北师大版七年级数学上册 专题16 应用一元一次方程（14大题型）（原卷版+解析）

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专题16 用一元一次方程解决问题（14大题型）【题型目录】题型一 行程问题题型二 配套问题题型三 工程问题题型四 销售盈亏问题题型五 比赛积分问题题型六 方案选择问题题型七 数字问题题型八 几何问题题型九 和差倍分问题题型十 电费和水费问题题型十一 比例分配问题题型十二 日历问题题型十三 古代问题题型十四 其他问题【经典例题一 行程问题】1．（23·24八年级上·浙江宁波·期末）某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用(    )A．32秒 B．38秒 C．42秒 D．48秒2．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某人乘船出A地顺流而下到B地，然后逆流而上到C地，共乘船6小时，船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，已知A、B、C三地在一条直线上，若A、C两地距离4千米，则A、B两地之间的距离是 千米．3．（2023上·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期中）如图，有两动点在线段上各自做不间断的往返匀速运动（即只要动点与线段的某一端点重合则立即转身以同样的速度向的另一端点运动，与端点重合之前动点运动方向、速度均不改变），已知点的速度为米/秒，点的速度为米秒．(1)已知米，若点先从点出发，当米时，点从点出发，点出发后经过 秒与点第一次重合；(2)已知米，若两点同时从点出发，经过几秒两点第一次重合；(3)如图，若两点同时从点出发，点与点第一次重合于点，第二次重合于点，且米，求的长．4．（2021上·陕西渭南·七年级校考期中）一辆出租车从地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（向东记为正）记录如下：（，单位：）(1)写出这辆出租车每次行驶的方向：第一次向______；第二次向______；第三次向______；第四次向______；(2)若，求经过连续4次行驶后，这辆出租车在地的什么方向，距离地有多远？(3)求这辆出租车4次行驶的总路程（结果用含的式子表示）；若这辆出租车4次行驶的总路程是，求这辆出租车第四次行驶了多少千米？【经典例题二 配套问题】1．（20·21七年级上·山东枣庄·阶段练习）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1根木材可以制作20个桌面或者制作400条桌腿，现有12根木材，要使制作出来的桌面和桌腿恰好都配成桌子，应利用多少根木材来制作桌面？（    ）A．10 B．8 C．6 D．22．（21·22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某厂生产一批纸盒，2米硬纸板可以做3个盒盖或者4个盒身，现有硬纸板140米，为了使盒盖和盒身正好配套，制作盒盖需要 米硬纸板．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）某工厂一车间有名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务．每个工人每天能加工甲种零件个，或加工乙种零件个．(1)若一辆轿车只需要甲零件1个和乙零件1个使每天能配套生产轿车，问应安排多少工人加工甲种零件？(2)若一辆轿车需要甲零件7个和乙零件2个使每天能配套生产轿车，若加工一件甲种零件加工费为元，加工一件乙种零件加工费为元，若名工人正好使得每天加工零件能配套生产轿车，求一天这名工人所得加工费一共多少元？4．（2023上·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．(1)该车间有男生、女生各多少人？(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？【经典例题三 工程问题】1．（22·23七年级上·湖南衡阳·期末）整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则列方程正确的是（　　）A． B．C． D．2．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一项工程甲队单独完成此项工程需60天，乙队单独完成此项工程需90天．若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 天可以完成此项工程．3．（2022上·北京大兴·七年级校考期末）列方程解应用题：某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅16套，乙每天修桌椅比甲多8套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．(1)该中学库存多少套桌椅？(2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天20元生活补助费，现有三种修理方案：、由甲单独修理；、由乙单独修理；、甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱？为什么？4．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级校考阶段练习）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多(1)求乙工厂每天加工这种校服多少件？(2)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？(3)在（2）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？【经典例题四 销售盈亏问题】1．（22·23七年级下·吉林长春·期末）儿童节过后，某超市将节日期间没有销售完的一款玩具礼盒进行打折销售，这款玩具礼盒每盒进价为元，标价为元，若保证利润率是，则需要打（  ）A．六折 B．七折 C．八折 D．九折2．（22·23上·惠州·竞赛）某书城开展学生优惠售书活动，凡一次性购书不超过200元的一律8折，超过200元的部分按7折算．某学生第一次购书付72元，第二次又去购书，他查看了所有卖书的定价，发现两次共节省70元钱，则该学生第二次购书实际付款 元．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）比优特超市销售甲、乙两种商品，已知甲商品每件进价40元，售价60元；乙商品每件售价48元，利润率为．(1)每件甲商品利润率为______；乙商品每件进价为______元；(2)若超市同时购进甲、乙两种商品共52件，总进价为1790元，则购进乙种商品多少件？(3)在“十一国庆”期间超市所有商品有优惠促销活动，方案如下：①购买商品不超过300元，不优惠；②购买商品超过300元，但不超过500元，按照售价九折优惠；③购买商品超过500元时，按照售价的八折优惠；按照以上优惠条件，若王阿姨一次性购买甲商品实际付款432元，求王阿姨此次购物购买多少件甲商品？4．（2023上·全国·七年级专题练习）某水果商人以每千克20元的价格购进一批草莓，售完后，又再次购进一批，由于第二批草莓的进货价格比第一批每千克便宜2元，故多购进50千克，两批草莓共花费4700元．(1)该商人第二批购进多少千克的草莓？(2)水果商人将第二批购进的草莓平均分给甲、乙两家水果店零售，零售价为每千克30元．甲店按零售价卖出千克后，剩余的按零售价的八折全部售出；乙店同样按零售价卖出千克，然后将千克按零售价打九折售出，剩余的按零售价打七折全部售出，结果销售额与甲店相同．①求与的数量关系；②已知乙店按零售价打九折售出的数量不超过按零售价卖出的数量，那么乙店的利润能恰好为588元吗？请说明理由．【经典例题五 比赛积分问题】1．（23·24七年级上·云南昆明·期末）北京时间月日，中国女篮在年澳大利亚女篮世界杯中，收获亚军，追平了历史最佳战绩．女篮世界杯小组赛积分规则为：胜一场积分，负一场积分，中国女篮在组比赛场，均分出胜负，共积分，则中国女篮在组赛中获胜的场数是(    )A．场 B．场 C．场 D．场2．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）哈尔滨市中学生排球赛中，按胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分计算，我校排球队共参加8场比赛，保持不败的情况下共得13分，其中胜了 场．3．（2021上·江西赣州·七年级校联考阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况．(1)由表中的数据可知：答对1题得 　 　分，答错1题得 　 　分；(2)参赛者小婷得76分，她答对了几道题？(3)参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？4．（2021上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）我校积极推进“阳光体育”工程．本学期在七年级开展篮球比赛，最后有11个班进入半决赛．半决赛采用单循环的规则，每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需要进行10场比赛．比赛规则规定，每场比赛要分出胜负，胜一场积3分，负一场各分．若本次比赛中七（5）班胜出场，七（5）班比七（3）班多胜2场，请回答以下问题．(1)请用含式子表示出七（5）班的积分．(2)请用含式子表示出七（5）班的积分与七（3）班的积分和．(3)如果七（5）班积分七（3）班积分的5倍，则的值为________场．【经典例题六 方案选择问题】1．（22·23上·全国·专题练习）某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　）A．445元 B．405元 C．356元 D．324元2．（2022·北京密云·二模）某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示：（1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了 张宣传单；（2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择 图文社更省钱（填A或B）．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装工后销售，每吨利润涨至75000元该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天将这批月饼全部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案：方案一：将月饼全部进行简装加工，方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售，方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？4．（2023上·吉林四平·七年级校考期中）某公园有以下A，B，C三种购票方式：(1)某游客一年中进入该公园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用（用含a的代数式表示）；(2)某游客一年中进入该公园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请说明理由；(3)已知甲，乙，丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该公园的次数相同．一年中，若甲所花的费用比乙和丙两人所花费用之和少60元，请直接写出甲一年中进入该公园的次数．【经典例题七 数字问题】1．（22·23七年级上·福建三明·期中）在方格上做填数字游戏，要求每行、每列及每条对角线上的三个格子中的3个数字之和都相等，其中三个格子中的数字如图所示，若要能填成，则这方格9个数字之和为（    ）  A．72 B．90 C．93 D．992．（23·24七年级上·湖北武汉·阶段练习）中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，称，，，1，2，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经称1，这两个数填入了圆圈，则的值是 ．  3．（2023上·广东广州·七年级华南师大附中校考期中）将连续的奇数1，3，5，7，…，按照一定的规律排成如图，图中的T字框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．  (1)数表中从小到大排列的第9个数是17，第40个数是______，第100个数是______，第n个数是______．(2)数71排在数表中的第______行，从左往右数第______个数；(3)设T字框内最小的数为a，请用含a的代数式表示这4个数的和；(4)若将T字框上下左右移动，框住的四个数的和能分别等于366、2022吗？如果能，请指出框中数字的最大数；如果不能，请说明理由．4．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，2023排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、…  (1)①数阵中排在第6行第1列的数是______，数阵中排在第7行第1列的数是______；②数阵中共有______个数，2023在数阵中排在第______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为______．(2)按如图所示的方式，用一个“  ”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)数阵中用一个“  ”形框框住的四个数的和记为“S”，直接写出S的最大值与最小值的差．【经典例题八 几何问题】1．（23·24七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，点、点分别表示数，，则线段的长表示为||，例如：在数轴上点表示，点表示，则线段的长表示为||，数轴上的任意一点表示的数是，且||||的最小值为，若，则的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或2．（23·24七年级上·河南商丘·阶段练习）点A、B在数轴上对应的数分别为a，b，满足，点P在数轴上对应的数为x，若点P与点A的距离记作，点P与点B的距离记作，当x＝ 时．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）综合与实践问题情境：我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”．图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”，解决问题：(1)如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为104，求正方形d的边长．(2)如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积．4．（2023上·宁夏中卫·七年级校考期中）如图所示，已知数轴上两点M、N对应的数分别为 、4，点P为数轴上任意一点，  其对应的数为x．(1)MN的长为______；(2)当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值；(3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是20？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由；(4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P、点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，请直接写出t的值．【经典例题九 和差倍分问题】1．（23·24七年级上·福建龙岩·开学考试）牧羊人正在放牧，一个人牵着一只羊问他．“你的羊群有多少只？”牧羊人答道：“这群羊加上一倍，再加上原来羊群的一半．又加上原来羊群的四分之一，算上你牵来的羊，正好满一百只．”请问，牧羊人的羊群有多少只？（    ）A．只 B．只 C．只 D．只2．（20·21下·宝山·期中）某企业原有管理人员和营销人员人数之比是3：2，总人数为180人，为了扩大市场，应从管理人员中抽调 人参加营销工作，就能使营销人员是管理人员人数的2倍．3．（2023上·七年级课时练习）在一次知识竞赛中，某班有50位同学参加比赛，每位同学都需要完成三道题，竞赛规则为：“答对一题得10分，不答或者答错扣10分．”(1)请直接写出每位同学所有可能的得分情况；(2)该班的答题情况为：有2位同学全部答错，全对的人数是答对1题人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对1题人数的2倍，求该班全部答对的人数．4．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）“九州同庆，盛世华诞”，某中学举办“迎国庆”校园艺术节，初二学年为参加集体歌舞表演的每名同学定制一套演出服装（一件上衣和一条裤子为一套，男女生同款）经过估算刚好需要某种布料228米，已知每6米长的这种布料可做上衣5件，每4米长的这种布料可做裤子3条．(1)用来生产上衣和裤子的布料各是多少米？(2)若参加演出男生比参加演出女生的少3人，求参加演出的男生有多少人；(3)某服装厂的甲、乙两个小组共同承担加工这批服装的任务，乙组人数比甲组人数的2倍少2人．若甲、乙两组工人原计划平均每人加工的服装套数相同，实际上到完工时甲组工人加工的服装总套数比原计划人均加工服装套数的5倍少4套，乙组工人加工的服装总套数比原计划人均加工服装套数的6倍少5套，求甲、乙两组各有多少工人？【经典例题十 电费和水费问题】1．（23·24上·全国·课时练习）收费标准如下：用水每月不超过，按0.8元收费，如果超过，超过部分按1.2元收费．已知某用户某月交水费6元，那么这个用户这个月用水（    ）A． B． C． D．2．（20·21六年级下·上海徐汇·期中）2019年起我国个人所得税起征点有新调整，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累加计算：（本题不计算规定中的抵扣部分）（纳税款应纳税所得额对应的税率）按此规定解答下列问题：如果小丽的爸爸三月份应缴交所得税款540元，那么他三月份的工资、薪金是 元．3．（2023上·天津蓟州·七年级统考期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（消费按月份结算，表示立方米）(1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是________元和________元．(2)若该户居民3月份用水量为（其中），则应收水费多少元？（用含的式子表示，并化简）．(3)若该户居民4月份交水费元，求该户居民4月用水多少？4．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，它们的收费方式如下．A专车：3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费元，不收其他费用；B快车：(1)如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元；(2)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元；(3)如果乘车路程是千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元（用含的式子表示）；(4)如果乘车路程是千米时，使用B快车出行的费用比使用A专车出行省3元，求的值．【经典例题十一 比例分配问题】1．（20·21七年级上·浙江宁波·期中）市场上一种茶饮料由茶原液与纯净水按一定比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水．由于今年以来茶产地云南地区连续大旱，茶原液收购价上涨，纯净水价也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨，问这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为（    ）A． B． C． D．2．（22·23七年级上·广东梅州·阶段练习）为控制“新冠”疫情，绵阳东辰学校准备配制某种消毒液，现有浓度为，，的甲、乙、丙三种消毒液分别为，，，现要配置浓度为的消毒液，设甲种消毒液用千克，则的取值范围是 ．3．（2021上·四川成都·七年级统考期末）列方程解应用题：某工有中、乙两车间各生产不同型号的产品，原计划乙车间人数比甲车间少100人，产品上市后，甲车间的产品成为爆款，于是又从乙车间调50人支援甲车间，这时甲车间的人数是乙车间剩余人数的3倍，求原来甲乙车间各有多少人？4．（2022上·天津和平·七年级校考期末）列一元一次方程解应用题某学校在校园文化艺术节中举行“班班唱”红歌比赛，七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有100张，每袋小红旗有50面，贴纸和小红旗需整袋购买．两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少20元，而且2袋贴纸与1袋小红旗价格相同．(1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？(2)如果购买贴纸和小红旗共40袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面，恰好全部分完，请问该校七年级有多少名学生？(3)在（2）条件下，两家文具店的有优惠如下：A． 文具店：全场商品购物超过800元后，超出800元的部分打八折；B． 文具店：相同商品，“买十件赠一件”．请问在哪家文具店购买比较优惠？【经典例题十二 日历问题】1．（22·23七年级上·湖南衡阳·期末）正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（　　）  A．315 B．416 C．530 D．6442．（22·23七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能是①55；②70；③84；④105；⑤140，其中正确的可能有 ．（填写序号）  3．（2023上·河南周口·七年级校考期中）某单位在10月份组织m（）位员工去旅游，联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为3000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社给每位员工六折优惠；乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工七折优惠．(1)甲旅行社的费用为______元，乙旅行社的费用为______元．（用含m的代数式表示并化简）(2)若，则该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由．(3)若该单位计划在10月份外出旅游7天，设最中间一天的日期为n，则这七天的日期之和为______（用含有n的代数式表示并化简）．若这七天的日期之和为84的倍数，则他们可能于10月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程）4．（2023上·广东中山·七年级统考期中）将正整数1，2，3，4，5，……排列成如图所示的数阵：  (1)如果设十字架正中心的数为x，用含x的式子表示这五个数的和．(2)十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由；(3)十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数：若不能，请说明理由．【经典例题十三 古代问题】1．（22·23七年级下·云南昭通·阶段练习）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”题目的意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折后再去量长木，长木剩余1尺，问长木有多少尺？（    ）A． B．5.5 C．6.5 D．112．（22·23七年级上·江苏常州·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣原文如下∶今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽；又三家合取一鹿，恰尽．问城中有家多少？大意为：现在有100只鹿要进城，城里的人家每家分一只，会有剩余分不完的鹿，如果再将剩余的鹿，3家合分一只，恰好分完．问城中有几户人家？问：城中有 户人家．3．（2022上·广东深圳·七年级深圳中学校联考期末）列方程应用题.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何?”原文的意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.(1)绳子、长木各长多少尺?(2)皓元同学对（1）中所用的长木和绳子进行了一定条件下燃烧速度的实验.他分别截取了等长的木头和绳子各两根.先取出木头和绳子各一根，将其浸没在油中，一段时间后取出.从一端点燃后，他发现燃烧完一根木头需要40分钟，燃烧完一根绳子需要10分钟.随后，他同时点燃了剩下的等长的木头和绳子，一段时间后，同时都被风吹灭，这时他发现木头的长是绳子的长的4倍，问第二次木头燃烧的时间为多少分钟?4．（2023上·河北石家庄·七年级统考期末）在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析和解答过程：(1)设共有辆车；(2)由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为___________________（用含的式子表示）；(3)由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”可得人数为____________________（用含的式子表示）；(4)根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为_________________________；(5)写出解方程的过程．【经典例题十四 其他问题】1．（22·23七年级上·福建三明·期末）用火柴棒按下列方式搭图形，有下列说法：  ①第4个图形需要22根火柴棒；②第5个图形共有10个小正方形；③用112根火柴棒，按所给方式可以依次搭出6个图形；④如果某一图形共用了2022根火柴棒，那么它是第404个图形．其中正确的是（    ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．（23·24上·哈尔滨·期中）对于三个互不相等的数a，b，c，我们规定用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最大的数，例如，，如果，那么， ．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，哈市某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化  (1)用含有、的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；(2)若，，求出绿化的总面积；(3)在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两个绿化队完成此项绿化任务．已知甲队每小时可以绿化5平方米，乙队每小时绿化3平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？4．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）如图，周长为2个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合．  (1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置点A表示的数是 ； (2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，运动情况依次记录如下：第6次向右滚动a(a为正整数)周后，点Q距离原点4．①请求出a的值；②当圆片结束6次滚动时，求点Q一共运动的路程．【培优检测】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）通乡商店新进某种衬衫，以利润率标价，逢店庆八折出售，仍可获利20元，则该衬衫进价为（    ）A．80元 B．100元 C．120元 D．150元2．（2023上·天津和平·七年级统考期中）一个两位数，十位上的数是，个位上的数是．把与对调，新两位数比原两位数大．根据题意列出的方程为（    ）．A． B．C． D．3．（2022上·浙江金华·七年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x和y的和是（　　）A．9 B．20 C．11 D．324．（2023上·河南驻马店·七年级校考期末）如图，已知A，B两点在数轴上，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　）  A．5秒 B．5秒或者4秒C．5秒或者秒 D．秒5．（2023上·安徽蚌埠·七年级统考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（    ）  A． B． C． D．6．（2023上·辽宁大连·七年级校考阶段练习）数学运算其妙无穷，如在学习有理数时，，即两个有理数之和等于这两个有理数之积，请你在有理数中再找一组数a、使，你找的一组是 ．7．（2023上·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作．已知，，则：  （1）的值是 ；（2）若点以每秒1个单位的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点以每秒2个单位的速度从点出发沿数轴向左运动．设运动时间是秒．当点与点之间的距离是9时，则的值为 秒．8．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使在乙处工作的人数是在甲处工作人数的，那么应从乙处调出 人到甲处．9．（2020上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）某城市按如下规定收取每月煤气费：用气量如果不超过，按收费，如果超过，超过部分按元收费，已知某用户2012年12月份的煤气费平均每立方米元，则2012年12月份该用户应交煤气费用 元．10．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，画一条数轴，用点分别表示，，200，刻度尺的单位长度为，将有刻度线的一边放到数轴上．  （1）若数轴的单位长度为，刻度尺上表示“0”和“5”的刻度分别对应数轴上的和，那么的值为 ；（2）若数轴的单位长度与刻度尺不一致，且刻度尺上的1和3分别对应数轴上的和．①刻度尺上的10对应数轴上的数为 ；②若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，若用刻度尺能测量出数轴上之间的距离，则的最小整数值为 ．11．（2023上·甘肃武威·六年级校联考期中）一条公路长360米，甲、乙两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油，甲队的施工速度是乙队的，4天后这条公路全部铺完．甲、乙两队每天分别铺柏油路多少米？（用方程解决）12．（2023上·江苏无锡·七年级校联考期中）已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（）．  (1)点A表示的有理数是 ，点C表示的有理数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）．(2)当t= 秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？(3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．13．（2023上·安徽亳州·七年级校联考期中）七年级（1）班的晓东同学的妈妈想锻炼晓东独自出行的能力，让他本周末先到本地的姑妈家，然后和表弟两人一起去本地的景点游玩．因为到姑妈家没有直达的公交车，所以晓东选择了打车．到达之后，晓东给妈妈打电话报了平安．下面是他们母子的部分对话：根据对话，解答下列问题：(1)如果晓东和表弟乘出租车去本地距离姑妈家公里处的风景点A处游玩，他们要付________元；(2)如果晓东和表弟乘出租车去本地距离姑妈家x公里（x超过3公里，x按整数计）的风景点B处，那么他们要付多少钱？（用含x的代数式表示）(3)如果他们去本地距离姑妈家10公里的风景点，应付多少钱？（四舍五入，保留整数）(4)请写出晓东家和姑妈家的距离，并说明理由．14．（2023上·江西南昌·七年级统考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求__________．(2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是__________．(3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出取小值，如果没有说明理由．(4)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由．(5)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由．15．（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球，己知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款．该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（，x为整数）．(1)当时，若该球馆按方案一购买，需付款______元；若该球馆按方案二购买，需付款_____元；(2)当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？(3)若，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由．16．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A与慢车头C之间的距离为6个单位长度且到原点的距离相等．设运动的时间为t秒（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度）．  (1)A在数轴上表示的数为________，D在数轴上表示的数为________；(2)从此时刻开始，若快车以2个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以1个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，当t为何值时，两列火车的车头A、C相距3个单位长度；(3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，若将和较近的两个端点之间的距离叫做两车之间的最小距离，将和较远的两个端点之间的距离叫做两车之间的最大距离．例如图中两车之间的最小距离即A，C之间的距离，最大距离即B，D之间的距离．当这两车的最大距离是最小距离的两倍时，请直接写出t的值．专题16 应用一元一次方程（14大题型）【题型目录】题型一 行程问题题型二 配套问题题型三 工程问题题型四 销售盈亏问题题型五 比赛积分问题题型六 方案选择问题题型七 数字问题题型八 几何问题题型九 和差倍分问题题型十 电费和水费问题题型十一 比例分配问题题型十二 日历问题题型十三 古代问题题型十四 其他问题【经典例题一 行程问题】1．（23·24八年级上·浙江宁波·期末）某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用(    )A．32秒 B．38秒 C．42秒 D．48秒【答案】C【分析】设楼上到楼下的路程为1，人从楼上走到楼下所用的时间为x秒，则人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下的速度为，他站在自动扶梯上不动，下楼速度为，则他步行下楼的速度为，据此列方程求解即可．【详解】解：设楼上到楼下的路程为1，人从楼上走到楼下所用的时间为x秒，由题意得，，解得：，故选：C．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．2．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某人乘船出A地顺流而下到B地，然后逆流而上到C地，共乘船6小时，船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，已知A、B、C三地在一条直线上，若A、C两地距离4千米，则A、B两地之间的距离是 千米．【答案】25或20【分析】根据题意可以分两种情况，然后求出相应的距离即可．【详解】解：设、之间的距离是千米，当点在、之间时，，解得，，当点在的上方时，，解得，，故答案为：25千米或20千米．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确顺水和逆水的速度、利用分类讨论的数学思想解答．3．（2023上·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期中）如图，有两动点在线段上各自做不间断的往返匀速运动（即只要动点与线段的某一端点重合则立即转身以同样的速度向的另一端点运动，与端点重合之前动点运动方向、速度均不改变），已知点的速度为米/秒，点的速度为米秒．(1)已知米，若点先从点出发，当米时，点从点出发，点出发后经过 秒与点第一次重合；(2)已知米，若两点同时从点出发，经过几秒两点第一次重合；(3)如图，若两点同时从点出发，点与点第一次重合于点，第二次重合于点，且米，求的长．【答案】(1)；(2)经过秒两点第一次重合；(3)．【分析】（）设点出发后经过秒与点第一次重合，根据相遇型，列方程求解即可；（）设经过秒两点第一次重合，根据追击型，列方程求解即可；（）当点与点第一次重合时，，一共走，同理当，第二次重合时，一共走，设第一次重合所用时间为，则，则第二次重合所用时间为，则，得方程，即可求解；此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【详解】（1）解：设点出发后经过秒与点第一次重合，依题意得，解得，则点出发后经过秒与点第一次重合，故答案为：；（2）解：设经过秒两点第一次重合，依题意得，解得，则经过秒两点第一次重合；（3）解：当点与点第一次重合时，，一共走，同理当，第二次重合时，一共走，设第一次重合所用时间为， ∴，，则第二次重合所用时间为，∴，∵，两点距离为，∴，∴，解得，∴．4．（2021上·陕西渭南·七年级校考期中）一辆出租车从地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（向东记为正）记录如下：（，单位：）(1)写出这辆出租车每次行驶的方向：第一次向______；第二次向______；第三次向______；第四次向______；(2)若，求经过连续4次行驶后，这辆出租车在地的什么方向，距离地有多远？(3)求这辆出租车4次行驶的总路程（结果用含的式子表示）；若这辆出租车4次行驶的总路程是，求这辆出租车第四次行驶了多少千米？【答案】(1)东；西；东；西(2)出租车在地的东边处(3)，出租车第四次行驶的路程是【分析】（1）根据x的取值范围判断四个代数式的正负，根据向东为正，向西为负，即可求解；（2）将四个代数式相加，将代入求值，根据向东为正，向西为负，即可求解；（3）将四个代数的绝对值相加即可表示出总路程，根据总路程为列方程求出x，即可求解．【详解】（1）解：因为，所以，，，，所以第一次向东；第二次向西；第三次向东；第四次向西；故答案为：东；西；东；西．（2）解：．因为，所以，所以若，则经过连续4次行驶后，这辆出租车在地的东边处．（3）解：根据题意可得这辆出租车行驶的路程为：，因为这辆出租车行驶的总路程是，所以，解得，所以，所以这辆出租车4次行驶的总路程是，若这辆出租车4次行驶的总路程是，则出租车第四次行驶的路程是．【点睛】本题考查正负数的应用，整式的加减运算，化简绝对值，一元一次方程的应用等，解题的关键是理解正负号的意义，正确化简绝对值．【经典例题二 配套问题】1．（20·21七年级上·山东枣庄·阶段练习）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1根木材可以制作20个桌面或者制作400条桌腿，现有12根木材，要使制作出来的桌面和桌腿恰好都配成桌子，应利用多少根木材来制作桌面？（    ）A．10 B．8 C．6 D．2【答案】A【分析】设应利用根木材来制作桌面，则利用根木材来制作桌腿，根据制作的桌腿总数量是制作的桌面总数量的4倍，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论.【详解】解：设应利用根木材来制作桌面，则利用根木材来制作桌腿，依题意得：，解得：，故选：A.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.2．（21·22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某厂生产一批纸盒，2米硬纸板可以做3个盒盖或者4个盒身，现有硬纸板140米，为了使盒盖和盒身正好配套，制作盒盖需要 米硬纸板．【答案】80【分析】制作盒盖需要x米硬纸板，则制作盒身需要米硬纸板，根据题意列出方程求解即可．【详解】解：制作盒盖需要x米硬纸板，则制作盒身需要米硬纸板，根据题意可得：，解得：，故答案为：80．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）某工厂一车间有名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务．每个工人每天能加工甲种零件个，或加工乙种零件个．(1)若一辆轿车只需要甲零件1个和乙零件1个使每天能配套生产轿车，问应安排多少工人加工甲种零件？(2)若一辆轿车需要甲零件7个和乙零件2个使每天能配套生产轿车，若加工一件甲种零件加工费为元，加工一件乙种零件加工费为元，若名工人正好使得每天加工零件能配套生产轿车，求一天这名工人所得加工费一共多少元？【答案】(1)应安排个工人加工甲种零件；(2)一天这名工人所得加工费一共是元；【分析】（1）本题主要考查一元一次方程解决生产配套问题，设有x个工人加工甲种零件，则有个人加工乙种零件，根据配套数量列方程求解即可得到答案；（2）本题主要考查一元一次方程解决生产配套问题，设有y个工人加工甲种零件，则有个人加工乙种零件，根据配套数量列方程求解即可得到答案；【详解】（1）解：设有x个工人加工甲种零件，则有个人加工乙种零件，由题意可得，，解得：，答：应安排个工人加工甲种零件；（2）解：，设有y个工人加工甲种零件，则有个人加工乙种零件，由题意可得，，解得：，∴，∴总费用为：，答：一天这名工人所得加工费一共是元．4．（2023上·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．(1)该车间有男生、女生各多少人？(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？【答案】(1)该车间有男生18人，则女生人数是26人(2)分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答；（2）首先设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则．解得则．答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．（2）设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，由题意得：解得：，答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．【经典例题三 工程问题】1．（22·23七年级上·湖南衡阳·期末）整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则列方程正确的是（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】由一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人4小时的工作＋增加2人后8天的工作＝全部工作．设全部工作是1，就可以列出方程．【详解】解：设应先安排x人工作，根据题意得：一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，工作量为，再增加2人和他们一起做8小时的工作量为，故可列式，故选：A．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，此题是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的 ，这一个关系是解题的关键．2．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一项工程甲队单独完成此项工程需60天，乙队单独完成此项工程需90天．若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 天可以完成此项工程．【答案】30【分析】设剩下的工程再由甲乙合作x天可以完成此项工程，根据两次完成的工作量之和为1建立方程求出其解即可．【详解】解：设剩下的工程再由甲乙合作x天可以完成此项工程，由题意得：解得：，故答案为：30．【点睛】本题考查了工程问题的工作量=工作效率×工作时间的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答本题时根据各部分工作量之和等于工作总量建立方程是关键．3．（2022上·北京大兴·七年级校考期末）列方程解应用题：某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅16套，乙每天修桌椅比甲多8套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．(1)该中学库存多少套桌椅？(2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天20元生活补助费，现有三种修理方案：、由甲单独修理；、由乙单独修理；、甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱？为什么？【答案】(1)该中学库存960套桌椅(2)方案c省时省钱【分析】（1）设该中学库存x套桌椅，根据等量关系“甲单独修完这些桌凳的天数=乙单独修完的天数+20天”列方程求解即可；（2）分别计算三种方案所需的修理费，再进行比较即可解答．【详解】（1）解：（设该中学库存x套桌椅，则，解得．答：该中学库存960套桌椅．（2）解：设a、b、c三种修理方案的费用分别为元，则，，，综上可知，选择方案c更省时省钱．答：方案c省时省钱．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找出题目中的等量关系、列出方程是关键．4．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级校考阶段练习）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多(1)求乙工厂每天加工这种校服多少件？(2)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？(3)在（2）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？【答案】(1)120件(2)4800件(3)150件【分析】（1）根据“乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多”列出算式求解即可；（2）设这批校服共有x件，根据“甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天”列出方程求解即可；（3）设甲工厂加工了a天，则乙工厂加工了天，根据“学校共需支付甲乙两工厂18800元”列出方程，求出a的值，进而得出乙独自加工天数，设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服b件，根据“这批校服共有4800件”列出方程求解即可．【详解】（1）解：根据题意可得：（件），答：乙工厂每天加工这种校服120件；（2）解：设这批校服共有x件，，解得：，答：这批校服共有4800件；（3）解：设甲工厂加工了a天，则乙工厂加工了天，，解得：，∴乙独自加工天数：（天），设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服b件，，解得：，答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．【经典例题四 销售盈亏问题】1．（22·23七年级下·吉林长春·期末）儿童节过后，某超市将节日期间没有销售完的一款玩具礼盒进行打折销售，这款玩具礼盒每盒进价为元，标价为元，若保证利润率是，则需要打（  ）A．六折 B．七折 C．八折 D．九折【答案】C【分析】设打折出售，由利润率是，列出方程，即可求解．【详解】解：设打折出售，由题意可得：，解得：，答：打八折出售，故选：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．2．（22·23上·惠州·竞赛）某书城开展学生优惠售书活动，凡一次性购书不超过200元的一律8折，超过200元的部分按7折算．某学生第一次购书付72元，第二次又去购书，他查看了所有卖书的定价，发现两次共节省70元钱，则该学生第二次购书实际付款 元．【答案】188【分析】先求出第一次购书时的实际定价，再根据第二次购书节省的钱数列出方程，再求解即可．【详解】解：第一次购书付款72元，享受了8折优惠，实际定价为（元），省去了18元钱．依题意，第二次节省了（元）．设第二次所购书的定价为元．，解得．故第二次购书实际付款为：（元）．所以该学生第二次购书实际付款188元．故答案为：188【点睛】考查了一元一次方程的应用，解答本题需注意第二次所购的书有七折的部分，有八折的部分，需清楚找到这两部分实际出的钱．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）比优特超市销售甲、乙两种商品，已知甲商品每件进价40元，售价60元；乙商品每件售价48元，利润率为．(1)每件甲商品利润率为______；乙商品每件进价为______元；(2)若超市同时购进甲、乙两种商品共52件，总进价为1790元，则购进乙种商品多少件？(3)在“十一国庆”期间超市所有商品有优惠促销活动，方案如下：①购买商品不超过300元，不优惠；②购买商品超过300元，但不超过500元，按照售价九折优惠；③购买商品超过500元时，按照售价的八折优惠；按照以上优惠条件，若王阿姨一次性购买甲商品实际付款432元，求王阿姨此次购物购买多少件甲商品？【答案】(1) ，30(2)29件(3)8件或者9件【分析】（1）设乙的进价为x元/件，根据乙的利润率为，求出x的值；（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，再由总进价是1790元，列出方程求解即可；（3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过300元，但不超过500元，②打折前购物金额超过500元，分别列方程求解即可．【详解】（1）解：甲商品的利润率为，设乙的进价为x元/件，则，解得：．故乙的进价为30元/件；故答案为：，30；（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，由题意得，，解得：，∴购进乙种商品29件；（3）设王阿姨此次购物购买m件甲商品，①当打折前购物金额超过300元，但不超过500元时，由题意得，解得：；②当打折前购物金额超过500元时，，解得：，综上可得王阿姨此次购物购买8件或9件甲商品．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．4．（2023上·全国·七年级专题练习）某水果商人以每千克20元的价格购进一批草莓，售完后，又再次购进一批，由于第二批草莓的进货价格比第一批每千克便宜2元，故多购进50千克，两批草莓共花费4700元．(1)该商人第二批购进多少千克的草莓？(2)水果商人将第二批购进的草莓平均分给甲、乙两家水果店零售，零售价为每千克30元．甲店按零售价卖出千克后，剩余的按零售价的八折全部售出；乙店同样按零售价卖出千克，然后将千克按零售价打九折售出，剩余的按零售价打七折全部售出，结果销售额与甲店相同．①求与的数量关系；②已知乙店按零售价打九折售出的数量不超过按零售价卖出的数量，那么乙店的利润能恰好为588元吗？请说明理由．【答案】(1)该商人第二批购进150千克的草莓(2)①；②不能，见解析【分析】（1）设该商人第二批购进千克的草莓，则第一批购进千克的草莓，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）①由水果商人将第二批购进的草莓平均分给甲、乙两家水果店零售，可得出甲、乙两家水果店每家分到75千克草莓，根据甲、乙两店的销售额相等，即可得出关于，的等式，然后变形后即可得出与的数量关系；②利用利润销售单价销售数量进货单价进货数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，根据求出m的值，根据乙店按零售价打九折售出的数量不超过按零售价卖出的数量，得出此时求出的m、n的值不符合题意，即可得出乙店的利润不能为588元．【详解】（1）解：设该商人第二批购进千克的草莓，则第一批购进千克的草莓，依题意得：，解得：，答：该商人第二批购进150千克的草莓．（2）解：①（千克）．依题意得：，．②乙店的利润不能为588元，理由如下：假设乙店的利润能恰好为588元，，，即，，∴，∴，∵乙店按零售价打九折售出的数量不超过按零售价卖出的数量，乙店的利润不能为588元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、等式性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）①找准等量关系，正确列出m、n的等式；②根据各数量之间的关系，求出m、n的值．【经典例题五 比赛积分问题】1．（23·24七年级上·云南昆明·期末）北京时间月日，中国女篮在年澳大利亚女篮世界杯中，收获亚军，追平了历史最佳战绩．女篮世界杯小组赛积分规则为：胜一场积分，负一场积分，中国女篮在组比赛场，均分出胜负，共积分，则中国女篮在组赛中获胜的场数是(    )A．场 B．场 C．场 D．场【答案】B【分析】设中国女篮在组赛中获胜的场数是场，根据“中国女篮在组比赛场，均分出胜负，共积分”找到等量关系：胜场总积分负场总积分最终所得总积分，然后据此列方程求解即可．【详解】解：设中国女篮在组赛中获胜的场数是场，根据题意，列方程得：，解得，则中国女篮在组赛中获胜的场数是场．故选B．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，应用“胜场总积分负场总积分最终所得总积分”这个等量关系列方程是解题的关键．2．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）哈尔滨市中学生排球赛中，按胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分计算，我校排球队共参加8场比赛，保持不败的情况下共得13分，其中胜了 场．【答案】5【分析】设我校排球队胜了x场，则平了场，根据各场的得分之和分建立方程求出其解即可．【详解】解：设我校排球队胜了x场，则平了场，由题意，得，解得：．我校排球队胜了5场．故答案为：5．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答时根据各场的得分之和分建立方程是解答的关键．3．（2021上·江西赣州·七年级校联考阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况．(1)由表中的数据可知：答对1题得 　 　分，答错1题得 　 　分；(2)参赛者小婷得76分，她答对了几道题？(3)参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？【答案】(1)(2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题(3)不可能，理由见解析【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分＝总分÷全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分；（2）设参赛者小婷答对了x道题，答错了道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝76分建立方程求出其解即可；（3）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝80分建立方程求出其解即可判断．【详解】（1）由题意，得，答对1题的得分是：分，答错1题的得分为：分，故答案为：5，；（2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，由题意，得，，解得：．答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题；（3）不可能．理由如下：假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了道题，由题意，得，，解得：，∵y为整数，∴参赛者小明说他得80分，是不可能的．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际运用，正确理解题意、找准相等关系列出方程是关键．4．（2021上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）我校积极推进“阳光体育”工程．本学期在七年级开展篮球比赛，最后有11个班进入半决赛．半决赛采用单循环的规则，每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需要进行10场比赛．比赛规则规定，每场比赛要分出胜负，胜一场积3分，负一场各分．若本次比赛中七（5）班胜出场，七（5）班比七（3）班多胜2场，请回答以下问题．(1)请用含式子表示出七（5）班的积分．(2)请用含式子表示出七（5）班的积分与七（3）班的积分和．(3)如果七（5）班积分七（3）班积分的5倍，则的值为________场．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）本次比赛中七（5）班胜出x场，则负场，再由胜一场积3分，负一场积分，计算即可；（2）先求出七（3）班胜出场，负场，再计算即可；（3）由“七（5）班积分是七（3）班积分的5倍”，列出一元一次方程，解方程即可．【详解】（1）；（2）七（3）班胜场，负场，积分和为：分；（3），解得：．故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用等知识，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．【经典例题六 方案选择问题】1．（22·23上·全国·专题练习）某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　）A．445元 B．405元 C．356元 D．324元【答案】D【分析】设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元，分及两种情况可得出关于的一元一次方程，解之可求出的值，由第二次购物付款金额第二次购物购买商品的价格可得出关于的一元一次方程，解之可求出值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论．【详解】解：设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元，当时，；当时，，解得：（不符合题意，舍去）；∴；当时，则，∴，当时，，∴；∴或；综上所述，小敏两次购物的实质价值为或，均超过了350元，因此均可以按照8折付款：∴或，∴至少付款324元．故选：D．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的85元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．2．（2022·北京密云·二模）某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示：（1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了 张宣传单；（2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择 图文社更省钱（填A或B）．【答案】 800 B【分析】（1）：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单，由题意知，，计算求解的值即可；（2）印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元，在B图文社印制需要元；比较费用的大小，进而可得答案．【详解】（1）解：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单，由题意知，，解得，，故答案为：800．（2）解：由题意知，印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元；在B图文社印制需要元；∵，∴B图文社更省钱，故答案为：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于审清题意，正确的列方程求解．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装工后销售，每吨利润涨至75000元该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天将这批月饼全部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案：方案一：将月饼全部进行简装加工，方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售，方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？【答案】方案三获利最多，理由见解析【分析】方案一、方案二利用有理数的混合运算计算即可得到获得的利润，对于方案三，设精包装加工吨，则简包装加工吨，根据题意得：，求出的值，再利用有理数的混合运算，进行计算即可得到所获利润，比较大小即可得到答案．【详解】解：根据题意得：方案一获利为：（元），方案二获利为：（元），设精包装加工吨，则简包装加工吨，根据题意得：，解得：，，方案三获利为：（元），，方案三获利最多．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，有理数的比较大小，理解题意，找准等量关系，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．4．（2023上·吉林四平·七年级校考期中）某公园有以下A，B，C三种购票方式：(1)某游客一年中进入该公园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用（用含a的代数式表示）；(2)某游客一年中进入该公园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请说明理由；(3)已知甲，乙，丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该公园的次数相同．一年中，若甲所花的费用比乙和丙两人所花费用之和少60元，请直接写出甲一年中进入该公园的次数．【答案】(1)购票方式A的费用为：8a元；购票方式B的费用为：80元；购票方式C的费用为：元(2)选择B购买方式比较优惠，理由见解析(3)15次【分析】（1）根据题意，分别列代数式求得三种购票方式一年的费用；（2）根据（1）所求代入，求出三种购票方式的费用，再比较即可得到答案；（3）设甲一年中进入该公园的次数为x次，根据甲所花的费用比乙和丙两人所花费用之和少60元，列出方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得，购票方式A的费用为：8a元；购票方式B的费用为：80元；购票方式C的费用为：元；（2）解：购票方式A的费用为：元；购票方式B的费用为：80元；购票方式C的费用为：元；∵，∴选择B购买方式比较优惠；（3）解：设甲一年中进入该公园的次数为x次，则乙，丙两人进入该公园的次数也分别为x次，根据题意有：，解得：．故甲一年中进入该公园的次数为15次．【点睛】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的实际应用．正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键．【经典例题七 数字问题】1．（22·23七年级上·福建三明·期中）在方格上做填数字游戏，要求每行、每列及每条对角线上的三个格子中的3个数字之和都相等，其中三个格子中的数字如图所示，若要能填成，则这方格9个数字之和为（    ）  A．72 B．90 C．93 D．99【答案】B【分析】将表格中缺失的一些数设为未知数，再根据每行、每列及每条对角线上的三个格子中的3个数字之和都相等得到关系式，层层深入，即可解答．【详解】解：如图，将表格中缺失的一些数设为未知数，  每行、每列及每条对角线上的三个格子中的3个数字之和都相等，可得，解得，则可得，解得，每行、每列及每条对角线上的三个格子中的3个数字之和为，这方格9个数字之和为，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，用字母表示出，解出相应的值是解题的关键．2．（23·24七年级上·湖北武汉·阶段练习）中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，称，，，1，2，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经称1，这两个数填入了圆圈，则的值是 ．  【答案】2【分析】先设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可先求出b，再根据，求出d和e，最后求出a和c，即可求解．【详解】解：设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，根据题意可得，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，，∴，，，∴．【点睛】本题考查有理数的加法运算，以及幻方的特征和应用，熟练掌握有理数的加法是解题的关键．3．（2023上·广东广州·七年级华南师大附中校考期中）将连续的奇数1，3，5，7，…，按照一定的规律排成如图，图中的T字框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．  (1)数表中从小到大排列的第9个数是17，第40个数是______，第100个数是______，第n个数是______．(2)数71排在数表中的第______行，从左往右数第______个数；(3)设T字框内最小的数为a，请用含a的代数式表示这4个数的和；(4)若将T字框上下左右移动，框住的四个数的和能分别等于366、2022吗？如果能，请指出框中数字的最大数；如果不能，请说明理由．【答案】(1)79，199，(2)8，1(3)(4)框住的四个数的和不能等于366；和能等于2022，框中数字的最大数是513【分析】（1）根据表中数据规律即可得出答案；（2）求出数71是第36个数，因为每排有5个数，则可得出答案；（3）设T字框内最小的数为a，则框内该数右边的数为、，下面的数为，可得出T字框内四个数的和；（4）由条件得关于a的方程并解方程，注意要检验求得的解是否符合实际情况．【详解】（1）解：∵连续的奇数1、3、5、7、…、，∴第40个数是，第100个数是，第n个数是；故答案为：79，199，；（2）由（1）知：，，∴数71在第36个数，∵每排有5个数，∴数71排在数表的第8行，从左往右的第1个数，故答案为：8，1；（3）由题意，设T字框内最小的数为a，则框内该数右边的数为、，下面的数为，∴T字框内四个数的和为：，故T字框内四个数的和为：；（4）由题意，令框住的四个数的和为366，则有：，解得，由于数与87不在同一行，所以不符合题意，故框住的四个数的和不能等于366；令框住的四个数的和为2022，则有：，解得，，故框住的四个数的和能等于2022，框中数字的最大数是513；【点睛】本题考查了数字变化类、整式加减的应用、一元一次方程的应用、列代数式，解决本题的关键是寻找题目中隐含的规律．4．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，2023排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、…  (1)①数阵中排在第6行第1列的数是______，数阵中排在第7行第1列的数是______；②数阵中共有______个数，2023在数阵中排在第______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为______．(2)按如图所示的方式，用一个“  ”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)数阵中用一个“  ”形框框住的四个数的和记为“S”，直接写出S的最大值与最小值的差．【答案】(1)①81，97；②1012，4，(2)不存在(3)8016【分析】本题考查的是数字类的规律探索，一元一次方程的应用，解题的关键是能观察出数阵中每行的数依次增加2，每列的数依次增加16．（1）依据每行的数依次增加2，每列的数依次增加16，据此解答即可；（2）通过假设存在这样的，则可列出方程：，即可解答；（3）要使S的值最小，则框住的是第一、二行前面较小的数，要使S的值最大，则框住的是数阵中后面的大数，据此解答即可．【详解】（1）解：①通过观察可知，第五行最后一个数为79，则第6行第1列的数是，又通过观察可知，同一列的数依次往下加16，则第7行第1列的数是，②数阵中的数共有：（个），数阵中一共有1012个数，每行有8个数，，则2023在数阵中排在第4列；通过观察数阵可知：相邻两个数依次增加2，同列上下两个数依次增加16，则第行的第一个数为：，则数阵中排在第行第5列的数可用表示为：，故答案为：①81，97；②1012，4，；（2）解：假设存在这样的，使得被框住的四个数的和为1308，依题意，可列方程：，解得：．因为319是第160个奇数，，所以319位于第20行第8个数，因为319右边的数321位于第21行第1个数，所以假设不成立，故不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1308．（3）解：通过观察可知：框住的最小值为：，要使框住的值最大，则最后一个数2023必然在平行四边形中，则框住的最大值为：，则两者的差为：，故S的最大值与最小值的差为：8016．【经典例题八 几何问题】1．（23·24七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，点、点分别表示数，，则线段的长表示为||，例如：在数轴上点表示，点表示，则线段的长表示为||，数轴上的任意一点表示的数是，且||||的最小值为，若，则的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根据的最小值为可知，、对应点在数轴上距离为，再根据的取值可解得在解答中应用绝对值的几何意义进行分类讨论是解答关键【详解】解：由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，①当点在的右侧时，得在点与点的线段上，的值最小为，最小，解得：；②当点在的左侧时，得在点与点的线段上，的值最小为，最小，解得：；故选C.2．（23·24七年级上·河南商丘·阶段练习）点A、B在数轴上对应的数分别为a，b，满足，点P在数轴上对应的数为x，若点P与点A的距离记作，点P与点B的距离记作，当x＝ 时．【答案】或【分析】先由绝对值和平方的非负性以及求出a和b的值，在根据题意分情况列方程求解．【详解】解：∵，∴，∴．当点P在A点左侧时，，解得．当点P在B点右侧时，，解得：．综上x的值为或．【点睛】本题考查一元一次方程的应用和数轴，解题关键是明确题意，准确分类讨论列出方程．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）综合与实践问题情境：我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”．图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”，解决问题：(1)如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为104，求正方形d的边长．(2)如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积．【答案】(1)20(2)75【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是要观察图形找出等量关系．（1）观察图1可知正方形、、、边长之间的数量关系，根据正方形的边长最小，可设正方形的边长为，再分别表示出其他正方形的边长即可求解；（2）由（1）知，观察图2可知小长方形的长是宽的3倍， 设未知数即可求解；【详解】（1）解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为．依题意得，解得，∴．答：正方形的边长为．（2）由（1）可知，“优美长方形”的宽为，∴图2“优美长方形”的宽为，设每块小长方形的宽为，则长为．根据题意得，解得，∴，∵，∴图2中每块小长方形的面积为．4．（2023上·宁夏中卫·七年级校考期中）如图所示，已知数轴上两点M、N对应的数分别为 、4，点P为数轴上任意一点，  其对应的数为x．(1)MN的长为______；(2)当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值；(3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是20？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由；(4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P、点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，请直接写出t的值．【答案】(1)12(2)；(3)存在，的值为或；(4)的值为或或3或．【分析】本题主要考查了数轴上两点距离以及一元一次方程的应用，（1）根据数轴上两点距离公式求解即可；（2）根据题意结合数轴上两点距离公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值；（3）可分为点在点的左侧和点在点的右侧，点在点和点之间三种情况计算；（4）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程解答即可．掌握数轴上两点之间的距离表示方法以及进行分类讨论是解题关键．【详解】（1）解：的长为，故答案为：；（2）解：根据题意得：，解得；（3）解：当点在点的左侧时．根据题意得：，解得．在点和点之间时，则，方程无解，即点不可能在点和点之间．点在点的右侧时，，解得．的值是或；（4）解：秒后，点表示的数是，点表示的数是，当时，，解得或（舍去）；当时，，解得或；当时，，解得或（舍去）；综上，或或3或．【经典例题九 和差倍分问题】1．（23·24七年级上·福建龙岩·开学考试）牧羊人正在放牧，一个人牵着一只羊问他．“你的羊群有多少只？”牧羊人答道：“这群羊加上一倍，再加上原来羊群的一半．又加上原来羊群的四分之一，算上你牵来的羊，正好满一百只．”请问，牧羊人的羊群有多少只？（    ）A．只 B．只 C．只 D．只【答案】C【分析】根据“这群羊加上一倍，再加上原来羊群的一半．又加上原来羊群的四分之一，算上你牵来的羊，正好满一百只”这一等量关系列出方程并求解即可．【详解】解：设牧羊人的羊群有只，根据题意，可得 ，解得 ，所以，牧羊人的羊群有36只．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出所需方程是解题关键．2．（20·21下·宝山·期中）某企业原有管理人员和营销人员人数之比是3：2，总人数为180人，为了扩大市场，应从管理人员中抽调 人参加营销工作，就能使营销人员是管理人员人数的2倍．【答案】【分析】先求得原有管理人员和营销人员的人数，再设从管理人员中抽调人参加营销工作，就能使营销人员是管理人员人数的2倍，列方程求解即可．【详解】解：原有管理人员和营销人员人数之比是3：2，总人数为180人，则原有管理人员有（人），原有营销人员有（人）设从管理人员中抽调人参加营销工作，就能使营销人员是管理人员人数的2倍则解得故答案为：【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确的列出一元一次方程．3．（2023上·七年级课时练习）在一次知识竞赛中，某班有50位同学参加比赛，每位同学都需要完成三道题，竞赛规则为：“答对一题得10分，不答或者答错扣10分．”(1)请直接写出每位同学所有可能的得分情况；(2)该班的答题情况为：有2位同学全部答错，全对的人数是答对1题人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对1题人数的2倍，求该班全部答对的人数．【答案】(1)每位同学所有可能的得分情况是分、分、10分和30分(2)该班全部答对的人数是21人【分析】（1）根据竞赛的得分规则进行计算即可得到答案；（2）设该班答对1题的有人，根据题意列出方程，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意得：若只答对1题，则不答或答错2题，得分为，若只答对2题，则不答或答错1题，得分为，若答对3题，得分为，若不答或答错3题，得分为，答：每位同学所有可能的得分情况是分、分、10分和30分；（2）解：设该班答对1题的有人，由题意得：，解得，（人），答：该班全部答对的人数是21人．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键．4．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）“九州同庆，盛世华诞”，某中学举办“迎国庆”校园艺术节，初二学年为参加集体歌舞表演的每名同学定制一套演出服装（一件上衣和一条裤子为一套，男女生同款）经过估算刚好需要某种布料228米，已知每6米长的这种布料可做上衣5件，每4米长的这种布料可做裤子3条．(1)用来生产上衣和裤子的布料各是多少米？(2)若参加演出男生比参加演出女生的少3人，求参加演出的男生有多少人；(3)某服装厂的甲、乙两个小组共同承担加工这批服装的任务，乙组人数比甲组人数的2倍少2人．若甲、乙两组工人原计划平均每人加工的服装套数相同，实际上到完工时甲组工人加工的服装总套数比原计划人均加工服装套数的5倍少4套，乙组工人加工的服装总套数比原计划人均加工服装套数的6倍少5套，求甲、乙两组各有多少工人？【答案】(1)用来生产上衣和裤子的布料分别为108米、120米；(2)参加检阅的男生有30人；(3)甲组有人，乙组有人．【分析】（1）根据题意，可知上衣和裤子的布料之和等于228，然后即可列出相应的方程，从而可以求得用来生产上衣和裤子的布料各多少米；（2）根据参加检阅的男生比参加演出女生的少3人和（1）中的结果，可以求得参加检阅的男生有多少人；（3）根据题意，可以先计算出原计划平均每人加工的服装的数量，再根据甲、乙两个小组承担加工这批服装，乙组人数比甲组人数的2倍少2人，即可得到甲、乙两组各有多少工人．【详解】（1）解：设用来生产上衣的布料x米，则用来生产裤子的布料为米，由题意可得，，解得，∴，答：用来生产上衣和裤子的布料分别为108米、120米；（2）解：（人），设参加检阅的女生有y人，，解得，，答：参加检阅的男生有30人；（3）解：设原计划平均每人加工的服装数量为a套，，解得，设甲组有工人b人，则乙组有工人人，，解得，∴，答：甲组有4人，乙组有6人．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．【经典例题十 电费和水费问题】1．（23·24上·全国·课时练习）收费标准如下：用水每月不超过，按0.8元收费，如果超过，超过部分按1.2元收费．已知某用户某月交水费6元，那么这个用户这个月用水（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，该用户这个月用水超过，设这个月用水，列方程求解即可．【详解】解：（元）元，∴该用户这个月用水超过，设这个月用水，则，解得：，即该用户这个月用水．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．2．（20·21六年级下·上海徐汇·期中）2019年起我国个人所得税起征点有新调整，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累加计算：（本题不计算规定中的抵扣部分）（纳税款应纳税所得额对应的税率）按此规定解答下列问题：如果小丽的爸爸三月份应缴交所得税款540元，那么他三月份的工资、薪金是 元．【答案】12500【分析】设他三月份的工资、薪金是x元，先通过计算判断出小丽的爸爸三月份的应纳税所得额超过3000元而不超过12000元，则他三月份的纳税款为元，可列方程，解方程求出x的值即得到问题的答案．【详解】解：设他三月份的工资、薪金是x元， ∵（元），（元）， ∴应纳税所得额为3000元、12000元时的纳税款分别为90元、990元， ∵90元＜540元＜990元， ∴小丽的爸爸三月份的应纳税所得额超过3000元而不超过12000元， 根据题意得， 解得， ∴他三月份的工资、薪金是12500元， 故答案为：12500．【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示小丽的爸爸三月份的纳税款是解题的关键．3．（2023上·天津蓟州·七年级统考期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（消费按月份结算，表示立方米）(1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是________元和________元．(2)若该户居民3月份用水量为（其中），则应收水费多少元？（用含的式子表示，并化简）．(3)若该户居民4月份交水费元，求该户居民4月用水多少？【答案】(1)，(2)应收水费元(3)该户居民4月用水．【分析】本题考查列代数式，整式的加减的应用，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键．（1）月份用水，则按第一档缴费；月份用水，则按第二档缴费；（2）由于月份用水量(其中)，根据缴费的形式得到化简即可；（3）设月份用水，根据题意可得，列出一元一次方程，解方程即可求解．．【详解】（1）解：该用户月份用水，应交水费：元；该用户月份用水，应交水费：元；故答案为：，；（2）由依题意得：元答：应收水费元；（3）解：设月份用水，当时，由（2）可得应收水费解得：，不合题意，∴；解得：答：该户居民4月用水．4．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，它们的收费方式如下．A专车：3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费元，不收其他费用；B快车：(1)如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元；(2)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元；(3)如果乘车路程是千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元（用含的式子表示）；(4)如果乘车路程是千米时，使用B快车出行的费用比使用A专车出行省3元，求的值．【答案】(1)10，10(2)，24(3)，(4)的值为9或15【分析】（1）由乘车路程是3千米可得A专车只收费10元，B快车收起步价与里程费，再计算即可；（2）由乘车路程是10千米，可得A专车3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费元，B快车收起步价与里程费，再计算即可；（3）由乘车路程是千米，可得A专车3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费元，B快车收起步价与里程费，远程费，再计算即可；（4）根据（3）中所列代数式结合乘车路程是千米，再分三种情况列方程求解即可．【详解】（1）解：如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是元；使用B快车出行，需支付的费用是元；（2）如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是（元）；使用B快车出行，需支付的费用是（元）；（3）乘车路程是千米，使用A专车出行，需支付的费用是元；使用B快车出行，需支付的费用是元（4）①当时，A专车费用为10元，B快车费用最少需要8元，不可能比A专车省3元，故舍去；②当时，A专车费用为元，B快车费用为元，∴，解得：，③当时，A专车费用为元，B快车费用为元．依题意，，解得：；综上所得：的值为9或15．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．【经典例题十一 比例分配问题】1．（20·21七年级上·浙江宁波·期中）市场上一种茶饮料由茶原液与纯净水按一定比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水．由于今年以来茶产地云南地区连续大旱，茶原液收购价上涨，纯净水价也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨，问这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的配置比例为，购买一吨纯净水的价格是x，那么购买茶原液的价格就是20x，根据茶原液收购价上涨50 %，纯净水也上涨了8 %，导致配制的这种茶饮料成本上涨20 %，可列出方程求得比例；【详解】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的配置比例为．设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元．∴∴∴这种茶饮料中茶原液与纯净水的配置比例为．故选：B．【点睛】本题考查理解题意能力关键是设出三个未知数，其中一个能约去，以配置后的成本价做为等量关系可列出方程求解；2．（22·23七年级上·广东梅州·阶段练习）为控制“新冠”疫情，绵阳东辰学校准备配制某种消毒液，现有浓度为，，的甲、乙、丙三种消毒液分别为，，，现要配置浓度为的消毒液，设甲种消毒液用千克，则的取值范围是 ．【答案】【分析】用浓度为5%的消毒液和浓度为8%、9%的消毒液配置浓度为7%的消毒液，要进行分类讨论：①余下全用浓度为9% 的消毒液；②余下全用浓度为 8% 的消毒液．并结合三种浓度消毒液的重量，对条件限制，进而求解符合题意的即可．【详解】解：由题意可知甲种消毒液中物质为：①若余下全用浓度为9% 的消毒液，则：，∴（kg）．此时所用9%的消毒液：（kg）（kg），当使用47kg 浓度9%的消毒液时：，∴kg，使用浓度 8% 的消毒液 ，∴kg.②若余下全用浓度为 8% 的消毒液，则：，∴．此时所用8% 的消毒液： (kg)，得 ，综上所述：．故答案为：【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，其一般解题步骤为：审题、找等量关系、设未知数、列出方程、求解，写出答案．3．（2021上·四川成都·七年级统考期末）列方程解应用题：某工有中、乙两车间各生产不同型号的产品，原计划乙车间人数比甲车间少100人，产品上市后，甲车间的产品成为爆款，于是又从乙车间调50人支援甲车间，这时甲车间的人数是乙车间剩余人数的3倍，求原来甲乙车间各有多少人？【答案】甲车间有250人，乙车间有150人．【分析】设甲车间有x人，则乙车间有（x-100）人，调动后，甲车间人数为（x+50），乙车间人数为（x-100-50），构造等式甲车间人数=3乙车间人数，求解即可．【详解】设甲车间有x人，则乙车间有（x-100）人，调动后，甲车间人数为（x+50），乙车间人数为（x-100-50），根据题意，列方程，得x+50＝3（x-150），解方程，得x=250，x-100=150，答：原来甲车间有250人，乙车间有150人．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，正确列出方程是解题的关键．4．（2022上·天津和平·七年级校考期末）列一元一次方程解应用题某学校在校园文化艺术节中举行“班班唱”红歌比赛，七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有100张，每袋小红旗有50面，贴纸和小红旗需整袋购买．两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少20元，而且2袋贴纸与1袋小红旗价格相同．(1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？(2)如果购买贴纸和小红旗共40袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面，恰好全部分完，请问该校七年级有多少名学生？(3)在（2）条件下，两家文具店的有优惠如下：A． 文具店：全场商品购物超过800元后，超出800元的部分打八折；B． 文具店：相同商品，“买十件赠一件”．请问在哪家文具店购买比较优惠？【答案】(1)每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格分别是20和40元(2)该校七年级有1000名学生(3)在A文具店购买比较实惠【分析】（1）设每袋贴纸为元，则每袋小红旗的价格为：元，根据题意，列出方程求解即可；（2）设购买贴纸袋，则购买小红旗袋，根据题意，列出方程求解即可；（3）分别计算出两家文具店应付金额，进行作答即可．【详解】（1）解：设每袋贴纸为元，则每袋小红旗的价格为：元，由题意，得：，解得：，则：元；答：每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格分别是20和40元．（2）解：设购买贴纸袋，则购买小红旗袋，由题意，得：，解得：，∴七年级总人数为：名；答：该校七年级有1000名学生．（3）解：由（2）知：购买贴纸袋，购买小红旗袋，则总费用为：元，在A文具店购买应付金额为：元；在B文具店购买应付金额为：元；∵；∴在A文具店购买比较实惠．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．【经典例题十二 日历问题】1．（22·23七年级上·湖南衡阳·期末）正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（　　）  A．315 B．416 C．530 D．644【答案】C【分析】设最左边数为x，则另外两个数分别为、，进而可得出三个数之和为，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数、x不能为第六列及第七列数，即可得到答案．【详解】解：设最左边数为x，则另外两个数分别为、，∴三个数之和为．根据题意得：A、，解得：，B、，解得，C、，解得，D、，解得，∵x是最左边的数，∴x为整数且不能在第六列，也不能在第七列，∴，，，都不可能，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（22·23七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能是①55；②70；③84；④105；⑤140，其中正确的可能有 ．（填写序号）  【答案】②③④【分析】设框形中间数为，可得到框形的其他值为：，，，，，，得出七个数之和为，由此逐个判断即可得到答案．【详解】解：设框形中间数为，∴可得到框形的其他值为：，，，，，，，当时，解得，不能求得这7个数；当时，解得，能求得这7个数；当时，解得，能求得这7个数；当时，解得，能求得这7个数；当时，解得，20位于第六列，故⑤不符合条件；∴正确的有：②③④，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解此题的关键．3．（2023上·河南周口·七年级校考期中）某单位在10月份组织m（）位员工去旅游，联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为3000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社给每位员工六折优惠；乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工七折优惠．(1)甲旅行社的费用为______元，乙旅行社的费用为______元．（用含m的代数式表示并化简）(2)若，则该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由．(3)若该单位计划在10月份外出旅游7天，设最中间一天的日期为n，则这七天的日期之和为______（用含有n的代数式表示并化简）．若这七天的日期之和为84的倍数，则他们可能于10月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程）【答案】(1)，(2)甲旅行社比较优惠，理由见解析(3)；他们可能于10月9号、21号出发【分析】（1）根据甲旅行社的费用为，乙旅行社的费用为，计算作答即可；（2）将，分别代入甲、乙旅行社的费用的代数式中计算，比较大小，然后作答即可；（3）由最中间一天的日期为n，可知这七天的日期可表示为：，然后求和；根据这七天的日期之和为84的倍数，可得当时，当时，两种情况求解，然后作答即可．【详解】（1）解：由题意知，甲旅行社的费用为（元），乙旅行社的费用为（元），故答案为：，；（2）解：甲旅行社比较优惠，理由如下： 当时，甲旅行社的费用为（元），乙旅行社的费用为（元），∵，∴甲旅行社比较优惠；（3）解：∵最中间一天的日期为n，∴这七天的日期可表示为：，∴这七天的日期之和为，故答案为：；∵这七天的日期之和为84的倍数，∴当时，解得，，即，他们于10月9号出发； 当时，解得，，即，他们于10月21号出发；综上，他们可能于10月9号、21号出发．【点睛】本题考查了列代数式，有理数的乘法运算，整式的加减运算，一元一次方程的应用．理解题意，根据题意正确的列代数式、等式是解题的关键．4．（2023上·广东中山·七年级统考期中）将正整数1，2，3，4，5，……排列成如图所示的数阵：  (1)如果设十字架正中心的数为x，用含x的式子表示这五个数的和．(2)十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由；(3)十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数：若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)不能，理由见解析(3)这五个数是404，403，405，397，411．【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，熟练的表示框中的五个数是解本题的关键．（1）设中心的数为，则其余4个数分别为，，，，相加即可得到规律；（2）由（1）得五个数的和为，令，根据解得情况即可求解；（3）由（1）得五个数的和为，令，根据解得情况即可求解；【详解】（1）解：五个数的和与框正中心的数还有这种规律．设中心的数为，则其余4个数分别为，，，．，∴十字框中五个数的和是．（2）十字框中五个数的和不能等于180．∵当时，解得，，36在数阵中位于第6排的第1个数，其前面无数字，∴十字框中五个数的和不能等于180．（3）十字框中五个数的和能等于2020．∵当时，解得，，404在数阵中位于第58排的第5个数，∴十字框中五个数的和能等于2020，这五个数是404，403，405，397，411．【经典例题十三 古代问题】1．（22·23七年级下·云南昭通·阶段练习）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”题目的意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折后再去量长木，长木剩余1尺，问长木有多少尺？（    ）A． B．5.5 C．6.5 D．11【答案】C【分析】设长木有尺，根据绳子的长是定值，列出一元一次方程进行求解即可．【详解】解：设长木有尺，由题意，得：，解得：；答：长木有尺；故选C．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．2．（22·23七年级上·江苏常州·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣原文如下∶今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽；又三家合取一鹿，恰尽．问城中有家多少？大意为：现在有100只鹿要进城，城里的人家每家分一只，会有剩余分不完的鹿，如果再将剩余的鹿，3家合分一只，恰好分完．问城中有几户人家？问：城中有 户人家．【答案】75【分析】设城中共有x户人家，根据两次分掉的头数和等于100列出方程，然后解之即可．【详解】解：设城中共有x户人家，依题意得：，解得：，答：城中有75户人家．故答案为：75【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程，找准数量关系：剩下的鹿的头数为城中总户数的是解题关键．3．（2022上·广东深圳·七年级深圳中学校联考期末）列方程应用题.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何?”原文的意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.(1)绳子、长木各长多少尺?(2)皓元同学对（1）中所用的长木和绳子进行了一定条件下燃烧速度的实验.他分别截取了等长的木头和绳子各两根.先取出木头和绳子各一根，将其浸没在油中，一段时间后取出.从一端点燃后，他发现燃烧完一根木头需要40分钟，燃烧完一根绳子需要10分钟.随后，他同时点燃了剩下的等长的木头和绳子，一段时间后，同时都被风吹灭，这时他发现木头的长是绳子的长的4倍，问第二次木头燃烧的时间为多少分钟?【答案】(1)绳子、长木分别是11米和6.5米；(2)第二次木头燃烧的时间为8分钟．【分析】（1）设木头长尺，则绳子长尺，根据题意列一元一次方程，求解即可得出答案；（2）设第二次木头燃烧的时间为分钟，截取的木头和绳子的长为单位“1”， 根据题意列一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）解：设木头长尺，则绳子长尺，根据题意得：，解得：，∴绳子长为，答：绳子、长木分别是11米和6.5米；（2）解：设第二次木头燃烧的时间为分钟，截取的木头和绳子的长为单位“1”，根据题意得：，解得：答：第二次木头燃烧的时间为8分钟．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程正确求解是解题的关键．4．（2023上·河北石家庄·七年级统考期末）在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析和解答过程：(1)设共有辆车；(2)由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为___________________（用含的式子表示）；(3)由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”可得人数为____________________（用含的式子表示）；(4)根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为_________________________；(5)写出解方程的过程．【答案】(1)见详解(2)(3)(4)(5)见详解【分析】（2）根据题意列出关于代数式即可；（3）根据题意列出关于的代数式即可；（4）直接利用总人数不变得出方程；（5）根据解一元一次方程的步骤解出即可【详解】（1）设共有辆车；（2）由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为（用含的式子表示）；（3）由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”可得人数为．（用含的式子表示）；（4）根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为；（5）解方程过程如下：．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解本题的关键．【经典例题十四 其他问题】1．（22·23七年级上·福建三明·期末）用火柴棒按下列方式搭图形，有下列说法：  ①第4个图形需要22根火柴棒；②第5个图形共有10个小正方形；③用112根火柴棒，按所给方式可以依次搭出6个图形；④如果某一图形共用了2022根火柴棒，那么它是第404个图形．其中正确的是（    ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根据前三个图形可得：第n个图形用了根火柴棒，共有个小正方形；然后根据规律逐一判断即得答案．【详解】解：第一个图形用了7根火柴棒，，共有2个小正方形；第二个图形用了12根火柴棒，，共有4个小正方形；第三个图形用了17根火柴棒，，共有6个小正方形；……，所以第n个图形用了根火柴棒，共有个小正方形；当时，第4个图形需要根火柴棒，故①正确；当时，第5个图形共有个小正方形，故②正确；若按所给方式依次搭出6个图形，则需要的火柴棒总数是，故③错误；当时，解得，即它是第404个图形，故④正确；综上，说法正确的是①②④；故选：B．【点睛】本题考查了规律探寻，正确得出规律是解题的关键．2．（23·24上·哈尔滨·期中）对于三个互不相等的数a，b，c，我们规定用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最大的数，例如，，如果，那么， ．【答案】0或【分析】先求出，再分三种情况：①，②和③，分别建立方程，解方程即可得．【详解】解：由题意得：，①当时，则，解得，此时，符合题设；②当时，则，解得，此时，，不符合题设，舍去；③当时，则，解得，此时，，符合题设；故答案为：0或．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新运算的规定，正确分三种情况讨论是解题关键．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，哈市某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化  (1)用含有、的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；(2)若，，求出绿化的总面积；(3)在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两个绿化队完成此项绿化任务．已知甲队每小时可以绿化5平方米，乙队每小时绿化3平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？【答案】(1)(2)800(3)100小时【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论；（2）把，代入（1）的代数式即可得到结论；（3）设甲队至多工作小时，根据题意列方程即可得到结论．【详解】（1）；答：绿化的总面积是平方米；（2）把，代入得，平方米，答：绿化的总面积为800平方米；（3）设甲队至多工作小时，要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，甲队至多工作的时间乙队的工作时间，乙队的工作时间为，，．答：甲队至多工作100小时．4．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）如图，周长为2个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合．  (1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置点A表示的数是 ； (2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，运动情况依次记录如下：第6次向右滚动a(a为正整数)周后，点Q距离原点4．①请求出a的值；②当圆片结束6次滚动时，求点Q一共运动的路程．【答案】(1)(2)①，②28【分析】本题考查数轴，有理数的加法运算，有理数的乘法运算，一元一次方程的几何应用．（1）由圆片滚动1周的距离是2可得答案；（2）①第6次向右滚动a(a为正整数)周后，点Q距离原点4列方程，求解即可；②将滚动周数的绝对值相加，再乘以每次滚动的距离可得答案．【详解】（1）解：∵圆片沿数轴向左滚动周，滚动的距离是2，点表示的数是，故答案为：；（2）解：①第6次向右滚动a(a为正整数)周后，点Q距离原点4，，；当时，；∴点运动的路程是28．【培优检测】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）通乡商店新进某种衬衫，以利润率标价，逢店庆八折出售，仍可获利20元，则该衬衫进价为（    ）A．80元 B．100元 C．120元 D．150元【答案】B【分析】设该件衬衫的进价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设该件衬衫的进价为元，根据题意得：，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键．2．（2023上·天津和平·七年级统考期中）一个两位数，十位上的数是，个位上的数是．把与对调，新两位数比原两位数大．根据题意列出的方程为（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题目所给条件，首先表示出这个两位数，然后表示出新的两位数，根据题意列出方程，解之即可．【详解】解：由题意得：原两位数为，新两位数为，则，故选：．【点睛】此题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．3．（2022上·浙江金华·七年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x和y的和是（　　）A．9 B．20 C．11 D．32【答案】D【分析】由图知，第一行和为：，根据每一横行、每一竖列和相等规则，用关于字母的代数式表示其它空格值，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规则建立方程求解得字母值，进而求解．【详解】解：由图知，第一行和为：，故其它空格如图，根据题意可得：，整理得：，，整理得：，，整理得：，则，解得：，则，解得：，∴x和y的和是，故选：D．【点睛】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的求解；根据题意建立方程是解题的关键．4．（2023上·河南驻马店·七年级校考期末）如图，已知A，B两点在数轴上，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　）  A．5秒 B．5秒或者4秒C．5秒或者秒 D．秒【答案】C【分析】由确定点B表示的数为20，由点M、点N分别到原点O的距离相等，分别表示出，建立方程求解．【详解】解：∵点A表示的数为，∴，∴点B表示的数为20，设经过x秒，点M运动距离为x，则点M表示的数为，点N运动的距离为，点N表示的数为，∴，，根据题意,得：，即，∴或，解得：或，即经过5秒或秒后，点N到原点O的距离相等；故选：C．【点睛】本题考查数轴上点的表示；结合动点运动情况确定点所表示的数是解题的关键．5．（2023上·安徽蚌埠·七年级统考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；四次一个循环，因为，所以它们第2023次相遇在边上，故选：C．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．6．（2023上·辽宁大连·七年级校考阶段练习）数学运算其妙无穷，如在学习有理数时，，即两个有理数之和等于这两个有理数之积，请你在有理数中再找一组数a、使，你找的一组是 ．【答案】、【分析】根据题意，可以写出一组数，使得这组数的和等于这组数的积，可借助于设未知数，列代数式解决问题，本题答案不唯一．【详解】解：设，由等式的基本性质可知，，即，故答案为：、．【点睛】本题考查了有理数的加法和乘法的应用，解答本题的关键是写出一组数，使得这组数的和等于这组数的积．7．（2023上·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作．已知，，则：  （1）的值是 ；（2）若点以每秒1个单位的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点以每秒2个单位的速度从点出发沿数轴向左运动．设运动时间是秒．当点与点之间的距离是9时，则的值为 秒．【答案】 12 或/7或1【分析】本题考查数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．（1）根据两点间的距离公式，进行求解即可；（2）分别表示出点，点所表示的数，利用两点间的距离公式列出方程进行求解即可．【详解】解：（1）的值是；故答案为：12；（2）由题意，得：点表示的数为：，点表示的数为，∴，解得：或；故答案为：或．8．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使在乙处工作的人数是在甲处工作人数的，那么应从乙处调出 人到甲处．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应从乙处调出的人数为，根据乙处工作的人数是在甲处工作人数的，列方程求解．【详解】解：设应从乙处调出的人数为依题意得：，解得：，故答案为：．9．（2020上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）某城市按如下规定收取每月煤气费：用气量如果不超过，按收费，如果超过，超过部分按元收费，已知某用户2012年12月份的煤气费平均每立方米元，则2012年12月份该用户应交煤气费用 元．【答案】156【分析】根据题中某用户平均每立方米的煤气费是元，判断出该用气量大于80立方米，所以先用两种计算方法表示出交的煤气费，列方程算出用气量，最后计算出应交的费用．【详解】解：设用户用气量为，，，，（元），故答案为：156．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键找到题中的等量关系列方程．10．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，画一条数轴，用点分别表示，，200，刻度尺的单位长度为，将有刻度线的一边放到数轴上．  （1）若数轴的单位长度为，刻度尺上表示“0”和“5”的刻度分别对应数轴上的和，那么的值为 ；（2）若数轴的单位长度与刻度尺不一致，且刻度尺上的1和3分别对应数轴上的和．①刻度尺上的10对应数轴上的数为 ；②若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，若用刻度尺能测量出数轴上之间的距离，则的最小整数值为 ．【答案】 4 7【分析】（1）根据数轴的单位长度为，刻度尺上表示“0”和“5”的刻度分别对应数轴上的和，即可建立关于的方程，解方程即可得到答案；（2）①数轴的单位长度与刻度尺不一致，且刻度尺上的1和3分别对应数轴上的和，即可求出刻度尺上的10对应数轴上的数为加上10与1的差乘以数轴的单位长度与刻度尺之间的比值，即可得到答案；②先求出的值，再根据刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，若用刻度尺能测量出数轴上之间的距离可得，解之即可得到答案．【详解】解：（1）数轴的单位长度为，刻度尺上表示“0”和“5”的刻度分别对应数轴上的和，，，故答案为：；（2）①数轴的单位长度与刻度尺不一致，且刻度尺上的1和3分别对应数轴上的和，刻度尺上的10对应数轴上的数为：，故答案为：4；②分别表示，200，，刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，若用刻度尺能测量出数轴上之间的距离，，，的最小整数值为7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，理解题意，准确进行计算是解题的关键．11．（2023上·甘肃武威·六年级校联考期中）一条公路长360米，甲、乙两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油，甲队的施工速度是乙队的，4天后这条公路全部铺完．甲、乙两队每天分别铺柏油路多少米？（用方程解决）【答案】甲队每天铺柏油路40米，乙队每天铺柏油路50米【分析】此题考查一元一次方程的应用，解答此题的关键是根据工作总量合作的工作效率合作的工作时间，列方程解决问题．设乙队的施工速度是米/天，则甲队的施工速度是米/天，再根据合修此路，4天修完，列出方程求解即可得出答案．【详解】解：设乙队的施工速度是米/天，则甲队的施工速度是米/天，可得：，解得：，∴，答：甲队每天铺柏油路40米，乙队每天铺柏油路50米．12．（2023上·江苏无锡·七年级校联考期中）已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（）．  (1)点A表示的有理数是 ，点C表示的有理数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）．(2)当t= 秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？(3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，30，(2)5或15(3)，这个定值为60【分析】（1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为-x，由数轴可知，求出x，根据算出点C表示的数，再由点P的运动速度和时间求出点P表示的数即可；（2）分点P在点B左边和点P在点B右边两种情况进行解答即可；（3）根据题意先将点A、点B和点C表示的数算出来，再算出并代入中，合并同类项即可解答．【详解】（1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为，∵点A和点B间距20个单位长度，∴，解得：，∴点A表示的有理数是，∵，∴点C表示的有理数是，∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，∴点P表示的数是，故答案为：，30，；（2）①当点P在点B左边时，，∵P、B两点之间相距10个单位长度，∴，解得：，①当点P在点B右边时，，∵P、B两点之间相距10个单位长度，∴，解得：，∴当或15秒时，P、B两点之间相距10个单位长度，故答案为：5或15；（3）存在常数m，使得为一个定值，理由如下：由题意可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，则，，，，∵要使得为一个定值，∴，解得：，∴，∴，这个定值为60．【点睛】本题考查的是数轴的知识、一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键．13．（2023上·安徽亳州·七年级校联考期中）七年级（1）班的晓东同学的妈妈想锻炼晓东独自出行的能力，让他本周末先到本地的姑妈家，然后和表弟两人一起去本地的景点游玩．因为到姑妈家没有直达的公交车，所以晓东选择了打车．到达之后，晓东给妈妈打电话报了平安．下面是他们母子的部分对话：根据对话，解答下列问题：(1)如果晓东和表弟乘出租车去本地距离姑妈家公里处的风景点A处游玩，他们要付________元；(2)如果晓东和表弟乘出租车去本地距离姑妈家x公里（x超过3公里，x按整数计）的风景点B处，那么他们要付多少钱？（用含x的代数式表示）(3)如果他们去本地距离姑妈家10公里的风景点，应付多少钱？（四舍五入，保留整数）(4)请写出晓东家和姑妈家的距离，并说明理由．【答案】(1)9(2)元(3)20元(4)晓东家和姑妈家的距离为大于6公里，小于等于7公里．【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，理解题意，列出正确的代数式与运算式是解本题的关键.（1）由，可得车费为起步价加上8元，加1元的燃油补贴即可得到答案；（2）由，可得车费为起步价加上8元，加1元的燃油补贴，再加上超过3公里，超出的部分元/公里即可；（3）把代入（2）中所列代数式计算即可；（4）由车费为15元，可得，再解方程，结合不足1公里按1公里计可得答案.【详解】（1）解：晓东和表弟乘出租车去2.9公里处的风景点A处要付司机元．（2）因为晓东和表弟乘出租车去x公里的风景点B处，所以（元）．答：他们要付元．（3）（元）．答：应付钱20元．（4）∵，∴，解得：，∵不足1公里按1公里计，∴晓东家和姑妈家的距离为大于6公里，小于等于7公里．14．（2023上·江西南昌·七年级统考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求__________．(2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是__________．(3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出取小值，如果没有说明理由．(4)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由．(5)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由．【答案】(1)7(2)，，，，，0，1，2(3)有，9(4)存在，或(5)存在，或【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值方程的应用，理解绝对值的几何意义是解本题的关键．（1）直接利用数轴上两点之间的距离公式计算即可；（2）由绝对值的几何意义可得可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和，再结合与之间的距离为7可得答案；（3）由绝对值的几何意义可得可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点6的距离之和，，再结合与之间的距离为9可得答案；（4）由的最小值为，此时，再分两种情况：当时， 当时，再化为一元一次方程求解即可；（5）由的最小值为，此时，再分两种情况：当时， 当时，再化为一元一次方程求解即可；【详解】（1）解：，（2），可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和，，因此这样的整数是，（3）有最小值，最小值为9．理由如下：可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点6的距离之和，因此当时，有最小值，最小值为；（4）∵，而的最小值为，此时，∴当时，则，解得：，当时，则，解得：，即x的值为或8；（5）∵，而的最小值为，此时，∴当时，则，解得：，当时，则，解得：，即x的值为或1013；15．（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球，己知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款．该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（，x为整数）．(1)当时，若该球馆按方案一购买，需付款______元；若该球馆按方案二购买，需付款_____元；(2)当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？(3)若，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由．【答案】(1)1800，1890(2)(3)先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款1770元【分析】（1）根据两种方案的收费方式列式，计算时的值即可；（2）根据题意建立方程求解即可；（3）根据题意得出方案一购买球拍，方案二购买剩余所需乒乓球．【详解】（1）解：由题意得，方案一需付款：元，方案二需付款：元，当时，方案一需付款：（元）方案二需付款：（元），故答案为：1800，1890；（2）解：由题意得，，解得：，当时，分别用两种方式购买所需费用一样；（3）解：先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款（元）．【点睛】本题主要考查了列代数式及代数式求值问题，一元一次方程的应用，得到两种优惠方案付费的关系式是解题的关键．16．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A与慢车头C之间的距离为6个单位长度且到原点的距离相等．设运动的时间为t秒（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度）．  (1)A在数轴上表示的数为________，D在数轴上表示的数为________；(2)从此时刻开始，若快车以2个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以1个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，当t为何值时，两列火车的车头A、C相距3个单位长度；(3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，若将和较近的两个端点之间的距离叫做两车之间的最小距离，将和较远的两个端点之间的距离叫做两车之间的最大距离．例如图中两车之间的最小距离即A，C之间的距离，最大距离即B，D之间的距离．当这两车的最大距离是最小距离的两倍时，请直接写出t的值．【答案】(1)，5(2)或3(3)或或或或【分析】（1）根据快车头A与慢车头C之间的距离为6个单位长度且到原点的距离相等，得出，进而得出点A表示的数为，点C表示的数为3，即可求解；（2）根据题意进行分类讨论：①两列火车相遇前，②两列火车相遇前后；（3）根据题意进行分类讨论：①当两列火车还未相遇时，②在两火车相遇过程中，情况一：两车相遇后有部分重叠；情况二：两车相遇后完全重叠；情况三：两车即将分离时；③两车分离后，画出图形，即可解答．【详解】（1）解：∵快车头A与慢车头C之间的距离为6个单位长度且到原点的距离相等，∴，∴点A表示的数为，点C表示的数为3，∵，∴点D表示的数为，故答案为∶，5；（2）解：t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，①两列火车相遇前，车头A、C相距3个单位长度时：，解得：，②两列火车相遇前后，车头A、C相距3个单位长度时：，解得：，综上：或3；（3）解：∵点A表示的数为，，∴点B表示的数为，t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，当两车头相遇时：，解得：，当两车尾相遇时，，解得：，①当两列火车还未相遇时，两车之间的最小距离即A，C之间的距离，最大距离即B，D之间的距离，，，∴，解得：，②在两火车相遇过程中，情况一：两车相遇后有部分重叠，如图，两车之间的最小距离即A，C之间的距离，最大距离即B，D之间的距离，，，∴，解得：，  情况二：两车相遇后完全重叠，如图，两车之间的最小距离为A，D之间的距离，最大距离为B、C之间距离；或两车之间的最大距离为A，D之间的距离，最小距离为B、C之间距离，，，∴或，解得：或，  情况三：两车即将分离时：如图，两车之间的最小距离即B，D之间的距离，最大距离即A，C之间的距离，，，∴，解得：；  ③两车分离后：如图，两车之间的最小距离即B，D之间的距离，最大距离即A，C之间的距离，，，∴，解得：；  综上：或或或或．【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，正确画出图形，列出方程求解．第一次第二次第三次第四次参赛者答对题数答错题数总得分甲200100乙19194丙14664种类购票方式A一次性使用门票，每张8元B年票每张80元，持票者每次进入公园无需再购买门票C年票每张40元，持票者进入公园时需再购买每次4元的门票全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分超过3000元到12000元的部分超过12000元到25000元的部分价目表每月用水量价格不超过元超出不超出的部分元超出的部分元计费项目起步价里程费远途费计费价格8元2元/千米1元/千米注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元．计次第1次第2次第3次第4次第5次第6次滚动周数妈妈：晓东，出行还顺利吗？你坐出租车花了多少钱？晓东：妈妈，非常顺利．坐出租车花了15元，在车我上问了出租车司机，司机师傅告诉我，3公里以内（含3公里）8元，外加1元的燃油补贴；超过3公里，超出的部分元/公里（不足1公里按1公里计）．第一次第二次第三次第四次参赛者答对题数答错题数总得分甲200100乙19194丙14664种类购票方式A一次性使用门票，每张8元B年票每张80元，持票者每次进入公园无需再购买门票C年票每张40元，持票者进入公园时需再购买每次4元的门票全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分超过3000元到12000元的部分超过12000元到25000元的部分价目表每月用水量价格不超过元超出不超出的部分元超出的部分元计费项目起步价里程费远途费计费价格8元2元/千米1元/千米注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元．计次第1次第2次第3次第4次第5次第6次滚动周数妈妈：晓东，出行还顺利吗？你坐出租车花了多少钱？晓东：妈妈，非常顺利．坐出租车花了15元，在车我上问了出租车司机，司机师傅告诉我，3公里以内（含3公里）8元，外加1元的燃油补贴；超过3公里，超出的部分元/公里（不足1公里按1公里计）．