4.2++正比例和反比例（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

这是一份4.2++正比例和反比例（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版，共7页。

第四单元 比例第2课时 正比例和反比例一、学习目标1、通过具体问题认识成正比例的量，理解正比例的意义。（重点）2、认识正比例关系的图像，会根据一个量在图像中找出或估计出另一个量的值，并能在方格纸上画图像。（难点）3、理解反比例的意义，掌握成反比例的量的变化规律，能找出生活中成反比例的实例。（重难点）4、培养观察、分析、比较、抽象、概括能力，以及学习方法的迁移能力，渗透函数思想。二、知识点梳理温故而知新1、比例的意义：表示两个比相等的式子。2、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。知识点一 成正比例的量问题文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。观察上表，回答下面的问题。（1）表中有哪两种量？（2）总价是怎样随着数量的变化而变化的？（3）相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？讲解（1）表中有数量与总价这两种相关联的量。（2）总价随着数量的增加而增加，随着数量的减少而减少。（3）相应的总价与数量的比分别是3.5:1，7:2，10.5:3，……比值都是3.5。总结两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母和表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子（一定）来表示。知识点二 正比例图像问题知识点一的表中的数据还可以用图像（如下图）表示：根据图像回答下面的问题：（1）从图中你发现了什么？（2）把数对（10，35）和（12，42）所在的点描出来，并和上面的图像连起来并延长，你还能发现什么？（3）不计算，根据图像判断，如果买9 m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？（4）小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？（5）你能举出生活中正比例关系的例子吗？讲解（1）发现：图象是一条过原点的直线，彩带米数增加，总价也相应增加。（2）发现：这两个数对表示的点在经过原点的这条直线上。（3）根据图像判断，买9 m彩带的总价是31.5元；49元能买14 m彩带。（4）他花的钱是小丽的2倍。（5）①因为＝4（一定），所以正方形的周长与边长成正比例关系；②如果汽车行驶的速度一定，即路程/时间＝速度（一定），路程与时间成正比例关系。知识点三 成反比例的量问题杯子的底面积与水的高度的变化情况如下表。观察上表，回答下面的问题。（1）表中有哪两种量？（2）水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的？（3）相对应的杯子的底面积与水的高度的成绩分别是多少？（4）你能举出生活中反比例关系的例子吗？讲解（1）表中有两种相关联的量：水的高度和杯子的底面积。（2）水的高度随着杯子的底面积的增大而不断减小。（3）相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积都是300 cm2。（4）总价一定，即单价×数量＝总价（一定），单价与数量成反比例关系；如果长方形的面积一定，长与宽成反比例关系。总结两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量种相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母和表示两种相关联的量，用表示它们的积（一定），则反比例关系可以用式子=（一定）来表示。三、典型例题例1 判断表中两种量成什么比例。（1）文文看《三国演义》这本书，她看书的天数和页数如下表。（2）小白兔贮藏了一些萝卜，每天吃的质量和吃的天数如下表。解：（1）因为页数/天数=每天看的页数（一定），所以她看书的天数和页数成正比例。（2）1×240=2×120=3×80=……=240因为每天吃的质量×吃的天数=萝卜的总质量（一定），所以每天吃的质量和吃的天数成反比例。例2 下面的图像反映的是刘奇和李英的睡眠情况。（1）刘奇的睡眠时间和天数是否成正比例？李英的呢？（2）刘奇和李英7天分别能睡多少小时？（3）谁每天的睡眠时间长些？长多少？解：（1）刘奇：，比值一定。李英：，比值一定。所以，刘奇和李英的睡眠时间和天数都成正比例。（2）由（1）得，刘奇每天睡10小时，李英每天睡10小时，李英每天睡8小时。10×7=70（时） 8×7=56（时）答：刘奇和李英7天分别能睡70小时、56小时。（3）10－8=2（时）答：刘奇每天的睡眠时间长些，每天长2小时。例3 一个长方形的面积是36 cm2，用和表示它的长和宽。和成什么比例关系？如果把它们的关系用图像表示出来，图像是一条直线吗？解：长方形的面积=长×宽=×=36×=36（一定），所以与成反比例。画出它们的关系图象如上图，所以它的图像是一条曲线，而不是一条直线。例4 判断：圆的面积与半径成正比例。（ ）解：×因为圆的面积/半径2=π（一定），圆的面积与半径的比值不是一个定值，与半径的平方的比值是一个定值，所以圆的面积与半径的平方成正比例。例5 把一根长铁管锯成6段需要10分钟，照这样计算，锯成18段需要多少分钟？解：设锯成18段需要分钟。 答：锯成18段需要34分钟。四、课堂练习1、填空。（1）因为（一定），所以（ ）和（ ）成正比例。（2）因为除数×商＝（ ）（一定），所以（ ）和（ ）成反比例。（3）如果，那么和成（ ）比例；如果，那么和成（ ）比例。2、分别判断下面两种量成不成比例，成什么比例。（1）小美从学校到家，走路的平均速度和所需的时间。（ ）（2）圆锥的体积一定，底面积和高。（ ）（3）修路的总长度一定，已修的长度和没修的长度。（ ）（4）长方形的周长一定，长和宽。（ ）（5）正方形的周长和边长。（ ）（6）圆的周长和直径。（ ）（7）一个人的体重和他的身高。（ ）3、选择（1）表示和成反比例的式子是（ ）。A、 B、 C、（2）甲数是乙数的，那么甲数与乙数（ ）。A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例（3）乐乐从1楼爬到3楼共用了3分钟，那么从1楼爬到5楼要用（ ）分钟。A、8 B、6 C、4（4）下面各项中，成反比例的是（ ）。A、 B、 C、（5），和（ ）。A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例4、填表。（1）已知和成正比例。（2）已知和成反比例。5、磁悬浮列车行驶的路程与时间的关系如下表。（1）下图中点A表示时间为1分时磁悬浮列车行驶的路程为7千米，请你试着描出其他各点，并连接各点。（2）列车运行2分半时，行驶的路程是多少千米？6、自然数A，B满足，且，求的值。数量/m12345678……总价/元3.5710.51417.52124.528……杯子的底面积/cm21015203060……水的高度/cm302015105……天数/天123456……页数/页255075100125150……每天吃的质量/克123456……吃的天数/天24012080604840……1.5314.50.150.2100.2593.2时间/分123456…路程/千米71421283542…