2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区公益中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区公益中学九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下面四个图形，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若，则下列不等式中，成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知：如图，是的两条半径，且，点在上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 某校六一活动中，位评委给某个节目的评分各不相同，去掉个最高分和个最低分，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数

6. 如图，在中中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接若的周长为，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，▱的对角线，交于点，是的中点，连结，，，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知二次函数当自变量取值在范围内时，最大值和最小值分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

9. 如图，正方形中，，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 设反比例函数，当，，时，对应的函数值分别为，，，若，则必有(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 四条线段、、、成比例，其中，，，则______．
12. 不透明袋子里装有仅颜色不同的个白球和个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是______．
13. 一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是______边形．
14. 二次函数的顶点为______．
15. 如图，在中，，，，，则的长为______．

16. 如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则 ______ 度

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    用适当的方法解一元二次方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    为了解八年级各班男生引体向上情况，随机抽取八班、八班各名同学进行测试，其有效次数分别为：八班：，，，，；八班：，，，，现从平均数、众数、中位数、方差四个统计量对两个班男生的测试数据做如下分析．

根据以上信息，回答下列问题：
请直接写出，，的值．
如果男生引体向上有效次数次的成绩为满分，不考虑其他因素，请以这名同学的成绩为样本，估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数．

19. 本小题分
    如图，中，是上的一点，．
    求证：∽；
    若，，求的长．

20. 本小题分
    设二次函数是常数，，部分对应值如表：

试判断该函数图象的开口方向．
根据你的解题经验，直接写出的解．
当时，求函数的值．

21. 本小题分
    某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价元，平均每天可多售出件．设每件童装降价元．
    每天可销售多少件，每件盈利多少元？用含的代数式表示
    每件童装降价多少元时，平均每天盈利元．
    平均每天盈利能否达到元，请说明理由．
22. 本小题分
    在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，点的坐标为，点的坐标为．
    求的值和一次函数的表达式．
    当时，直接写出的取值范围．
    把函数的图象向下平移个单位后，与函数的图象交于点和，当时，求此时及的值．

23. 本小题分
    如图，在矩形中，平分交于，连结，．
    如图，若，，求的长；
    如图，若点是边上的一点，若，连结交于，
    猜想的度数，并说明理由；
    若，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转度后与原图形重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能根据二次根式有意义的条件得出不等式是解此题的关键，注意：中．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
判断出，再利用圆周角定理求解．
本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，从个原始评分中去掉个最高分和个最低分，得到个有效评分．个有效评分与个原始评分相比，中位数一定不发生变化．
故选：．
根据平均数、中位数、方差、众数的意义即可求解．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
 

6.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
的周长为，
，
，
即，
，
的周长．
故选：．
利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再利用等线段代换得到，然后计算的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是的中点，
是的中位线，
，
故选：．
利用平行四边形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用三角形中位线定理，进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
时，取最小值为，
，
时，为时的函数最大值，
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线的开口方向及顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
在和中，
，
≌，
，
设，则．
为中点，，
，
在中，根据勾股定理，得：，
解得．
则．
故选：．
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证≌；在直角中，根据勾股定理即可求出的长．
本题考查了翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
由题意可知，，或，
或，
故选：．
根据反比例函数的性质判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四条线段、、、成比例，
，
，，，
，
解得：．
故答案为：．
由四条线段、、、成比例，根据比例线段的定义，即可得，又由，，，即可求得的值．
此题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．
 

12.【答案】 

【解析】解：袋子中共有个除颜色外其它都相同的球，其中红球有个，
从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是，
故答案为：．
用红色球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】四 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的外角和定理以及四边形的内角和定理，比较简单．利用多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】
解：多边形的外角和是度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是度，
这个多边形是四边形．
故答案为四．  

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为．
故答案为：．
将二次函数解析式化为顶点式求解．
本题二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
利用平行线分线段成比例可得，代入可求得，利用线段的和差可得的长．
本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

四边形是矩形，
．
是的中点，
，
，．
，关于对称，
，
．
，，，
．
．
，
．
，
．
设，则，
．
，
．
．
故答案为：．
连接，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得和为等腰三角形，，；由折叠可知，可得；由，，，可得，进而得到；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得；最后在中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
；
，
整理得：，
则，
解得，． 

【解析】利用配方法求解即可；
整理后，利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：八班的测试数据中，的次数最多，因此甲的众数是，，
八班的平均数，
将八班的测试数据从小到大排列为，，，，，处在第位的数是，因此中位数是，即，
八班的方差；
，，，；
人．
答：估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数为人． 

【解析】根据中位数、众数、平均数、方差的计算方法分别计算结果，得出答案，
用总人数乘以样本中甲、乙班男生引体向上成绩达到满分的人数所占比例即可．
本题考查了中位数、众数和平均数、方差的概念和计算方法，明确各个统计量的意义，反映数据的特征以及计算方法是正确解答的关键．
 

19.【答案】证明：，，
∽．
解：∽，
，
即，
，
的长为． 

【解析】由结合公共角，即可证出∽；
利用相似三角形的性质可得出，结合，，即可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：牢记“两角对应相等，两个三角形相似”；牢记“相似三角形对应边成比例”．
 

20.【答案】解：将，代入得，
解得，
，
抛物线开口向上．
，
，
解得．
将代入得． 

【解析】通过待定系数法求出函数解析式，进而求解．
根据抛物线与轴的交点坐标求解．
将代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．
 

21.【答案】解：设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元，
故答案为：，；

根据题意，得：．
解得：，，
扩大销售量，增加利润，
，
答：每件童装降价元，平均每天盈利元；

依题意，可列方程：
，
化简，得，
．
故方程无实数根．
故平均每天销售利润不能达到元． 

【解析】根据销售量原销售量因价格下降而增加的数量，每件利润实际售价进价，列式即可；
根据总利润每件利润销售数量，列方程求解可得；
根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程，再根据根的判别式求解．
本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．
 

22.【答案】解：反比例函数过点，点．
，
，，
，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的表达式为；
观察图象，当时，的取值范围或；
由可知，
把点代入得，，
函数的图象向下平移个单位后，与函数的图象交于点和，
把函数的图象向下平移个单位后得到，且过点，
，
，
点在反比例函数的图象上，
． 

【解析】由的坐标求得反比例函数的解析式进而求得的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的表达式；
根据图象即可求得；
根据反比例函数图象上点的坐标特征，求得，由过点，即可求得，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，求得交点坐标是解题的关键．
 

23.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
，
理由：连接，如图所示：
由得：，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
四边形是矩形，
，
，
过作于，
，
，
，
，
，
由知，，

，
，
，
过作于，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
由知，≌，
，，
． 

【解析】由矩形矩形的性质得，，，由角平分线的性质得出，则是等腰直角三角形，得出，推出，由勾股定理得出；
连接，由得，，由证得≌，得出，，证明是等腰直角三角形，即可得出结论；
根据矩形的性质得到，求得，过作于，根据余角的性质得到，得到，过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．