1011+x−1010+x+−1010+x−1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x，
f(−1012−x)=−1012−x−1011−x+−1011−x−1010−x+−1010−x−1009−x+...+1009−x1010−x+1010−x1011−x
=1012+x1011+x+1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009−x1010−x+1010−x1011−x，
故f(−1012+x)+f(−1012−x)
=1010+x1011+x+1012+x1011+x+1009+xx+1010+1011+x1010+x⋯+−1012+x−1011+x+1010−x1011−x
=2×2023=4046
所以y=fx的对称中心为(−1012,2023)，
故选：C．
【变式5-3】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，fx−1的图象关于点(1,0)对称，f3=0，且对任意的x1,x2∈−∞,0，x1≠x2，满足fx2−fx1x2−x1<0，则不等式x−1fx+1≥0的解集为（ ）
A．−∞,1∪2,+∞B．−4,−1∪0,1
C．−4,−1∪1,2D．−4,−1∪2,+∞
【解题思路】首先根据f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(−∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)−f(x1)x2−x1<0，得出f(x)在(−∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．
【解答过程】∵f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R上的奇函数，
∵对任意的x1，x2∈(−∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)−f(x1)x2−x1<0，∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减，
又f3=0所以f−3=0，且f0=0，
所以当x∈−∞,−3∪0,3时，fx>0；当x∈−3,0∪3,+∞时，fx<0，
所以由x−1fx+1≥0可得x−1<0,−3≤x+1≤0或x−1>0,0≤x+1≤3或x−1=0，
解得−4≤x≤−1或1≤x≤2，即不等式x−1fx+1≥0的解集为−4,−1∪1,2．
故选：C.
【题型6 函数的周期性及其应用】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知fx+1=1−fxa+fx.若fx是以2为最小正周期的周期函数，则a=（ ）
A．2B．1C．−1D．−2
【解题思路】计算fx+2根据函数的周期性有fx+2=fx，比较等式两端求a.
【解答过程】因为fx是以2为最小正周期的周期函数，所以
fx+2=1−fx+1a+fx+1=1−1−fxa+fxa+1−fxa+fx
=a−1+2fxa2+1+a−1fx=fx，
所以a−1=0a2+1=2
解得a=1.
故选:B.
【变式6-1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，对任意的x,y∈R，恒有fx+y+fx−y=2fx⋅fy，则下列说法错误的是（ ）
A．f0=1B．f′x必为奇函数
C．fx+f0≥0D．若f1=12，则n=12023fn=12
【解题思路】利用赋值法求f(0)的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C；利用赋值法求得f(n)，n∈N∗的值有周期性，即可求得n=12023f(n)的值，判断D．
【解答过程】对于A，令x=y=0，则由f(x+y)+f(x−y)=2f(x)⋅f(y)可得，2f(0)=2f2(0)，
故f(0)=0或f(0)=1，故A错误；
对于B，当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)⋅f(0)=0，则f(x)=0，
故f′(x)=0，函数f′(x)既是奇函数又是偶函数；
令x=0，则f(y)+f(−y)=2f(0)⋅f(y)，则f′(y)−f′(−y)=2f(0)⋅f′(y)，
当f(0)=1时，f′(y)−f′(−y)=2f′(y)，则f′(−y)=−f′(y)，y∈R为奇函数，
综合以上可知f′(x)必为奇函数，B正确；
对于C，令x=y，则f(2x)+f(0)=2f2(x)，故f(2x)+f(0)≥0，
由于x∈R，令t=2x，t∈R，即f(t)+f(0)≥0，即有f(x)+f(0)≥0，故C正确；
对于D，若f(1)=12，令x=1，y=0，则f1+f1=2f1⋅f0，则f(0)=1，
故令x=y=1，则f(2)+f(0)=2f2(1)，即f(2)+1=12，∴ f(2)=−12，
令x=2，y=1，则f(3)+f(1)=2f(2)f(1)，即f(3)+12=−12，∴f(3)=−1，
令x=3，y=1，则f(4)+f(2)=2f(3)f(1)，即f(4)−12=−1，∴ f(4)=−12，
令x=4，y=1，则f(5)+f(3)=2f(4)f(1)，即f(5)−1=−12，∴ f(5)=12，
令x=5，y=1，则f(6)+f(4)=2f(5)f(1)，即f(6)−12=12，∴f(6)=1，
令x=6，y=1，则f(7)+f(5)=2f(6)f(1)，即f(7)+12=1，∴ f(7)=12，
由此可得f(n)，n∈N∗的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
故n=12023f(n)=337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12，故D正确，
故选：A．
【变式6-2】（2023·天津河西·统考三模）已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x+1)=−f(x)，且x∈[0,1)时；f(x)=lg2(x+1)，给出下列命题：①f(2013)+f(−2014)=0；②函数f(x)在定义域R上是周期为2的周期函数；③直线y=x与函数y=f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(−1,1)，其中正确命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解题思路】由函数关系式及偶函数的性质可知f(x)在x≥0、x≤0上分别是周期为2的函数，并可写出其对应的函数解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误.
【解答过程】由题设，f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，即f(x)是周期为2的函数，
令1≤x<2，则0≤x−1<1，而x∈[0,1)时；f(x)=lg2(x+1)，
∴f(x)=−f(x−1)=−lg2x.
∴综上：f(x)={lg2(x+1),0≤x<1−lg2x,1≤x<2且在x≥0上周期为2.
∵f(x)为定义在R上的偶函数，
∴在x≤0上周期为2且f(x)={lg2(1−x),−1①f(2013)+f(−2014)=f(2013)+f(2014)=f(1)+f(0)=0，正确；
②函数f(x)在定义域R上是周期为2的周期函数，错误；
③直线y=x与函数y=f(x)的图象如下图示，只有1个交点，正确；
④函数f(x)如下图示，其值域为(−1,1)，正确；
故选：D.
【变式6-3】（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数fx,gx的定义域为R,gx的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1=1,fx=g3−x+1，则下列说法正确的个数为（ ）
①g(−3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=−4；④n=12024f(n)=2024.
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据奇函数定义得到g−2x+2=−g2x+2，进而得到gx的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.
【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g−2x+2=−g2x+2，则g−x+2=−gx+2，
所以gx对称中心为2,0，
又因为gx的图像关于x=1对称，则g−x+2=gx，
所以−gx+2=gx，则gx+4=−gx+2=gx，
所以gx的周期T=4，
①g−3=g−3+8=g5，所以①正确；
②因为g1=1，g−x+2=gx，gx对称中心为2,0，
所以g0=g2=0，所以g(2024)=g0=0，所以②正确；
③因为fx=g3−x+1，所以f2=g1+1=2，
因为−gx+2=gx，所以g−1=−g1，
则f4=g−1+1=−g1+1=0，所以f(2)+f(4)=2，所以③错误；
④因为fx=g3−x+1且gx周期T=4，
所以fx+4=g3−x−4+1=g3−x+1=fx，则fx的周期为T=4，
因为f1=g2+1=1，f2=2，f3=g0+1=1，f4=0，
所以f1+f2+f3+f4=4，
所以n=12024f(n)=506f1+f2+f3+f4=4=506×4=2024，所以④正确.
故选：C.
【题型7 利用函数的性质比较大小】
【例7】（2023上·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足f1+x=f1−x，且∀x1,x2>1，x1≠x2时，fx1−fx2x1−x2<0，记a=f22，b=f32，c=f62，则（ ）
A．b>c>aB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】根据题意能得到函数fx关于直线x=1轴对称，且fx在−∞,1上单调递增，然后根据离对称轴的远近比较大小.
【解答过程】由∀x1,x2>1，x1≠x2时，fx1−fx2x1−x2<0得函数fx在1,+∞上单调递减，
由f1+x=f1−x得函数fx关于直线x=1轴对称，
所以函数fx在−∞,1上单调递增.
又因为22−1≈1.42−1=0.3（最远离x=1），32−1≈1.72−1=0.15（最靠近x=1），62−1≈2.42−1=0.2，
所以f32>f62>f22.
故选：A.
【变式7-1】（2022·全国·高一专题练习）定义在R上函数y=fx满足以下条件：①函数y=fx图象关于x=1轴对称，②对任意x1,x2∈(−∞,1]，当x1≠x2时都有fx1−fx2x1−x2<0，则f0，f32，f3的大小关系为（ ）
A．f32>f0>f3B．f3>f0>f32
C．f32>f3>f0D．f3>f32>f0
【解题思路】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．
【解答过程】∵函数y=fx图象关于x=1对称，且对任意x1,x2∈(−∞,1]，
当x1≠x2时都有fx1−fx2x1−x2<0，
∴y=fx在−∞,1上单调递减，在1,+∞单调递增，
f0=f2，
∵3>2>32>1，∴f(3)>f(2)>f32，
∴f3>f0>f32．
故选：B．
【变式7-2】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）已知函数fx是偶函数，当0≤x10恒成立，设a=f55，b=f−2，c=f33，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a【解题思路】先比较a1=55,b1=2,c1=33的大小，再由函数的单调性和奇偶性求解即可.
【解答过程】当0≤x10恒成立，
可知函数fx在0,+∞上单调递增，
又因为函数fx是偶函数，
所以b=f−2=f2，
设a1=55,b1=2,c1=33，则a110=5510=25,b110=210=32，
所以a1所以b1又因为函数fx在0,+∞上单调递增，
所以a故选：A.
【变式7-3】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）定义在R上的函数fx满足：fx−1=−1fx+1成立且fx在−2,0上单调递增，设a=f6，b=f22，c=f4，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．b>c>aD．c>b>a
【解题思路】由fx−1=−1fx+1，可得函数fx周期T=4，将自变量的值利用周期转化到−2,0，结合单调性，即得解
【解答过程】由题意，fx−1=−1fx+1，则fx+1=−1fx+3
∴fx−1=f(x+3)
∴fx=f(x+4)，可得函数fx周期T=4
∴a=f6=f(−2)，b=f22=f22−4，c=f4=f(0)
由于fx在−2,0上单调递增
∴f(−2)即∴a故选：D.
【题型8 利用函数的性质解不等式】
【例8】（2023上·广东广州·高一校考期中）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，且x≥0时，f(x)=x−1x+1+2，则不等式xf(x)<0的解集为（ ）
A．(−∞,0)B．−1−52,0∪−1+52,+∞
C．1−52,0D．−1−52,0
【解题思路】根据f(x)+f(−x)=2可知函数关于0,1对称，并求出x<0时函数f(x)的解析式，画出大致图象，然后结合图象得到xf(x)<0的解集.
【解答过程】定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，所以f(x)关于0,1对称，
当x≥0时，f(x)=x−1x+1+2，因为y=x在0,+∞上单调递增,y=1x+1在0,+∞上单调递减,
y=−1x+1在0,+∞上单调递增,所以f(x)=x−1x+1+2在0,+∞上单调递增，f0=1，
因为f(x)+f(−x)=2，当x<0，即−x>0时，
fx=2−f−x=2−−x−1−x+1+2=x2−x−1x−1，
令fx=x2−x−1x−1=0，即x=1−52或x=1+52（舍），
所以画出fx的大致图象

由图象知，当x∈1−52,+∞时，fx>0，当x∈−∞,1−52时，fx<0，当x=1−52时，fx=0，
所以，当x∈0,+∞时，xfx>0，当x∈1−52,0时，xfx<0，
当x∈−∞,1−52时，xfx>0，当x=1−52或0时，xfx=0，
所以不等式xf(x)<0的解集为1−52,0，
故选：C.
【变式8-1】（2023上·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意00的解集为（ ）
A．−∞,−3∪3,+∞B．−3,3
C．−3,0∪0,3D．−3,0∪3,+∞
【解题思路】根据题意，构造函数gx=fxxx≠0，由题可知gx在0,+∞上单调递增，结合fx是定义在R上的奇函数可知，gx是定义域上的偶函数，得到gx在−∞,0上单调递减，再求出不等式的解集.
【解答过程】因为0设函数gx=fxxx≠0，
则函数gx=fxx在0,+∞上单调递增，且g3=f33=1.
当x>0时，不等式fx−x>0等价于fx>x，
即gx=fxx>1，即gx>g3，解得x>3.
当x=0时，f0−0=0，不满足fx−x>0.
因为fx是定义在R上的奇函数，
所以gx=fxx为偶函数且在−∞,0单调递减，则g−3=g3=1，
当x<0时，不等式fx−x>0等价于fx>x，
即gx=fxx<1，即gx综上，不等式fx−x>0的解集为−3,0∪3,+∞.
故选：D.
【变式8-2】（2022上·辽宁·高一校联考期中）已知函数fx=2ax+bx2+bx+a是定义在−1,1上的奇函数,且f12=45．
(1)确定函数fx的解析式;
(2)当x∈−1,1时,判断函数fx的单调性,并证明;
(3)解不等式f2x+1+f12x<0．
【解题思路】(1)根据奇函数可得f0=0,结合f12=45代入可得fx的解析式;
(2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可.
(3)将f12x移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为f2x+1【解答过程】（1）解:由题意可知fx为奇函数,
∴f0=0,
即ba=0,b=0,
∵f12=45,∴a=1,
∴fx=2xx2+1;
（2）当x∈−1,1时,函数fx单调递增,
证明如下:
设x1,x2为−1,1上的任意两个数,且x1∴fx2−fx1=2x2x22+1−2x1x12+1
=2x2−x11−x2x1x22+1x12+1,
∵x2−x1>0,x1,x2∈−1,1,
∴x2−x1>0,1−x1x2>0,
∴fx2−fx1>0,
故函数fx在−1,1上为增函数;
（3）∵f2x+1+f12x<0,
∴f2x+1<−f12x,
∵fx为奇函数,
∴f2x+1∵当x∈−1,1时,函数fx单调递增,
∴−1<2x+1<1−1<−12x<12x+1<−12x,
∴−1∴不等式的解集为−1,−25．
【变式8-3】（2023上·河南·高一校联考阶段练习）已知fx是定义在−2,2上的奇函数，满足f−2=−4，且当m,n∈−2,2,m≠n时，有f−m−f−nm−n<0.
(1)判断函数fx的单调性；
(2)解不等式：f5x−1>fx+1；
(3)若fx≤2at3−t+4对所有x∈−2,2,a∈−2,2恒成立，求实数t的取值范围.
【解题思路】（1）根据函数单调性的知识判断出函数fx在−2,2上的单调性.
（2）根据函数的定义域、单调性求得不等式的解集.
（3）先求得fx的最大值，然后利用转换主参变量的方法，列不等式来求得t的取值范围.
【解答过程】（1）fx为奇函数，所以f−m=−fm,f−n=−fn，
则由f−m−f−nm−n<0，得−fm−−fnm−n<0，得fn−fmn−m>0，
当n>m时，f(n)>f(m)，函数fx在−2,2上单调递增，
当m>n时，f(m)>f(n)，函数fx在−2,2上单调递增，
综上，函数fx在−2,2上单调递增
（2）由（1）知函数fx为−2,2上的增函数，
则5x−1>x+1−2≤5x−1≤2−2≤x+1≤2
解得12（3）因为f−2=−4，所以f2=4.
若fx≤2at3−t+4对所有x∈−2,2恒成立，
则f(x)max≤2at3−t+4成立，且f(x)max=f2=4，
所以4≤2at3−t+4对a∈−2,2恒成立，即2at3−t≥0对a∈−2,2恒成立.
令ga=2at3−t=2t3a−t，
则g−2≥0g2≥0即−4t3−t≥04t3−t≥0得4t3+t≤04t3−t≥0，
即t4t2+1≤0t2t+12t−1≥0，解得−12≤t≤0，
故实数t的取值范围是−12,0.
【题型9 函数性质的综合应用】
【例9】（2022上·江苏苏州·高一校考期中）已知奇函数fx和偶函数gx满足fx+gx=2x
(1)求fx和gx的解析式；
(2)判断并证明gx在0,+∞上的单调性
(3)若对于任意的x1∈1,2，存在x2∈1,2，使得gx1+mfx2=5，求实数m的取值范围
【解题思路】（1）根据已知条件用−x替换x，构造一个关于f−x、g−x的方程，再利用函数的奇偶性化简，与已知方程联立即可求得答案；
（2）先判断，在利用定义法证明；
（3）设A=5−g(x)|1≤x≤2，B=mf(x)|1≤x≤2，由gx1+mfx2=5可知，
A⊆B，列出不等式组即可求出k的范围．
【解答过程】（1）由奇函数fx和偶函数gx可知，
f−x=−fx，g−x=gx，
因为fx+gx=2x，①
用−x替换x得
故f−x+g−x=2−x，即−fx+gx=2−x，②
联立解得，fx=2x−2−x2，gx=2x+2−x2
（2）gx在0,+∞上单调递增；证明如下：
取∀x1,x2∈0,+∞,x1>x2
所以g(x1)−g(x2)=2x1+2−x12−2x2+2−x22
=2x1−2x22+2−x1−2−x22
=122x1−2x2+12x1−12x2
=122x1−2x2+2x2−2x12x12x2
=122x1−2x21−12x12x2
因为x1,x2∈0,+∞,x1>x2
所以2x1>2x2≥1，2x12x2>1，1−12x12x2>0
所以g(x1)−g(x2)>0⇒g(x1)>g(x2)
所以gx在0,+∞上单调递增
（3）设A=5−g(x)|1≤x≤2，
令2x=t∈2,4，则gx=2x+2−x2化为y=t+1t2，
易知y=t+1t2在t∈2,4上单调递增，
故gxmin=2+122=54，gxmax=4+142=178，
故A=238,154；
设B=mf(x)|1≤x≤2，
令2x=t∈2,4，则fx=2x−2−x2化为y=t−1t2，
易知y=t−1t2在t∈2,4单调递增，
故fxmin=2−122=34，fxmax=4−142=158
则x∈1,2时，fx∈34,158．
若对于任意的x1∈1,2，存在x2∈1,2，
使得gx1+mfx2=5可知A⊆B，
则A⊆B，则显然m>0，则B=34m,158m，
则238,154⊆34m,158m，
则34m≤238154≤158m，解得m∈2,692．
【变式9-1】（2023上·湖南株洲·高一校考期中）已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=φ(a+x)−b是奇函数，给定函数f(x)=x−6x+1.
(1)求函数fx图象的对称中心；
(2)判断fx在区间(0,+∞)上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2−mx+m.若对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得g(x1)=f(x2)，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意，得到f(a+x)+f(a−x)−2b=0，列出方程组，即可求解；
（2）根据函数单调性的定义与判定方法，即可求解；
（3）根据题意，转化为函数gx的值域为fx值域的子集，由（2）求得fx的值域为[−2,4]，转化为A⊆[−2,4]，分m2≤0、0【解答过程】（1）解：设函数fx的图象的对称中心为(a,b)，则f(a+x)+f(a−x)−2b=0，
即(x+a)−6x+a+1+(−x+a)−6−x+a+1−2b=0，
整理得(a−b)x2=(a−b)(a+1)2−6(a+1)，
可得a−b=0(a−b)(a+1)2−6(a+1)=0，解得a=b=−1，
所以fx的对称中心为(−1,−1).
（2）解：函数f(x)=x−6x+1在(0,+∞)上单调递增；
证明如下：
任取x1,x2∈(0,+∞)且x1则f(x1)−f(x1)=x1−6x1+1−x2+6x2+1=(x1−x2)[1+1(x1+1)(x2+1)]，
因为x1,x2∈(0,+∞)且x10，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)=x−6x+1在(0,+∞)上单调递增.
（3）解：由对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得g(x1)=f(x2)，
可得函数gx的值域为fx值域的子集，
由（2）知fx在[1,5]上单调递增，故fx的值域为[−2,4]，
所以原问题转化为gx在[0,2]上的值域A⊆[−2,4]，
当m2≤0时，即m≤0时，g(x)在[0,1]单调递增，
又由g(1)=1，即函数g(x)=x2−mx+m的图象恒过对称中心(1,1)，
可知gx在(1,2]上亦单调递增，故gx在[0,2]上单调递增，
又因为g(0)=m，g(2)=2−g(0)=2−m，故A=[m,2−m]，
因为[m,2−m]⊆[−2,4]，所以m≥−2，2−m≤4，解得−2≤m≤0，
当0因为gx过对称中心(1,1)，故gx在(1,2−m2)递增，在(2−m2,2]单调递减，
故此时A=ming(2),gm2,maxg(0),g2−m2，
欲使A⊆[−2,4]，
只需g(2)=2−g(0)=2−m≥−2g(m2)=−m24+m≥−2且g(0)=m≤4g(2−m2)=2−g(m2)=m24−m+2≤4，
解不等式，可得2−23≤m≤4，又因为0当m2≥1时，即m≥2时，g(x)在[0,1]递减，在(1,2]上亦递减，
由对称性知g(x)在[0,2]上递减，所以A=[2−m,m]，
因为[2−m,m]⊆[−2,4]，所以2−m≥−2m≤4，解得2≤m≤4，
综上可得：实数m的取值范围是[−2,4].
【变式9-2】（2023上·浙江湖州·高一统考阶段练习）我们知道，函数y=fx的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=fx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是函数y=fx+a−b为奇函数.
(1)求函数fx=−x3+3x2图象的对称中心；
(2)若函数y=fx的图象关于点Pa,b对称，证明：fx+f2a−x=2b；
(3)已知函数f(x)=x−e22+lnecxe2−x，其中c>0，若正数a，b满足fe22023+f2e22023+f3e22023+⋯+f2022e22023≤1011(a+b)，且不等式λ(a+2c)b≤2ac+a2+2b2恒成立，求实数λ的取值范围.
【解题思路】（1）令gx=fx+a−b，由gx为奇函数，得到f−x+a−b=−fx+a−b，列出方程组，求得a,b的值，即可求解；
（2）令gx=fx+a−b，由gx为奇函数，得到f−x+a+fx+a=2b，令x+a=t，即可得证；
（3）由函数f(x)=x−e22+c+lnx−ln(e2−x)，得到fx+f−x+e2=2c，得到fx的对称中心为e22,c，求得fe22023+f2e22023+⋯+f2022e22023≤1011(a+b)
f2022e22023+f2021e22023+f2020e22023+⋯+fe22023≤1011(a+b)，两式相加得到a+b≥2c，得出λ≤ab+2ba+2c，结合基本不等式，即可求解.
【解答过程】（1）解：令gx=fx+a−b，因为gx为奇函数，
所以g−x=−gx，即f−x+a−b=−fx+a−b，
所以−−x+a3+3−x+a2−b=−−x+a3+3x+a2−b，
化简得6x2a−1+2a3−6a2+2b=0，则a−1=02a3−6a2+2b=0 ，
解得a=1,b=2，即fx图像的对称中心为1,2.
（2）解：令gx=fx+a−b，因为gx为奇函数，
所以g−x=−gx，即f−x+a−b=−fx+a−b，
所以f−x+a+fx+a=2b，
令x+a=t，则ft+f−t+2a=2b，即fx+f−x+2a=2b；
（3）解：因为f(x)=x−e22+c+lnx−ln(e2−x)，
所以f−x+e2=−x+e22+c−lnx+lne2−x，
所以fx+f−x+e2=2c，可得fx的对称中心为e22,c，
因为fe22023+f2e22023+⋯+f2022e22023≤1011(a+b)
f2022e22023+f2021e22023+f2020e22023+⋯+fe22023≤1011(a+b)
两式相加得：2022×2c≤2022a+b，即a+b≥2c，
又由λ≤2ac+a2+2b2(a+2c)b=a(a+2c)+2b2(a+2c)b=ab+2ba+2c.
方法一：由ab+2ba+2c=2(a+b)2b+2ba+2c−1≥a+b+2c2b+2ba+2c−1
=a+2c2b++2ba+2c−12≥2a+2c2b⋅2ba+2c−12=32，
当且仅当b=2a=2c3时取等号.
方法二：由ab+2ba+2c≥ab+2ba+a+b=ab+22ab+1，
令ab=t>0，
则ab+22ab+1=t+22t+1=12(2t+1)+22t+1−12≥212(2t+1)⋅22t+1−−12=32
当且仅当b=2a=2c3时取等号.
【变式9-3】（2023上·江苏无锡·高一校考期中）设a∈R，函数f(x)=ex+aex−a(e为常数，e=2.71828…)．
（1）若a=1，求证：函数f(x)为奇函数；
（2）若a<0．
①判断并证明函数f(x)的单调性；
②若存在x∈[1，2]，使得f(x2+2ax)>f(4−a2)成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）把a=1代入得f(x)=ex+1ex−1，且f(x)定义域为{x|x≠0}，求出f(−x)并化简并判断与−f(x)的关系，根据奇函数的定义，即可得出结论；
（2）①结合单调性的定义，先设x1②结合命题的否定，然后结合不等式的恒成立，利用单调性进行转化，即可求解实数a的取值范围．
【解答过程】解：（1）当a=1时，函数f(x)=ex+1ex−1，
因为ex−1≠0，则x≠0，
所以f(x)定义域为{x|x≠0}，
对任意x≠0，f(−x)=e−x+1e−x−1=1+ex1−ex=−f(x)，
所以f(x)=ex+1ex−1是奇函数．
（2）①当a<0时，f(x)为R上的单调增函数，证明如下：
证明：a<0时，ex−a>0恒成立，故函数f(x)定义域为R，
任取x1，x2∈R，且x1因为f(x1)−f(x2)=(1+2aex1−a)−(1+2aex2−a)=2a(ex2−ex1)(ex1−a)(ex2−a)<0，
所以f(x)为R上的单调增函数.
②设命题p：存在x∈[1，2]，使得f(x2+2ax)>f(4−a2)成立，
下面研究命题p的否定：
¬p:∀x∈[1，2]，f(x2+2ax)⩽f(4−a2)恒成立，
若¬p为真命题，由①，f(x)为R上的单调增函数，
故∀x∈[1，2]，x2+2ax⩽4−a2恒成立．
设g(x)=x2+2ax+a2−4，x∈[1，2]，
则a<0g(1)⩽0g(2)⩽0，解得−3⩽a<0，
因为p为真，则¬p为假命题，
所以实数a的取值范围为(−∞,−3)．
1．（2023·全国·统考高考真题）若fx=x+aln2x−12x+1为偶函数，则a=（ ）．
A．−1B．0C．12D．1
【解题思路】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.
【解答过程】因为f(x) 为偶函数，则 f(1)=f(−1)，∴(1+a)ln13=(−1+a)ln3，解得a=0，
当a=0时，fx=xln2x−12x+1，2x−12x+1>0，解得x>12或x<−12，
则其定义域为x|x>12或x<−12，关于原点对称.
f−x=−xln2−x−12−x+1=−xln2x+12x−1=−xln2x−12x+1−1=xln2x−12x+1=fx，
故此时fx为偶函数.
故选：B.
2．（2022·天津·统考高考真题）函数fx=x2−1x的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】分析函数fx的定义域、奇偶性、单调性及其在−∞,0上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【解答过程】函数fx=x2−1x的定义域为xx≠0，
且f−x=−x2−1−x=−x2−1x=−fx，
函数fx为奇函数，A选项错误；
又当x<0时，fx=x2−1x≤0，C选项错误；
当x>1时，fx=x2−1x=x2−1x=x−1x函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．fx−1−1B．fx−1+1C．fx+1−1D．fx+1+1
【解题思路】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【解答过程】由题意可得f(x)=1−x1+x=−1+21+x，
对于A，fx−1−1=2x−2不是奇函数；
对于B，fx−1+1=2x是奇函数；
对于C，fx+1−1=2x+2−2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，fx+1+1=2x+2，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（ ）
A．−3B．−2C．0D．1
【解题思路】法一：根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1,f2,⋯,f6的值，即可解出．
【解答过程】[方法一]：赋值加性质
因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f−y=2fy，即fy=f−y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+fx−1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，从而可知fx+2=−fx−1，fx−1=−fx−4，故fx+2=fx−4，即fx=fx+6，所以函数fx的一个周期为6．因为f2=f1−f0=1−2=−1，f3=f2−f1=−1−1=−2，f4=f−2=f2=−1，f5=f−1=f1=1，f6=f0=2，所以
一个周期内的f1+f2+⋯+f6=0．由于22除以6余4，
所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1−1−2−1=−3．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由fx+y+fx−y=fxfy，联想到余弦函数和差化积公式
csx+y+csx−y=2csxcsy，可设fx=acsωx，则由方法一中f0=2,f1=1知a=2,acsω=1，解得csω=12，取ω=π3，
所以fx=2csπ3x，则
fx+y+fx−y=2csπ3x+π3y+2csπ3x−π3y=4csπ3xcsπ3y=fxfy，所以fx=2csπ3x符合条件，因此f(x)的周期T=2ππ3=6，f0=2,f1=1，且f2=−1,f3=−2,f4=−1,f5=1,f6=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
由于22除以6余4，
所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1−1−2−1=−3．
故选：A．
5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数fx的定义域为R，fx+2为偶函数，f2x+1为奇函数，则（ ）
A．f−12=0B．f−1=0C．f2=0D．f4=0
【解题思路】推导出函数fx是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f1=0，结合已知条件可得出结论.
【解答过程】因为函数fx+2为偶函数，则f2+x=f2−x，可得fx+3=f1−x，
因为函数f2x+1为奇函数，则f1−2x=−f2x+1，所以，f1−x=−fx+1，
所以，fx+3=−fx+1=fx−1，即fx=fx+4，
故函数fx是以4为周期的周期函数，
因为函数Fx=f2x+1为奇函数，则F0=f1=0，
故f−1=−f1=0，其它三个选项未知.
故选：B.
6．（2021·全国·高考真题）设fx是定义域为R的奇函数，且f1+x=f−x.若f−13=13，则f53=（ ）
A．−53B．−13C．13D．53
【解题思路】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f53的值.
【解答过程】由题意可得：f53=f1+23=f−23=−f23，
而f23=f1−13=f13=−f−13=−13，
故f53=13.
故选：C.
7．（2020·山东·统考高考真题）已知函数fx的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有fx2−fx1x2−x1>0成立，则函数fx一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
【解题思路】利用函数单调性定义即可得到答案.
【解答过程】对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有fx2−fx1x2−x1>0成立，
等价于对于任意两个不相等的实数x1所以函数fx一定是增函数.
故选：C.
8．（2020·山东·统考高考真题）若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（ ）
A．[−1,1]∪[3,+∞)B．[−3,−1]∪[0,1]
C．[−1,0]∪[1,+∞)D．[−1,0]∪[1,3]
【解题思路】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【解答过程】因为定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，
所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，
所以当x∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，
所以由xf(x−1)≥0可得：
x<0−2≤x−1≤0或x>00≤x−1≤2或x=0
解得−1≤x≤0或1≤x≤3，
所以满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，
故选：D.
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0+f3=6，则f92=（ ）
A．−94B．−32C．74D．52
【解题思路】通过fx+1是奇函数和fx+2是偶函数条件，可以确定出函数解析式fx=−2x2+2，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【解答过程】[方法一]：
因为fx+1是奇函数，所以f−x+1=−fx+1①；
因为fx+2是偶函数，所以fx+2=f−x+2②．
令x=1，由①得：f0=−f2=−4a+b，由②得：f3=f1=a+b，
因为f0+f3=6，所以−4a+b+a+b=6⇒a=−2，
令x=0，由①得：f1=−f1⇒f1=0⇒b=2，所以fx=−2x2+2．
思路一：从定义入手．
f92=f52+2=f−52+2=f−12
f−12=f−32+1=−f32+1=−f52
−f52=−f12+2=−f−12+2=−f32
所以f92=−f32=52．
[方法二]：
因为fx+1是奇函数，所以f−x+1=−fx+1①；
因为fx+2是偶函数，所以fx+2=f−x+2②．
令x=1，由①得：f0=−f2=−4a+b，由②得：f3=f1=a+b，
因为f0+f3=6，所以−4a+b+a+b=6⇒a=−2，
令x=0，由①得：f1=−f1⇒f1=0⇒b=2，所以fx=−2x2+2．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数fx的周期T=4．
所以f92=f12=−f32=52．
故选：D．
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122fk=（ ）
A．−21B．−22C．−23D．−24
【解题思路】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x−2)=−2，从而得到f3+f5+…+f21=−10，f4+f6+…+f22=−10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g3=6从而得到f1的值即可求解.
【解答过程】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g2−x=gx+2，
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+7+f(x−2)=5，即f(x)+f(x−2)=−2，
所以f3+f5+…+f21=−2×5=−10，
f4+f6+…+f22=−2×5=−10.
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以f(2)=−2−f0=−3.
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，
联立得，g2−x+gx+4=12，
所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g3=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1=5−g3=−1.
所以k=122f(k)=f1+f2+f3+f5+…+f21+f4+f6+…+f22=−1−3−10−10=−24.
故选：D.