浙江省杭州市2024年九年级下学期开学考试数学试卷含答案

这是一份浙江省杭州市2024年九年级下学期开学考试数学试卷含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨 B．a是实数，|a|≥0
C．﹣3＜﹣4D．打开电视机，正在播放新闻
2．若2a＝3b，则 ＝（ ）
A．B．﹣ C．D．﹣
3．下列两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．菱形B．矩形C．等腰三角形D．等边三角形
4．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则csB的值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.若 ＝ ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（ ）
A．3﹣ B．1+ C． ﹣1D． ﹣2
8．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12B．14C．16D．18
9．二次函数y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．与y轴交点的纵坐标小于4
B．对称轴在直线x＝0.5左侧
C．与x轴正半轴交点的横坐标小于2
D．抛物线一定经过两个定点
10．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（ ）
① ；②△ABE与△DCE的周长比 ；③∠ADE＝∠ABC；④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE.
A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（共6小题）
11．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是 .
12．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 .
13．若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是 .
14．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝ （x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，a），B（x2，a），C（x3，a），其中a为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为 .
15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝ .
16．如图，点A是抛物线y＝ x2上不与原点O重合的动点，AB⊥x轴于点B，过点B作OA的垂线并延长交y轴于点C，连结AC，则线段OC的长是 ，AC的最小值是 .
三、解答题（共7小题）
17．在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球，若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”.一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率.
18．设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表：
（1）试判断该函数图象的开口方向.
（2）当x＝4时，求函数y的值.
（3）根据你的解题经验，直接写出ax2+bx﹣3＜﹣3的解.
19．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B.
（1）证明：△ADB∽△AED.
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长.
20．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为 的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC.
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，AC＝ ，求AB的长.
21．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
22．已知二次函数y＝x2+2bx+c
（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值.
23．已知，如图，⊙O中两条弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD.
（1）求证： ；
（2）若∠AEC＝80°，求∠A的度数；
（3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE＝2BE，求证：EG＝GD.
1．B
2．A
3．D
4．B
5．D
6．B
7．A
8．B
9．D
10．C
11．3
12．
13． π
14．
15．
16．8；
17．解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的结果有2种，
∴得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为 ＝ .
18．（1）解：∵图象经过（0，﹣3），（2，﹣3），
∴图象对称轴为直线x＝ ＝1，
由表格可得，x＜1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线图象开口向上
（2）解：∵（﹣2，5）关于直线x＝1的对称点是（4，5），
∴x＝4时，函数y的值为5
（3）解：∵抛物线开口向上，且经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴当0＜x＜2时，ax2+bx﹣3＜﹣3，
故ax2+bx﹣3＜﹣3的解为0＜x＜2.
19．（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD.
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADB∽△AED
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴ ，
∵AE＝3，AD＝5，
∴ ，
∴AB＝ .
20．（1）解：相切，连接OC，
∵C为 的中点，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∴∠2＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）解：方法1：连接CE，
∵AD＝2，AC＝ ，
∵∠ADC＝90°，
∴CD＝ ＝ ，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝AD•DE，
∴DE＝1，
∴CE＝ ＝ ，
∵C为 的中点，
∴BC＝CE＝ ，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝3.
方法2：∵∠DCA＝∠B，
易得△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴AB＝3.
21．（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，MG=GN.
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
（2）解：∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即 ，
∴ .
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则 ，
∵ ，
∴B E＝10﹣ x＞0，
解得x＜ ，
∴ （0＜x＜ ）.
22．（1）解：由y＝1得 x2+2bx+c＝1，
∴x2+2bx+c﹣1＝0
∵△＝4b2﹣4b+4＝（2b﹣1）2+3＞0，
则存在两个实数，使得相应的y＝1；
（2）解：由b＝c﹣2，则抛物线可化为y＝x2+2bx+b+2，其对称轴为直线x＝﹣b，
①当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b＝3；
②当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝22+2×2b+b+2，解得b＝﹣ ，不合题意，舍去，
③当﹣2＜﹣b＜2时，则 ＝﹣3，化简得：b2﹣b﹣5＝0，解得：b1＝ （不合题意，舍去），b2＝ .
综上：b＝3或 .
23．（1）证明：∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ；
（2）解：∵ ，
∴∠A＝∠D，
∴∠A＝ ∠AEC＝40°；
（3）证明：如图，
∵∠A＝∠D，
∴AE＝DE，
∵AE＝2BE，
∴DE＝2BE，
∵BH⊥AD，
∴∠AHB＝90°，
∴∠A+∠ABH＝90°，∠D+∠DGH＝90°，
∵∠A＝∠D，∠DGH＝∠BGE，
∴∠ABH＝∠BGE，
∴BE＝EG，
∵DE＝EG+GD＝2BE，
∴EG＝GD.x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…