热点2-1 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

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热点2-1 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性
函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
【题型1 判断函数的单调性】
【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，故不是偶函数，不符题意；
对于B，因为幂函数满足，
且其定义域为关于原点对称，所以是偶函数，且，
所以在区间上是增函数，符合题意；
对于C，，故不是偶函数，不符题意；
对于D，，
所以在区间上不是增函数，不符题意.故选：B.
【变式1-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，函数满足，且，在单调递减，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递减
【答案】C
【解析】由题意知在单调递增，为奇函数，在上单调递减.
设，则，，
所以在单调递增，故A错误，
设，则，，
在单调递增，故B错误；
设，则，，
所以在单调递减，故C正确；
取，则，，，
此时在不单调递减，故D错误.故选:C.
【变式1-2】（2023·海南海口·华侨中学校考二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ．
【答案】
【解析】因为偶函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，
又因为，
则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到，
所以函数的单调增区间是．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．是增函数 B．是减函数
C．是增函数 D．是减函数
【答案】A
【解析】不妨令，
，
令，，
又，∴是增函数．故选:A.
【变式1-4】（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数在定义域中满足，且在上单调递减，则可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，函数的定义域是，，A不是；
对于B，函数的定义域是R，而在上单调递增，B不是；
对于C，函数的定义域是R，，
，，
因，则，有，即有，
因此，在上单调递减，C正确；
对于D，函数的定义域是，，D不是.故选：C
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【例2】（2023·四川南充·统考模拟预测）函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上是减函数，只需要即可，
若，则，成立；
若，则是二次函数，由二次函数的性质可得，时恒成立.
若，当和时，，故不成立.
所以，当时，，而是的充分不必要条件.故选：A.
【变式2-1】（2023·江苏淮安·高三校考阶段练习）使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】D
【解析】由于函数在上单调递减，
函数在区间上单调递减，
所以函数在上单调递增，则，解得，
所以函数在区间上单调递减的充要条件为，
那么其成立的一个充分不必要条件可以是.故选：D.
【变式2-2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则即为，
而图像的对称轴为，故在上单调递增，
则，即的增区间为，
而函数在上单调递增，故，
即实数的取值范围为，故选：B
【变式2-3】（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，
则函数和均为增函数，且有，
即，解得，故选：C.
【变式2-4】（2023·甘肃白银·高三校考阶段练习）已知是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，解得.
【题型3 函数的奇偶性及应用】
【例3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数，下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，定义域为
故，定义域为，
，
即不是奇函数，A错误；
，定义域为，不关于原点对称，
即不是奇函数，B错误；
，定义域为，不关于原点对称，
即不是奇函数，C错误；
，定义域为，
，
即为奇函数，D正确，故选：D
【变式3-1】（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）设函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】函数有意义，有，解得或，
则函数的定义域为，
，所以函数为奇函数，
又为奇函数，则为偶函数，
有，即，解得.故选：B.
【变式3-2】（2023·福建泉州·高三培元中学校考阶段练习）已知函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得当时，，
因为为上的奇函数，
所以，所以，，
所以（舍去），或，
因为，所以.故选：A.
【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，为奇函数，为偶函数，
则，
所以，即，解得.故选：B
【变式3-4】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，又因为为奇函数，所以，
因为，所以，
所以，故选：A
【题型4 奇函数+常数求值】
【例4】（2023·四川达州·统考一模）函数，且，则的值为 .
【答案】0
【解析】令，
定义域为或且，关于原点对称，
则，故为奇函数，
又，故，解得.
【变式4-1】（2023·重庆九龙坡·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）函数为奇函数，且，若，则 ．
【答案】
【解析】因为函数为奇函数，
所以，
所以，即，解得：或（舍去），故，
因为，，
则
所以，又，所以.
【变式4-2】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】
【解析】因为，
设，则，
设，则，
所以是上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
由，得.
【变式4-3】（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【解析】令，所以最大值和最小值分别为，
又，故为奇函数，
故的图象关于原点对称，故,故选：D
【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ．
【答案】2
【解析】当时，，当或时，，
所以的定义域为.
又，
设，则，
∴g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M，最小值为N，则，
则的最大数值为，最小值为，
∴的最大值与最小值之和为，得．
【题型5 函数的周期性及应用】
【例5】（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为函数是定义域为上的奇函数，则，即，
由，得，
因此，即，则，
于是函数是以4为周期的周期函数，
由，得，由，得，，
从而，
所以.故选：A
【变式5-1】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】A
【解析】因为在上的奇函数，且，
所以，即，
所以，则的周期为，
所以，故选：A
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则 ．
【答案】5
【解析】由为奇函数，
可得，则的图象关于点对称，
又的定义域为，则有．
由为偶函数得，
则的图象关于直线对称，则，
从而，则，则，
故是周期为4的偶函数，所以．
而，
所以，，故.
【变式5-3】（2023·河南南阳·高三统考期中）奇函数满足，，则 .
【答案】
【解析】奇函数满足，则，，
故，函数周期为，
.
【变式5-4】（2023·全国·模拟预测）已知定义域为的奇函数满足，当时，，则 .
【答案】
【解析】当时，由可得，
则，是周期为的周期函数.
因为，，
所以，得，，
故，，
故.
【题型6 函数的对称性及应用】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数满足，则的图象的对称轴是（ ）
A．轴 B．轴 C．直线 D．不能确定
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以为偶函数，所以的图象的对称轴为轴．故选：B
【变式6-1】（2023·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
【答案】B
【解析】依题意函数为定义在上的奇函数，所以，
又，所以函数关于轴对称，且，
所以，即，
所以，所以函数是周期为4的周期函数，
且函数的图象关于中心对称；
令，得，
由反比例函数性质知函数的图象关于中心对称，
又当时，，结合对称性和周期性作出函数和的图象，
如图所示，
由图可知，函数和的图象有8个交点，且交点关于中心对称，
所以函数在区间上所有零点之和为.故选：B
【变式6-2】（2023·陕西铜川·高三校考期末）已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【解析】由题意得，，
，
所以的图象关于对称；
当时，；
当时，令可得，
时，，时，，
在同一直角坐标系中画出，
在上有且仅有3个交点，
所以所有的实根之和为，故选：C.
【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
记，，
则，，
且单调递增，单调递增，
则与都关于中心对称且为上的增函数,
所以，
故关于中心对称且为上增函数，
则由，得，可得，
记，则，
可得，当且仅当，即取等号，
故的最大值为.故选：C．
【变式6-4】（2023·上海·高三闵行中学校考阶段练习）已知函数与函数的图象交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为，则实数 .
【答案】
【解析】不妨记，，
函数，与是奇函数且关于坐标原点对称，
所以两个函数均是以点为对称中心的函数，
所以三个交点其中一个必是点，另外两个点关于点对称，
不妨记，设，
所以，即，解得或，.
【题型7 利用函数的性质比较大小】
【例7】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，即，
由于函数是偶函数，在区间上单调递减，
所以在上单调递增，则，故选：B
【变式7-1】（2023·广西·模拟预测）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为
则函数定义域为，
且满足，
即，所以函数为奇函数，
又由函数，都是上单调递增函数，所以在单调递增，
因为且，所以，
又因为，，所以，
因为在单调递增，所以．故选：A．
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数．若为偶函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，则，可知的对称轴为，
又因为均只有一条对称轴，
可知只有一条对称轴，则，可得，
所以，
当时，，
因为在上为增函数，则在上为增函数，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
可得，即，则；
由，可得，
则；即，可得，所以．故选：A．
【变式7-3】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为在内单调递增，则，即；
在内单调递增，则，即；
在内单调递减，则，所以；
综上所述：.
又因为在内单调递增，所以.故选：A.
【变式7-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知是定义域为的单调函数，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知，令，
又因为是定义域为的单调函数．
所以存在唯一，使，即，
所以，解得，所以.
如图所示作出与的图象，
因为它们互为反函数，则图象关于直线对称，
由，在图中作直线，
则与的交点的横坐标依次为，可得，
又因为是单调递增的，
所以，故选：C.
【题型8 利用函数的性质解不等式】
【例8】（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，当时，，当时，，
当或时，，
当时，，则，
由已知可得，解得，又，所以；
当时，，则，
由已知可得或，解得或，
又，所以.
综上，可得不等式的解集为.故选：A
【变式8-1】（2023·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为，且，
所以为偶函数，
又当，
由于函数均为单调递增函数，
所以在上单调递增，
又，．故选：A．
【变式8-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，即，
令，，则，又，则，
不妨取任意正数，
，
因为，所以，即，
所以在区间上单调递增，
又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增，
令，则，
令，，则，∴，
又因为，即，由和，
结合函数单调性可以得到或，故选：B.
【变式8-3】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意的，恒成立，则a的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题易知，的定义域为R，
因为，
所以为奇函数.
又，
函数在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减.
若对任意的，恒成立，即，
又为奇函数，得，
因为在上单调递减，所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
当时，不恒成立，不符合题意；
当时，有，解得.
综上，a的取值范围为.
【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由题可得，当时，，，
当时，，所以函数为偶函数．
当时，，此时恒成立，
所以函数在上单调递增，
由为偶函数可得，函数在上单调递减．
又因为，
所以，即，
所以，即或，解得或，
所以的解集为．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则函数是（ ）
A．偶函数，且在上是减函数 B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是增函数
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则，解得，
则函数定义域为关于原点对称，
且，则函数是奇函数；
且，
其中在上单调递增，在上单调递增，
所以函数在上是增函数；故选：D
2．（2023·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）若为奇函数，则的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为奇函数，且定义域为，
所以，解得，当时，，满足题意，
则（或），
因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，
且在其定义域上单调递增，
所以复合后，的单调递减区间为，故选：B
3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是定义在上的增函数，
所以，解得.故选：B
4．（2023·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于，显然，，所以；
对于，
可构造函数，且，所以，
当时，所以在单调递增，
当时，所以在单调递减，
所以，所以，
所以，即，故，所以.
综上：.故选:A.
5．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，
所以是偶函数，令，设，
则，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为不等式，所以，解得，或，
则不等式的解集是.故选：C.
6．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，；当时，，则（ ）
A．-24 B．-12 C． D．
【答案】D
【解析】.
为奇函数，故，所以.故选：D.
7．（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】因为定义域为的函数满足，则为奇函数，
又，所以，
所以，则是周期为的周期函数，
又因为，即，
又当时，，所以，解得，
所以，
所以.故选：A
8．（2023·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）已知定义域为的函数满足，且其图像关于直线对称，若当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点在函数的图象上，则关于直线的对称点为，
则，解得，则，
又时，，则，
又，所以，
则，
此图象关于对称，所以，故选：D.
9．（2023·河北承德·高三双滦区实验中学校考阶段练习）（多选）已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D．
【答案】ABC
【解析】为奇函数，为偶函数，
所以的图象关于点对称且关于直线对称，故C正确；
所以，，，
，所以是周期函数，4是它的一个周期．
，，故B正确；
，是偶函数，A正确；
对任意的，且，都有，即时，
，所以在是单调递增，
，，，
，∴，故D错．故选：ABC．
10．（2023·山东·高三校联考阶段练习）（多选）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．的周期为4 B． C． D．
【答案】ABD
【解析】对A：由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称；
所以
所以①，
而②，将两式相加得：，
则③，所以，
所以是的一个周期，故A正确；
对B、C、D：由A项知令，由③得，由①，
得，由②得，
则，所以，
所以，故D正确；
由①令，得，，
由，，得，
两式相减得，
即，且关于对称，，
所以④，所以，
所以是周期为的周期函数，所以，故B正确；
由④令，得，所以，
所以，故C错误；故选：ABD.
11．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，且当时，，则 ．
【答案】1010
【解析】∵，∴函数的周期．
∵当时，，∴，，
∴，．
故．
12．（2023·上海浦东新·高三南汇中学校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为当且时，总有，
即当时，，所以是上的减函数，
又，则是偶函数，且在上递减，
不等式即为，也即，
所以，，.
13．（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 .
【答案】
【解析】的定义域为且为奇函数，
所以，，
所以，，
设，
则，所以是奇函数，
依题意可知，在的最大值为，
所以在的最小值为，
所以在的最小值为.
14．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数．
（1）求的解析式，并判断的单调性；
（2）已知，，且，求的取值范围．
【答案】（1），在上单调递增；（2）
【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，为偶函数，
令，则，
故，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
综上，，在上单调递增.
（2）因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增，
，且，
，即，则，
当时，，则，即，故；
当时，，则，即，则；
综上，的取值范围为.
15．（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）已知函数对任意，，总有，且当时，，．
（1）求证：是上的奇函数；
（2）求证：是上的减函数；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）证明：函数对任意，，总有，
令，则，解得.
令，得到，则
可证，是上的奇函数.满分技巧
判断函数的单调性的四种方法
1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；
2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性；
3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性；
4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性。
满分技巧
利用单调性求参数的三种情况：
1、直接利用题意条件和单调性代入求参；
2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；
3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。
满分技巧
1、常见的奇函数与偶函数
（1）（）为偶函数；
（2）（）为奇函数；
（3）（）为奇函数；
（4）（）为奇函数；
（5）（）为奇函数；
（6）为偶函数；
（7）为奇函数；
2、函数奇偶性的应用
（1）求函数值：将待求值利用就行转化为已知区间上的函数值求解；
（2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；
（3）求参数：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值。
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已知为奇函数，则，
设（其中为常数），则，
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（是不为0的常数）
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则；
（5）若，则； （6）若，则（）；
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1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数．
2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．
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解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响。