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浙江省杭州市西湖区西溪中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（Word版含答案）
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这是一份浙江省杭州市西湖区西溪中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（Word版含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区西溪中学九年级（上）开学数学试卷（附答案与解析）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）现有长度分别为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣＝ B．3﹣＝3 C．＝﹣4 D．﹣＝
3．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
4．（3分）令M＝（a﹣x）（x﹣b），若，则（ ）
A．M＜0 B．M＞0 C．M≥0 D．M≤0
5．（3分）如图，直线l1：y＝x+3与l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则不等式x+3＞mx+n的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣1
6．（3分）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
7．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝12，BC＝20，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1
9．（3分）已知函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．
②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
10．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为 ．
12．（4分）已知a＝﹣2，则+a＝ ．
13．（4分）已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是 ， ．
14．（4分）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I＝．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是 ．
15．（4分）如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形ABCD，且AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在AC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝ ，矩形ABCD的面积＝ ．
三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（6分）△ABC的周长为12，AC＝2AB，设AB＝x，BC＝y．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若△ABC是等腰三角形，求它的三边长．
18．（8分）关于x，y的方程组，若2＜x﹣y＜4，则k的取值范围是多少？
19．（8分）已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
20．（10分）设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）．
（1）若函数y1的图象经过点（﹣1，5），求函数y1的表达式．
（2）已知点P（x1，m）和Q（﹣3，n）在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围．
（3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式．
21．（10分）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．
22．（12分）在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
（1）求m的值和一次函数y2的表达式．
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
（3）把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（p1，q1）和（p2，q2），当p1＝﹣1时，求此时n及p2×q2的值．
23．（12分）在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是线段OC上的动点．
（1）如图1，若DE平分∠CDO．
①求证：AD＝AE．
②若CE＝2，求OE的长．
（2）如图2，延长DE交BC于点F连接OF．当DF＝2OF时，探究CF与AD的数量关系，并说明理由．
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区西溪中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）现有长度分别为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先每3个搭配出所有情况，再根据三角形的三边关系进行排除．
【解答】解：首先任取三根，有2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5
再根据三角形的三边关系，得其中2+3＝5，排除2，3，5，
只有3个符合．
故选：C．
【点评】考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣＝ B．3﹣＝3 C．＝﹣4 D．﹣＝
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、﹣＝2﹣，故此选项错误；
B、3﹣＝2，故此选项错误；
C、＝4，故此选项错误；
D、﹣＝2﹣＝，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】由抛物线顶点式可求得答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．（3分）令M＝（a﹣x）（x﹣b），若，则（ ）
A．M＜0 B．M＞0 C．M≥0 D．M≤0
【分析】根据x的取值范围来确定（a﹣x）与（x﹣b）的符号，从而得到M的取值范围．
【解答】解：∵，
∴a﹣x＞0，x﹣b≤0．
∴（a﹣x）（x﹣b）≤0，即M≤0．
故选：D．
【点评】考查了一元一次不等式的应用，解题过程中，需要熟悉不等式的性质，难度不大．
5．（3分）如图，直线l1：y＝x+3与l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则不等式x+3＞mx+n的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣1
【分析】观察函数图象得到，当x＞﹣1时，直线L1：y＝x+3的图象都在L2：y＝mx+n的图象的上方，由此得到不等式x+3＞mx+n的解集．
【解答】解：∵直线L1：y＝x+3与L2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），
从图象可以看出，当x＞﹣1时，直线L1：y＝x+3的图象都在L2：y＝mx+n的图象的上方，
∴不等式x+3＞mx+n的解集为：x＞﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（3分）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图，
高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°，
②当为钝角三角形时可画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，
∴三角形的顶角为150°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
7．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝12，BC＝20，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】证明△BFA≌△BFG，根据全等三角形的性质得到BG＝AB＝12，AF＝FG，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：在△BFA和△BFG中，
，
∴△BFA≌△BFG（ASA）
∴BG＝AB＝12，AF＝FG，
∴GC＝BC﹣BG＝8，
∵AD＝DB，AF＝FG，
∴DE∥BC，
∵AE＝EC，
∴AE＝EC，AF＝FG，
∴EF＝GC＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向上，
∴在﹣2≤x≤2的取值范围内，当x＝﹣2时取得最大值11，当x＝1时，取得最小值2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．
9．（3分）已知函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．
②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【分析】根据反比例函数的性质以及轴对称的性质判断即可．
【解答】解：∵函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），
∴函数y1＝图象在第一象限，如图，
∴函数y的最小值大于0，
∵函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称，
∴y2的最大值小于2，
∴函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．故①正确；
当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则其对应点为（m，a），
那么，点（m，a）关于直线y＝1的对称点为（m，2﹣a），
∴在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a，故②正确，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，坐标与图形变化﹣对称，数形结合是解题的关键．
10．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质和等边三角形的性质，可得BP⊥CD，DP＝a，∠DBP＝30°，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接BD，BP，
设AB＝2a，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AB＝BC＝2a＝CD，∠A＝∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，△ABD是等边三角形，
∵点P在CD的中点，
∴BP⊥CD，DP＝a，∠DBP＝30°，
∴BP＝a，∠ABP＝∠ABD+∠DBP＝90°，
∵将菱形纸片翻折，
∴AM＝MP，
∵MP2＝MB2+BP2，
∴（2a﹣BM）2＝MB2+3a2，
∴BM＝a，
∴AM＝a，
∴BM：AM＝，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为 60° ．
【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质求出∠A即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝54°，
∵∠3＝∠2+∠A，
∴∠A＝54°﹣24°＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（4分）已知a＝﹣2，则+a＝ 0 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：当a＝﹣2时，
原式＝|a|+a
＝﹣a+a
＝0；
故答案为：0
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
13．（4分）已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是 a ， a3 ．
【分析】直接利用算术平均数求法，总数÷数据个数＝平均数，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得出答案．
【解答】解：由算术平均数定义可知：（a1+a2+0+a3+a4）＝×4a＝a；
将这组数据按从小到大排列为0，a4，a3，a2，a1；
由于有奇数个数，取最中间的数，
∴其中位数为a3．
故答案为：a，a3．
【点评】此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键．
14．（4分）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I＝．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是 20≤R≤60 ．
【分析】利用待定系数法可得I＝，然后根据题意可得0.2≤I≤0.6，从而可得0.2≤≤0.6，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
I＝，
∵当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A，
∴U＝IR＝0.3×40＝12（V），
∴I＝，
当0.2≤I≤0.6时，
∴0.2≤≤0.6，
∴20≤R≤60，
故答案为：20≤R≤60．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
15．（4分）如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形ABCD，且AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积为 4.5 ．
【分析】根据题意判定四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用面积法求得AB与BC的数量关系，从而求得该平行四边形的面积．
【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE＝1，AF＝3，
∴BC•AE＝AB•AF，
∴BC＝3AB．
又∵AB+BC＝6，
∴AB＝1.5，BC＝4.5，
∴四边形ABCD的面积＝4.5×1＝4.5．
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得BC＝3AB是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在AC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝ 29 ，矩形ABCD的面积＝ 420 ．
【分析】由折叠的性质得HD＝AD，FD＝CD，设AD＝x，则HD＝x，得AB＝CD＝x+1，BD＝x+9，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝90°，
由折叠的性质得：HD＝AD，FD＝CD，
设AD＝x，则HD＝x，
∴AB＝CD＝FD＝HD+HF＝x+1，
∴BD＝FD+BF＝x+9，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：x2+（x+1）2＝（x+9）2，
解得：x＝20或x＝﹣4（舍去），
∴AD＝20，AB＝21，BD＝x+9＝29，
∴矩形ABCD的面积＝AD•AB＝20×21＝420，
故答案为：29，420．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（6分）△ABC的周长为12，AC＝2AB，设AB＝x，BC＝y．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若△ABC是等腰三角形，求它的三边长．
【分析】（1）隔绝三角形的周长公式解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC的周长为12，AC＝2AB，设AB＝x，BC＝y，
∴x+2x+y＝12，
∴y＝12﹣3x，
∵，
解得：2＜x＜3，
∴y关于x的函数表达式为：y＝12﹣3x（2＜x＜3）；
（2）∵△ABC是等腰三角形，
当x＝y时，12﹣3x＝x，
解得：x＝3，
∴三角形三边为：3，3，6，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
当2x＝y时，12﹣3x＝2x，
解得：x＝2.4，
∴三角形三边为4.8，4.8，2.4，
∵2.4+4.8＞4.8，
∴能组成三角形，
综上所述，三角形的三边为4.8，4.8，2.4．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得出不等式解答．
18．（8分）关于x，y的方程组，若2＜x﹣y＜4，则k的取值范围是多少？
【分析】将两个方程相减，整理可得x﹣y＝k﹣1，结合2＜x﹣y＜4得出关于k的不等式组，解之可得．
【解答】解：将两个方程相减可得2x﹣2y＝2k﹣2，
即x﹣y＝k﹣1，
∵2＜x﹣y＜4，
∴2＜k﹣1＜4，
解得：3＜k＜5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解答此题的关键是把原方程组变形，用k表示出x﹣y的值，再根据x﹣y的取值范围得到关于k的一元一次不等式组，解此不等式组即可求出k的取值范围．
19．（8分）已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可求出k的值；
（2）结合（1）找出k的值，利用分解因式法求出方程x2﹣4x+k＝0的根，再将x的值代入x2+mx﹣1＝0中即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜4且k≠2．
（2）结合（1）可知k＝3，
∴方程x2﹣4x+k＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
当x＝1时，有1+m﹣1＝0，解得：m＝0；
当x＝3时，有9+3m﹣1＝0，解得：m＝﹣．
故m的值为0或﹣．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式组，根据根的判别式得出不等式（或不等式组）是解题的关键
20．（10分）设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）．
（1）若函数y1的图象经过点（﹣1，5），求函数y1的表达式．
（2）已知点P（x1，m）和Q（﹣3，n）在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围．
（3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据一次函数的性质，可得答案；
（3）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案．
【解答】解：（1）∵函数y1的图象经过点（﹣1，5），
∴5＝﹣k﹣2k，
解得k＝﹣，
函数y1的表达式y＝﹣x+；
（2）当k＜0时，若m＞n，则x1＜﹣3；
当k＞0时，若m＞n，则x1＞﹣3；
（3）∵y1＝kx﹣2k＝k（x﹣2），
∴函数y1的图象经过定点（2，0），
当y2＝ax+b经过（2，0）时，0＝2a+b，即2a+b＝0．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是利用一次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏；解（3）的关键是理解题意，并求出y1的必过点．
21．（10分）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．
【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG即可；
（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；
解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
由题意，得∠GAH＝∠DAC，∠ECF＝∠BCA．
∴∠GAH＝∠ECF，
∴AG∥CE．
又∵AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形．
（2）解法1：在Rt△ABC中，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5．
∵CF＝CB＝3，
∴AF＝2．
在Rt△AEF中，
设EF＝x，则AE＝4﹣x．
根据勾股定理，得AE2＝AF2+EF2，
即（4﹣x）2＝22+x2．
解得x＝，即线段EF长为cm；
解法2：
∵∠AFE＝∠B＝90°，∠FAE＝∠BAC，
∴△AEF∽△ACB，
∴．
∴，
解得，即线段EF长为cm；
解法3：
，
即，
解得，即线段EF长为cm．
【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
22．（12分）在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
（1）求m的值和一次函数y2的表达式．
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
（3）把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（p1，q1）和（p2，q2），当p1＝﹣1时，求此时n及p2×q2的值．
【分析】（1）由B的坐标求得反比例函数的解析式进而求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数y2的表达式；
（2）根据图象即可求得；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求得q1＝﹣4，由y＝2x+2﹣n过点（﹣1，﹣4），即可求得n＝4，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得p2×q2＝4．
【解答】解：（1）∵反比例函数过点A（1，m），点B（﹣2，﹣2）．
∴k1＝1×m＝﹣2×（﹣2），
∴m＝4，k1＝4，
∴A（1，4），
把A、B的坐标代入y2＝k2x+b（k2≠0）得，
解得，
∴一次函数y2的表达式为y2＝2x+2；
（2）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）由（1）可知y1＝，
把点（﹣1，q1）代入得，q1＝﹣4，
∴函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（﹣1，﹣4）和（p2，q2），
∵把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后得到y＝2x+2﹣n，且过点（﹣1，﹣4），
∴﹣4＝﹣2+2﹣n，
∴n＝4，
∵点（p2，q2）在反比例函数y1＝的图象上，
∴p2×q2＝4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，求得交点坐标是解题的关键．
23．（12分）在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是线段OC上的动点．
（1）如图1，若DE平分∠CDO．
①求证：AD＝AE．
②若CE＝2，求OE的长．
（2）如图2，延长DE交BC于点F连接OF．当DF＝2OF时，探究CF与AD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①由正方形的性质证出∠ADB＝∠ACD＝45°，由角平分线的性质得出∠ODE＝∠CDE，则可得出结论；
②过点E作EF⊥CD于点F，由等腰直角三角形的性质及角平分线的性质可得出结论；
（2）取DF的中点M，连接OM，CM，由三角形中位线定理得出OM＝BF，OM∥BF，证明四边形OFCM为平行四边形，由平行四边形的性质得出OM＝CF，则可得出结论．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠ACD＝45°，
∵DE平分∠BDC，
∴∠ODE＝∠CDE，
∵∠DEA＝∠EDC+∠ACD＝45°+∠EDC，∠ADE＝∠ADB+∠ODE＝45°+∠ODE，
∴∠DEA＝∠ADE，
∴AD＝AE；
②过点E作EF⊥CD于点F，
∵∠ACD＝45°，∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝45°，
∴EF＝CF，
∵CE＝2，
∴EF＝CE＝，
∵DE平分∠CDO，EF⊥CD，∠DOE＝90°，
∴OE＝EF＝；
（2）AD＝3CF，
理由：取DF的中点M，连接OM，CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，∠DCB＝90°，
∵M为DF的中点，
∴OM为△DBF的中位线，
∴OM＝BF，OM∥BF，
在Rt△DCF中，DM＝MF，
∴CM＝MF＝DM＝DF，
又∵DF＝2OF，
∴CM＝OF，
∴OF＝MF，
∴∠FOM＝∠FMO，∠MFC＝∠MCF，
∵OM∥CF，
∴∠OMF＝∠MFC，
∴∠OFM＝∠FMC，
∴OF∥CM，
又∵OF＝CM，
∴四边形OFCM为平行四边形，
∴OM＝CF，
∵BC＝BF+CF＝2OM+CF＝2CF+CF＝3CF，
∴AD＝3CF．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题．
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区西溪中学九年级（上）开学数学试卷（附答案与解析）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）现有长度分别为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣＝ B．3﹣＝3 C．＝﹣4 D．﹣＝
3．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
4．（3分）令M＝（a﹣x）（x﹣b），若，则（ ）
A．M＜0 B．M＞0 C．M≥0 D．M≤0
5．（3分）如图，直线l1：y＝x+3与l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则不等式x+3＞mx+n的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣1
6．（3分）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
7．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝12，BC＝20，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1
9．（3分）已知函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．
②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
10．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为 ．
12．（4分）已知a＝﹣2，则+a＝ ．
13．（4分）已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是 ， ．
14．（4分）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I＝．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是 ．
15．（4分）如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形ABCD，且AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在AC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝ ，矩形ABCD的面积＝ ．
三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（6分）△ABC的周长为12，AC＝2AB，设AB＝x，BC＝y．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若△ABC是等腰三角形，求它的三边长．
18．（8分）关于x，y的方程组，若2＜x﹣y＜4，则k的取值范围是多少？
19．（8分）已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
20．（10分）设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）．
（1）若函数y1的图象经过点（﹣1，5），求函数y1的表达式．
（2）已知点P（x1，m）和Q（﹣3，n）在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围．
（3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式．
21．（10分）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．
22．（12分）在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
（1）求m的值和一次函数y2的表达式．
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
（3）把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（p1，q1）和（p2，q2），当p1＝﹣1时，求此时n及p2×q2的值．
23．（12分）在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是线段OC上的动点．
（1）如图1，若DE平分∠CDO．
①求证：AD＝AE．
②若CE＝2，求OE的长．
（2）如图2，延长DE交BC于点F连接OF．当DF＝2OF时，探究CF与AD的数量关系，并说明理由．
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区西溪中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）现有长度分别为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先每3个搭配出所有情况，再根据三角形的三边关系进行排除．
【解答】解：首先任取三根，有2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5
再根据三角形的三边关系，得其中2+3＝5，排除2，3，5，
只有3个符合．
故选：C．
【点评】考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣＝ B．3﹣＝3 C．＝﹣4 D．﹣＝
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、﹣＝2﹣，故此选项错误；
B、3﹣＝2，故此选项错误；
C、＝4，故此选项错误；
D、﹣＝2﹣＝，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】由抛物线顶点式可求得答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．（3分）令M＝（a﹣x）（x﹣b），若，则（ ）
A．M＜0 B．M＞0 C．M≥0 D．M≤0
【分析】根据x的取值范围来确定（a﹣x）与（x﹣b）的符号，从而得到M的取值范围．
【解答】解：∵，
∴a﹣x＞0，x﹣b≤0．
∴（a﹣x）（x﹣b）≤0，即M≤0．
故选：D．
【点评】考查了一元一次不等式的应用，解题过程中，需要熟悉不等式的性质，难度不大．
5．（3分）如图，直线l1：y＝x+3与l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则不等式x+3＞mx+n的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣1
【分析】观察函数图象得到，当x＞﹣1时，直线L1：y＝x+3的图象都在L2：y＝mx+n的图象的上方，由此得到不等式x+3＞mx+n的解集．
【解答】解：∵直线L1：y＝x+3与L2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），
从图象可以看出，当x＞﹣1时，直线L1：y＝x+3的图象都在L2：y＝mx+n的图象的上方，
∴不等式x+3＞mx+n的解集为：x＞﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（3分）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图，
高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°，
②当为钝角三角形时可画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，
∴三角形的顶角为150°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
7．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝12，BC＝20，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】证明△BFA≌△BFG，根据全等三角形的性质得到BG＝AB＝12，AF＝FG，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：在△BFA和△BFG中，
，
∴△BFA≌△BFG（ASA）
∴BG＝AB＝12，AF＝FG，
∴GC＝BC﹣BG＝8，
∵AD＝DB，AF＝FG，
∴DE∥BC，
∵AE＝EC，
∴AE＝EC，AF＝FG，
∴EF＝GC＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向上，
∴在﹣2≤x≤2的取值范围内，当x＝﹣2时取得最大值11，当x＝1时，取得最小值2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．
9．（3分）已知函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．
②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【分析】根据反比例函数的性质以及轴对称的性质判断即可．
【解答】解：∵函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），
∴函数y1＝图象在第一象限，如图，
∴函数y的最小值大于0，
∵函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称，
∴y2的最大值小于2，
∴函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．故①正确；
当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则其对应点为（m，a），
那么，点（m，a）关于直线y＝1的对称点为（m，2﹣a），
∴在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a，故②正确，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，坐标与图形变化﹣对称，数形结合是解题的关键．
10．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质和等边三角形的性质，可得BP⊥CD，DP＝a，∠DBP＝30°，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接BD，BP，
设AB＝2a，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AB＝BC＝2a＝CD，∠A＝∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，△ABD是等边三角形，
∵点P在CD的中点，
∴BP⊥CD，DP＝a，∠DBP＝30°，
∴BP＝a，∠ABP＝∠ABD+∠DBP＝90°，
∵将菱形纸片翻折，
∴AM＝MP，
∵MP2＝MB2+BP2，
∴（2a﹣BM）2＝MB2+3a2，
∴BM＝a，
∴AM＝a，
∴BM：AM＝，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为 60° ．
【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质求出∠A即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝54°，
∵∠3＝∠2+∠A，
∴∠A＝54°﹣24°＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（4分）已知a＝﹣2，则+a＝ 0 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：当a＝﹣2时，
原式＝|a|+a
＝﹣a+a
＝0；
故答案为：0
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
13．（4分）已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是 a ， a3 ．
【分析】直接利用算术平均数求法，总数÷数据个数＝平均数，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得出答案．
【解答】解：由算术平均数定义可知：（a1+a2+0+a3+a4）＝×4a＝a；
将这组数据按从小到大排列为0，a4，a3，a2，a1；
由于有奇数个数，取最中间的数，
∴其中位数为a3．
故答案为：a，a3．
【点评】此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键．
14．（4分）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I＝．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是 20≤R≤60 ．
【分析】利用待定系数法可得I＝，然后根据题意可得0.2≤I≤0.6，从而可得0.2≤≤0.6，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
I＝，
∵当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A，
∴U＝IR＝0.3×40＝12（V），
∴I＝，
当0.2≤I≤0.6时，
∴0.2≤≤0.6，
∴20≤R≤60，
故答案为：20≤R≤60．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
15．（4分）如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形ABCD，且AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积为 4.5 ．
【分析】根据题意判定四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用面积法求得AB与BC的数量关系，从而求得该平行四边形的面积．
【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE＝1，AF＝3，
∴BC•AE＝AB•AF，
∴BC＝3AB．
又∵AB+BC＝6，
∴AB＝1.5，BC＝4.5，
∴四边形ABCD的面积＝4.5×1＝4.5．
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得BC＝3AB是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在AC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝ 29 ，矩形ABCD的面积＝ 420 ．
【分析】由折叠的性质得HD＝AD，FD＝CD，设AD＝x，则HD＝x，得AB＝CD＝x+1，BD＝x+9，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝90°，
由折叠的性质得：HD＝AD，FD＝CD，
设AD＝x，则HD＝x，
∴AB＝CD＝FD＝HD+HF＝x+1，
∴BD＝FD+BF＝x+9，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：x2+（x+1）2＝（x+9）2，
解得：x＝20或x＝﹣4（舍去），
∴AD＝20，AB＝21，BD＝x+9＝29，
∴矩形ABCD的面积＝AD•AB＝20×21＝420，
故答案为：29，420．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（6分）△ABC的周长为12，AC＝2AB，设AB＝x，BC＝y．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若△ABC是等腰三角形，求它的三边长．
【分析】（1）隔绝三角形的周长公式解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC的周长为12，AC＝2AB，设AB＝x，BC＝y，
∴x+2x+y＝12，
∴y＝12﹣3x，
∵，
解得：2＜x＜3，
∴y关于x的函数表达式为：y＝12﹣3x（2＜x＜3）；
（2）∵△ABC是等腰三角形，
当x＝y时，12﹣3x＝x，
解得：x＝3，
∴三角形三边为：3，3，6，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
当2x＝y时，12﹣3x＝2x，
解得：x＝2.4，
∴三角形三边为4.8，4.8，2.4，
∵2.4+4.8＞4.8，
∴能组成三角形，
综上所述，三角形的三边为4.8，4.8，2.4．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得出不等式解答．
18．（8分）关于x，y的方程组，若2＜x﹣y＜4，则k的取值范围是多少？
【分析】将两个方程相减，整理可得x﹣y＝k﹣1，结合2＜x﹣y＜4得出关于k的不等式组，解之可得．
【解答】解：将两个方程相减可得2x﹣2y＝2k﹣2，
即x﹣y＝k﹣1，
∵2＜x﹣y＜4，
∴2＜k﹣1＜4，
解得：3＜k＜5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解答此题的关键是把原方程组变形，用k表示出x﹣y的值，再根据x﹣y的取值范围得到关于k的一元一次不等式组，解此不等式组即可求出k的取值范围．
19．（8分）已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可求出k的值；
（2）结合（1）找出k的值，利用分解因式法求出方程x2﹣4x+k＝0的根，再将x的值代入x2+mx﹣1＝0中即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜4且k≠2．
（2）结合（1）可知k＝3，
∴方程x2﹣4x+k＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
当x＝1时，有1+m﹣1＝0，解得：m＝0；
当x＝3时，有9+3m﹣1＝0，解得：m＝﹣．
故m的值为0或﹣．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式组，根据根的判别式得出不等式（或不等式组）是解题的关键
20．（10分）设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）．
（1）若函数y1的图象经过点（﹣1，5），求函数y1的表达式．
（2）已知点P（x1，m）和Q（﹣3，n）在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围．
（3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据一次函数的性质，可得答案；
（3）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案．
【解答】解：（1）∵函数y1的图象经过点（﹣1，5），
∴5＝﹣k﹣2k，
解得k＝﹣，
函数y1的表达式y＝﹣x+；
（2）当k＜0时，若m＞n，则x1＜﹣3；
当k＞0时，若m＞n，则x1＞﹣3；
（3）∵y1＝kx﹣2k＝k（x﹣2），
∴函数y1的图象经过定点（2，0），
当y2＝ax+b经过（2，0）时，0＝2a+b，即2a+b＝0．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是利用一次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏；解（3）的关键是理解题意，并求出y1的必过点．
21．（10分）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．
【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG即可；
（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；
解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
由题意，得∠GAH＝∠DAC，∠ECF＝∠BCA．
∴∠GAH＝∠ECF，
∴AG∥CE．
又∵AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形．
（2）解法1：在Rt△ABC中，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5．
∵CF＝CB＝3，
∴AF＝2．
在Rt△AEF中，
设EF＝x，则AE＝4﹣x．
根据勾股定理，得AE2＝AF2+EF2，
即（4﹣x）2＝22+x2．
解得x＝，即线段EF长为cm；
解法2：
∵∠AFE＝∠B＝90°，∠FAE＝∠BAC，
∴△AEF∽△ACB，
∴．
∴，
解得，即线段EF长为cm；
解法3：
，
即，
解得，即线段EF长为cm．
【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
22．（12分）在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
（1）求m的值和一次函数y2的表达式．
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
（3）把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（p1，q1）和（p2，q2），当p1＝﹣1时，求此时n及p2×q2的值．
【分析】（1）由B的坐标求得反比例函数的解析式进而求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数y2的表达式；
（2）根据图象即可求得；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求得q1＝﹣4，由y＝2x+2﹣n过点（﹣1，﹣4），即可求得n＝4，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得p2×q2＝4．
【解答】解：（1）∵反比例函数过点A（1，m），点B（﹣2，﹣2）．
∴k1＝1×m＝﹣2×（﹣2），
∴m＝4，k1＝4，
∴A（1，4），
把A、B的坐标代入y2＝k2x+b（k2≠0）得，
解得，
∴一次函数y2的表达式为y2＝2x+2；
（2）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）由（1）可知y1＝，
把点（﹣1，q1）代入得，q1＝﹣4，
∴函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（﹣1，﹣4）和（p2，q2），
∵把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后得到y＝2x+2﹣n，且过点（﹣1，﹣4），
∴﹣4＝﹣2+2﹣n，
∴n＝4，
∵点（p2，q2）在反比例函数y1＝的图象上，
∴p2×q2＝4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，求得交点坐标是解题的关键．
23．（12分）在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是线段OC上的动点．
（1）如图1，若DE平分∠CDO．
①求证：AD＝AE．
②若CE＝2，求OE的长．
（2）如图2，延长DE交BC于点F连接OF．当DF＝2OF时，探究CF与AD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①由正方形的性质证出∠ADB＝∠ACD＝45°，由角平分线的性质得出∠ODE＝∠CDE，则可得出结论；
②过点E作EF⊥CD于点F，由等腰直角三角形的性质及角平分线的性质可得出结论；
（2）取DF的中点M，连接OM，CM，由三角形中位线定理得出OM＝BF，OM∥BF，证明四边形OFCM为平行四边形，由平行四边形的性质得出OM＝CF，则可得出结论．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠ACD＝45°，
∵DE平分∠BDC，
∴∠ODE＝∠CDE，
∵∠DEA＝∠EDC+∠ACD＝45°+∠EDC，∠ADE＝∠ADB+∠ODE＝45°+∠ODE，
∴∠DEA＝∠ADE，
∴AD＝AE；
②过点E作EF⊥CD于点F，
∵∠ACD＝45°，∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝45°，
∴EF＝CF，
∵CE＝2，
∴EF＝CE＝，
∵DE平分∠CDO，EF⊥CD，∠DOE＝90°，
∴OE＝EF＝；
（2）AD＝3CF，
理由：取DF的中点M，连接OM，CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，∠DCB＝90°，
∵M为DF的中点，
∴OM为△DBF的中位线，
∴OM＝BF，OM∥BF，
在Rt△DCF中，DM＝MF，
∴CM＝MF＝DM＝DF，
又∵DF＝2OF，
∴CM＝OF，
∴OF＝MF，
∴∠FOM＝∠FMO，∠MFC＝∠MCF，
∵OM∥CF，
∴∠OMF＝∠MFC，
∴∠OFM＝∠FMC，
∴OF∥CM，
又∵OF＝CM，
∴四边形OFCM为平行四边形，
∴OM＝CF，
∵BC＝BF+CF＝2OM+CF＝2CF+CF＝3CF，
∴AD＝3CF．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题．
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