浙江省杭州市2024年九年级下学期开学考试数学试题含答案

这是一份浙江省杭州市2024年九年级下学期开学考试数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（1，﹣3）
C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
2．如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（ ）
A．sinC＝B．csC＝C．tanA＝D．sinA＝
3．下列说法正确的是（ ）
A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件
B．概率很小的事情不可能发生
C．2022年1月27日杭州会下雪是随机事件
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
4．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2B．2C．4D．2
5．已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（ ）
A．（ +1）aB．（ ﹣1）a
C．（3﹣ ）aD．（ ﹣2）a
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5B．4：9：25C．4：10：25D．2：5：25
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a；④b＞1，其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2 个C．3 个D．4 个
9．对于二次函数y＝kx2-（4k+1）x+3k+3.下列说法正确的是（ ）
①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；②该函数图象与x轴必有交点；③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝-1.
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
10．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）
A．x–y2=3B．2x–y2=9C．3x–y2=15D．4x–y2=21
二、填空题
11．在六张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、菱形、等边三角形、直角三角形、正六边形，现从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 .
12．扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为 .
13．如图，已知DE∥BC且AD：DB＝2：1，则SⅠ：SⅡ＝
14．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝130°，则∠AOC的度数是 .
15．二次函数 的图象如图，对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内解，则 的取值范围是 ．
16．已知一次函数y1＝-x，二次函数y2＝x2-2kx+k2-k（k＞0）.
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ；
（2）若y＝y2-y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数y的图像上，且s＜b，则a的取值范围 .（用含k的式子表示）
三、解答题
17．计算
（1）计算：；
（2）已知，且a+b＝20，求a，b的值.
18．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率.
19．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡比为1：，且B、C、E三点在同一条直线上请根据以上条件求出：
（1）AC的长；
（2）树DE的高度.
20．如图，△ABC中，点P、E分别在边AB、BC上，点E为边BC的中点，点Q在线段CA的延长线上，且∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°.
（1）求证：△BPE∽△CEQ；
（2）若BP＝2，CQ＝25，求PQ的长.
21．如图，∠EAD是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，且∠EAD＝75°，DB＝DC.
（1）求∠BDC的度数.
（2）若⊙O的半径为2，求的长.
22．如图，在矩形ABCD中，点G在边BC上（不与点B、C重合），连接AG，作DF⊥AG于点F，BE⊥AG于点E.
（1）若AG＝AD，求证：AB＝DF；
（2）设＝k，连接BF、DE，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，求的值.
23．如图，抛物线y＝-x2+mx+2（m＞0）交y轴于点A，BA⊥y轴交抛物线于点B.
（1）用m的代数式表示AB的长.
（2）已知m＝1，且点B，C关于原点对称.
①判断点C是否落在抛物线上，并说明理由.
②点P是抛物线上一点，点P关于x轴、y轴的对称点分别为点Q，R，是否存在这样的点P，使得点Q，R恰好都在直线BC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
1．A
2．C
3．C
4．B
5．D
6．B
7．C
8．C
9．A
10．B
11．
12．π
13．4∶5
14．100°
15．
16．（1）1
（2）a＜k-3或a＞k+2
17．（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∵a+b＝20，
∴，
解得：b＝12，
则
18．（1）
（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝ ＝ .
19．（1）解：在Rt△ABC中，
∵，AB=3，
∴BC=3，
∴AC=
（2）解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3米，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE=，
在Rt△AFD中，DF=DE-EF=，
∴AF=，
∵AF=BE=BC+CE，
∴，
解得x=9（米）.
答：树高为9米.
20．（1）证明：如图，连接AE，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵点E为边BC的中点，
∴∠AEB＝90°，BE＝CE，∠CAE＝BAC＝45°，
∴∠AQE+∠AEQ＝∠CAE＝45°，
∵∠PEQ＝45°，
∴∠AEQ+∠PEB＝45°，
∴∠PEB＝∠AQE，
∴△BPE∽△CEQ；
（2）解：∵△BPE∽△CEQ，
∴.
∵BE＝CE，
∴BE2＝PB•CQ，
∵BP＝2，CQ＝25，
∴BE＝5.
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形.
∵E为BC中点，
由三线合一知AE⊥BC，且AE＝CE＝BE＝5.
∴AC＝AB＝＝10，
∴AQ＝CQ-AC＝25-10＝15.
又∵AP＝AB-BP＝10-2＝8，且∠QAP＝90°，
∴PQ＝.
21．（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠C＝180°，
∵∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠EAD＝75°，
∴∠C＝75°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°-∠C-∠DBC＝30°
（2）解：连接OB、OC，
∵∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝60°（圆周角定理），
∵⊙O的半径为2，
∴的长是＝.
22．（1）证明：四边形ABCD是矩形
，
，
在和中
AB=DF
（2）解：由已知得：
在中，；在中，
，
四边形ABCD是矩形
AD=BC
23．（1）解：∵y＝-x2+mx+2＝-（x－m）2＋m2＋2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵点A、B关于抛物线对称轴对称，
∴ AB＝2m
（2）解：①当m＝1时，抛物线的表达式为y＝-x2+x+2，
对于y＝-x2+x+2，
令x＝0，则y＝2，
∴点A的坐标为（0，2），
由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝m＝1，
而点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴点B的坐标为（2，2），
∵点B，C关于原点对称，
∴点C的坐标为（-2，-2），
当x＝-2时，y＝-x2+x+2＝-2，
∴点C在抛物线上；
②设点P的坐标为（a，-a2+a+2），
则点Q、R的坐标分别为（a，a2-a-2）、（-a，-a2+a+2），
由B、C的坐标知，直线BC在一、三象限的平分线上，
故直线BC的表达式为y＝x，
则a＝a2-a-2，-a＝-a2+a+2，
解得a＝2±2，
故点P的坐标为（2+2，-2-2）或（2-2，-2+2）.