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浙江省杭州市西湖区杭州外国语学校2022-2023学年九年级开学上学期数学试卷（含答案）
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这是一份浙江省杭州市西湖区杭州外国语学校2022-2023学年九年级开学上学期数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学
数学试卷（附答案与解析）
一、选择题
1．一次函数y＝6x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3
3．对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（ ）
A．最小值y＝ B．最小值y＝﹣1
C．最大值y＝ D．最大值y＝﹣1
4．若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（ ）
A．6或﹣6 B．6 C．﹣6 D．6和3
5．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1
C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
6．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则二次函数图象的对称轴与x轴的交点是（ ）
A．（﹣2.5，0） B．（2.5，0） C．（﹣1.5，0） D．（1.5，0）
7．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1
C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C（3，0）两点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为（0，﹣1），连接PD，则PD+PC的最小值是（ ）
A．4 B．2+2 C．2 D．+
二、填空题：
9．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝；④y＝（x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是 ．
10．若方程组无解，则y＝kx﹣2图象不经过第 象限．
11．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且a＜0，b＞0，则a+b＝ ．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，以AB为边作正方形ABCD，其中CD在AB上方，连接OA，则OA2﹣OC2＝ ．
13．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB上一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则MN的最小值为 ．
14．二次函数y＝（x﹣）（mx﹣6m），其中m＞0，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当x＞3时，都有y随x的增大而增大；③若当x＜n时，都有y随x的增大而减小，则n≤3+；④该函数图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论序号是 ．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）两点．
（1）求m的值；
（2）求出一次函数与反比例函数的表达式；
（3）过点P（a，0）作x轴的垂线，与直线y＝k1x+b和函数（x＞0）的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，写出a的取值范围．
16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
17．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
2022-2023学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．一次函数y＝6x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先判断出一次函数y＝6x+1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝6x+1中k＝6＞0，b＝1＞0，
∴此函数经过一、二、三象限，
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，当b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交．
2．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣3，n＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
3．对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（ ）
A．最小值y＝ B．最小值y＝﹣1
C．最大值y＝ D．最大值y＝﹣1
【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数y随x的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范围，可得函数值的取值范围．
【解答】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得
x＝﹣1时，y＝4．
k＝﹣1×4＝﹣4，
反比例函数解析式为y＝﹣，
当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，
当x＝8时，y最小值＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4得出函数图象位于第二项是解题关键．
4．若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（ ）
A．6或﹣6 B．6 C．﹣6 D．6和3
【分析】根据一次函数的特点，设一次函数的解析式为y＝kx+b，然后把这三个点的坐标代入，解方程组，即可求出a的值．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b，把A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）代入得
，
解得．
a的值是6．
故选：B．
【点评】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数．
5．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1
C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
【分析】根据图象的交点坐标及函数的大小关系，直接解答．要充分利用函数图象所给的信息解答．
【解答】解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时x＜﹣1；
在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时0＜x＜1．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将关于算式的问题转化为图象问题是解题的关键．
6．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则二次函数图象的对称轴与x轴的交点是（ ）
A．（﹣2.5，0） B．（2.5，0） C．（﹣1.5，0） D．（1.5，0）
【分析】先根据解析式“上加下减，左加右减”的平移规律分别得到二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后的解析式，再将原点（0，0）分别代入，得16a+4b+c＝0①，a﹣b+c＝0②，再将①﹣②，得出b＝﹣3a，求出﹣＝﹣＝1.5，进而得到二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴与x轴的交点坐标．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c＝a（x+）2+，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位得到y＝a（x++4）2+，
将原点（0，0）代入，得a（+4）2+＝0，
整理，得16a+4b+c＝0①．
二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移1个单位得到y＝a（x+﹣1）2+，
将原点（0，0）代入，得a（﹣1）2+＝0，
整理，得a﹣b+c＝0②．
①﹣②，得15a+5b＝0，b＝﹣3a，
∴﹣＝﹣＝1.5，
∴二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴与x轴的交点是（1.5，0）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，难度适中．正确求出平移后的解析式是解题的关键．
7．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1
C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1
【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x＝﹣2，分两种情况讨论，根据图象上点的坐标特征，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2，
∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，
∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；
当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质结合二次函数的对称轴找出不等式是关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C（3，0）两点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为（0，﹣1），连接PD，则PD+PC的最小值是（ ）
A．4 B．2+2 C．2 D．+
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题．
【解答】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，
把C（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，
解得b＝2，
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，﹣1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∴DH＝BD•sin45°＝2，
∵PJ⊥CB，
∴∠PJC＝90°，
∴PJ＝PC，
∴PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），
∵DP+PJ≥DH，
∴DP+PJ≥2，
∴DP+PJ的最小值为2，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：A．
【点评】本题考查垂线段最短，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题：
9．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝；④y＝（x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是 ②④ ．
【分析】利用一次函数、正比例函数及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①y＝2x，正比例函数，k＞0，故y随着x增大而增大，不符合题意；
②y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x的增大而减小，符合题意；
③y＝，反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；
④y＝（x＞0），反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，符合题意；
故答案为：②④．
【点评】本题综合考查了一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），解题的关键是能够熟知每种函数的性质，是一道难度中等的题目．
10．若方程组无解，则y＝kx﹣2图象不经过第 二 象限．
【分析】根据方程组无解可得k＝1，即可判断y＝kx﹣2图象不经过的象限．
【解答】解：方程组，
∴2kx﹣3＝（3k﹣1）x+2，
∴（k﹣1）x＝﹣5，
∵方程组无解，
∴k﹣1＝0，
∴k＝1，
∴y＝kx﹣2图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的性质和解二元一次方程组是解题的关键．
11．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且a＜0，b＞0，则a+b＝ 2 ．
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征可得出k＝a（﹣）＝b（﹣b+1），对等式进行化简可得出结论．
【解答】解：∵点、是反比例函数图象上的两个点，
∴k＝a（﹣）＝b（﹣b+1），
整理得，2（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∵a＞0，b＜0，
∴a≠b，
∴a﹣b≠0，
∴a+b＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，根据反比例函数上点的坐标特征得出a，b之间的关系是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，以AB为边作正方形ABCD，其中CD在AB上方，连接OA，则OA2﹣OC2＝ 8 ．
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义、正方形的性质以及勾股定理即可求得OA2﹣OC2＝8．
【解答】解：正方形ABCD中，BC＝AB，
∴OC＝BC﹣OB＝AB﹣OB，
∵点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，
∴AB•OB＝4，OA2＝AB2+OB2，
∴OA2﹣OC2＝AB2+OB2﹣（AB﹣OB）2＝2AB•OB＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用以及反比例函数系数k的几何意义，得出OC＝BC﹣OB＝AB﹣OB，AB•OB＝4，OA2＝AB2+OB2是解题的关键．
13．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB上一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则MN的最小值为 ．
【分析】连接OP，易得四边形ONPM是矩形，可得OP＝MN，在Rt△AOB中，当OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，利用三角形的面积可得OP的值，即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为．
【解答】解：连接OP，
由已知可得∠PMO＝∠MON＝∠ONP＝90°，
∴四边形ONPM是矩形，
∴OP＝MN，
在Rt△AOB中，当OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，
∵直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，4），
∴AO＝2，BO＝4，
∴AB＝＝2，
∵S△AOB＝AO•BO＝AB•OP，
∴2×4＝2•OP，
∴OP＝，
∴MN＝，
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是得出OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，．
14．二次函数y＝（x﹣）（mx﹣6m），其中m＞0，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当x＞3时，都有y随x的增大而增大；③若当x＜n时，都有y随x的增大而减小，则n≤3+；④该函数图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论序号是 ③ ．
【分析】先把二次函数化简为一般式，求得对称轴与△，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：∵y＝（x﹣）•（mx﹣6m）＝mx2﹣（6m+1）x+6，
∴对称轴为x＝﹣＝3+，Δ＝[﹣（6m+1）]2﹣24m＝（6m﹣1）2≥0，
①、该函数图象与坐标轴必有两个交点，此选项错误；
②、当x＞3+时，y随x的增大而增大，此选项错误；
③、当x＜3+时，即x≤3+，y随x的增大而减小，此选项正确；
④、由（x﹣）•（mx﹣6m）＝﹣x+6，得出mx﹣1＝﹣1，得出x＝0，说明图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，此选项错误．
故答案为：③．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握对称轴的求法，抛物线与x轴的交点坐标判定，二次函数的增减性是解决问题的关键．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）两点．
（1）求m的值；
（2）求出一次函数与反比例函数的表达式；
（3）过点P（a，0）作x轴的垂线，与直线y＝k1x+b和函数（x＞0）的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，写出a的取值范围．
【分析】（1）由反比例函数的性质可以求出m的值；
（2）列出关于k1与b的二元一次方程组，解方程组，进而可得到一次函数解析式，由反比例函数的概念可得反比例函数的解析式；
（3）观察图象，再利用一次函数和反比例函数的性质即可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）由反比例函数概念可得m（m+1）＝（m+3）（m﹣1），解得m＝3；
（2）将点A（3，4），B（6，2）代入y＝k1x+b得，
解得：k1＝﹣，b＝6，
所以一次函数的解析式为．
由k2＝3×4＝12，可得反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（3）∵两函数的交点坐标是A（3，4），B（6，2），
∴当点M在点N下方时，a的取值范围是0＜a＜3或a＞6．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数图象的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出A、B的坐标是解此题的关键．
16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
【分析】（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出S与t之间的函数关系式；
（2）把S＝30代入累计利润S＝t2﹣2t的函数关系式里，求得月份；
（3）分别t＝7，t＝8，代入函数解析S＝t2﹣2t，再把总利润相减就可得出．
【解答】解：（1）由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），
故可设其函数关系式为：S＝a（t﹣2）2﹣2．
∵所求函数关系式的图象过（0，0），
于是得：
a（0﹣2）2﹣2＝0，
解得a＝．
∴所求函数关系式为：S＝（t﹣2）2﹣2，即S＝t2﹣2t．
答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S＝t2﹣2t；
（2）把S＝30代入S＝（t﹣2）2﹣2，
得 （t﹣2）2﹣2＝30．
解得t1＝10，t2＝﹣6（舍去）．
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．
（3）把t＝7代入关系式，
得S＝×72﹣2×7＝10.5，
把t＝8代入关系式，
得S＝×82﹣2×8＝16，
16﹣10.5＝5.5，
答：第8个月公司所获利是5.5万元．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．
17．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
【分析】（1）将（0，0），（1，0）代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）求出函数解析式即可求解；
（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；
（3）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[﹣][﹣]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0＜﹣≤，0＜﹣≤，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；
∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
∴x1＝0，x2＝1，
∴y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，
当x＝时，y＝﹣，
∴乙说的不对；
（2）∵y＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝（x﹣）2﹣，
∴当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；
（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，
∴m＝x1x2，n＝（1﹣x1）（1﹣x2），
∴mn＝x1•x2（1﹣x1）（1﹣x2）＝（x1﹣x12）（x2﹣x22）＝[﹣][﹣]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴0＜﹣≤，0＜﹣≤，
∵x1≠x2，
∴mn不能取到，
∴0＜mn＜．
【点评】本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确地用x1和x2表示出来是解题的关键．
2022-2023学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学
数学试卷（附答案与解析）
一、选择题
1．一次函数y＝6x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3
3．对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（ ）
A．最小值y＝ B．最小值y＝﹣1
C．最大值y＝ D．最大值y＝﹣1
4．若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（ ）
A．6或﹣6 B．6 C．﹣6 D．6和3
5．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1
C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
6．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则二次函数图象的对称轴与x轴的交点是（ ）
A．（﹣2.5，0） B．（2.5，0） C．（﹣1.5，0） D．（1.5，0）
7．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1
C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C（3，0）两点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为（0，﹣1），连接PD，则PD+PC的最小值是（ ）
A．4 B．2+2 C．2 D．+
二、填空题：
9．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝；④y＝（x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是 ．
10．若方程组无解，则y＝kx﹣2图象不经过第 象限．
11．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且a＜0，b＞0，则a+b＝ ．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，以AB为边作正方形ABCD，其中CD在AB上方，连接OA，则OA2﹣OC2＝ ．
13．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB上一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则MN的最小值为 ．
14．二次函数y＝（x﹣）（mx﹣6m），其中m＞0，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当x＞3时，都有y随x的增大而增大；③若当x＜n时，都有y随x的增大而减小，则n≤3+；④该函数图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论序号是 ．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）两点．
（1）求m的值；
（2）求出一次函数与反比例函数的表达式；
（3）过点P（a，0）作x轴的垂线，与直线y＝k1x+b和函数（x＞0）的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，写出a的取值范围．
16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
17．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
2022-2023学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．一次函数y＝6x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先判断出一次函数y＝6x+1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝6x+1中k＝6＞0，b＝1＞0，
∴此函数经过一、二、三象限，
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，当b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交．
2．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣3，n＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
3．对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（ ）
A．最小值y＝ B．最小值y＝﹣1
C．最大值y＝ D．最大值y＝﹣1
【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数y随x的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范围，可得函数值的取值范围．
【解答】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得
x＝﹣1时，y＝4．
k＝﹣1×4＝﹣4，
反比例函数解析式为y＝﹣，
当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，
当x＝8时，y最小值＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4得出函数图象位于第二项是解题关键．
4．若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（ ）
A．6或﹣6 B．6 C．﹣6 D．6和3
【分析】根据一次函数的特点，设一次函数的解析式为y＝kx+b，然后把这三个点的坐标代入，解方程组，即可求出a的值．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b，把A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）代入得
，
解得．
a的值是6．
故选：B．
【点评】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数．
5．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1
C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
【分析】根据图象的交点坐标及函数的大小关系，直接解答．要充分利用函数图象所给的信息解答．
【解答】解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时x＜﹣1；
在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时0＜x＜1．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将关于算式的问题转化为图象问题是解题的关键．
6．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则二次函数图象的对称轴与x轴的交点是（ ）
A．（﹣2.5，0） B．（2.5，0） C．（﹣1.5，0） D．（1.5，0）
【分析】先根据解析式“上加下减，左加右减”的平移规律分别得到二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后的解析式，再将原点（0，0）分别代入，得16a+4b+c＝0①，a﹣b+c＝0②，再将①﹣②，得出b＝﹣3a，求出﹣＝﹣＝1.5，进而得到二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴与x轴的交点坐标．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c＝a（x+）2+，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位得到y＝a（x++4）2+，
将原点（0，0）代入，得a（+4）2+＝0，
整理，得16a+4b+c＝0①．
二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移1个单位得到y＝a（x+﹣1）2+，
将原点（0，0）代入，得a（﹣1）2+＝0，
整理，得a﹣b+c＝0②．
①﹣②，得15a+5b＝0，b＝﹣3a，
∴﹣＝﹣＝1.5，
∴二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴与x轴的交点是（1.5，0）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，难度适中．正确求出平移后的解析式是解题的关键．
7．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1
C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1
【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x＝﹣2，分两种情况讨论，根据图象上点的坐标特征，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2，
∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，
∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；
当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质结合二次函数的对称轴找出不等式是关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C（3，0）两点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为（0，﹣1），连接PD，则PD+PC的最小值是（ ）
A．4 B．2+2 C．2 D．+
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题．
【解答】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，
把C（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，
解得b＝2，
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，﹣1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∴DH＝BD•sin45°＝2，
∵PJ⊥CB，
∴∠PJC＝90°，
∴PJ＝PC，
∴PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），
∵DP+PJ≥DH，
∴DP+PJ≥2，
∴DP+PJ的最小值为2，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：A．
【点评】本题考查垂线段最短，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题：
9．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝；④y＝（x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是 ②④ ．
【分析】利用一次函数、正比例函数及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①y＝2x，正比例函数，k＞0，故y随着x增大而增大，不符合题意；
②y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x的增大而减小，符合题意；
③y＝，反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；
④y＝（x＞0），反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，符合题意；
故答案为：②④．
【点评】本题综合考查了一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），解题的关键是能够熟知每种函数的性质，是一道难度中等的题目．
10．若方程组无解，则y＝kx﹣2图象不经过第 二 象限．
【分析】根据方程组无解可得k＝1，即可判断y＝kx﹣2图象不经过的象限．
【解答】解：方程组，
∴2kx﹣3＝（3k﹣1）x+2，
∴（k﹣1）x＝﹣5，
∵方程组无解，
∴k﹣1＝0，
∴k＝1，
∴y＝kx﹣2图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的性质和解二元一次方程组是解题的关键．
11．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且a＜0，b＞0，则a+b＝ 2 ．
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征可得出k＝a（﹣）＝b（﹣b+1），对等式进行化简可得出结论．
【解答】解：∵点、是反比例函数图象上的两个点，
∴k＝a（﹣）＝b（﹣b+1），
整理得，2（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∵a＞0，b＜0，
∴a≠b，
∴a﹣b≠0，
∴a+b＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，根据反比例函数上点的坐标特征得出a，b之间的关系是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，以AB为边作正方形ABCD，其中CD在AB上方，连接OA，则OA2﹣OC2＝ 8 ．
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义、正方形的性质以及勾股定理即可求得OA2﹣OC2＝8．
【解答】解：正方形ABCD中，BC＝AB，
∴OC＝BC﹣OB＝AB﹣OB，
∵点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，
∴AB•OB＝4，OA2＝AB2+OB2，
∴OA2﹣OC2＝AB2+OB2﹣（AB﹣OB）2＝2AB•OB＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用以及反比例函数系数k的几何意义，得出OC＝BC﹣OB＝AB﹣OB，AB•OB＝4，OA2＝AB2+OB2是解题的关键．
13．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB上一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则MN的最小值为 ．
【分析】连接OP，易得四边形ONPM是矩形，可得OP＝MN，在Rt△AOB中，当OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，利用三角形的面积可得OP的值，即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为．
【解答】解：连接OP，
由已知可得∠PMO＝∠MON＝∠ONP＝90°，
∴四边形ONPM是矩形，
∴OP＝MN，
在Rt△AOB中，当OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，
∵直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，4），
∴AO＝2，BO＝4，
∴AB＝＝2，
∵S△AOB＝AO•BO＝AB•OP，
∴2×4＝2•OP，
∴OP＝，
∴MN＝，
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是得出OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，．
14．二次函数y＝（x﹣）（mx﹣6m），其中m＞0，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当x＞3时，都有y随x的增大而增大；③若当x＜n时，都有y随x的增大而减小，则n≤3+；④该函数图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论序号是 ③ ．
【分析】先把二次函数化简为一般式，求得对称轴与△，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：∵y＝（x﹣）•（mx﹣6m）＝mx2﹣（6m+1）x+6，
∴对称轴为x＝﹣＝3+，Δ＝[﹣（6m+1）]2﹣24m＝（6m﹣1）2≥0，
①、该函数图象与坐标轴必有两个交点，此选项错误；
②、当x＞3+时，y随x的增大而增大，此选项错误；
③、当x＜3+时，即x≤3+，y随x的增大而减小，此选项正确；
④、由（x﹣）•（mx﹣6m）＝﹣x+6，得出mx﹣1＝﹣1，得出x＝0，说明图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，此选项错误．
故答案为：③．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握对称轴的求法，抛物线与x轴的交点坐标判定，二次函数的增减性是解决问题的关键．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）两点．
（1）求m的值；
（2）求出一次函数与反比例函数的表达式；
（3）过点P（a，0）作x轴的垂线，与直线y＝k1x+b和函数（x＞0）的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，写出a的取值范围．
【分析】（1）由反比例函数的性质可以求出m的值；
（2）列出关于k1与b的二元一次方程组，解方程组，进而可得到一次函数解析式，由反比例函数的概念可得反比例函数的解析式；
（3）观察图象，再利用一次函数和反比例函数的性质即可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）由反比例函数概念可得m（m+1）＝（m+3）（m﹣1），解得m＝3；
（2）将点A（3，4），B（6，2）代入y＝k1x+b得，
解得：k1＝﹣，b＝6，
所以一次函数的解析式为．
由k2＝3×4＝12，可得反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（3）∵两函数的交点坐标是A（3，4），B（6，2），
∴当点M在点N下方时，a的取值范围是0＜a＜3或a＞6．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数图象的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出A、B的坐标是解此题的关键．
16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
【分析】（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出S与t之间的函数关系式；
（2）把S＝30代入累计利润S＝t2﹣2t的函数关系式里，求得月份；
（3）分别t＝7，t＝8，代入函数解析S＝t2﹣2t，再把总利润相减就可得出．
【解答】解：（1）由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），
故可设其函数关系式为：S＝a（t﹣2）2﹣2．
∵所求函数关系式的图象过（0，0），
于是得：
a（0﹣2）2﹣2＝0，
解得a＝．
∴所求函数关系式为：S＝（t﹣2）2﹣2，即S＝t2﹣2t．
答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S＝t2﹣2t；
（2）把S＝30代入S＝（t﹣2）2﹣2，
得 （t﹣2）2﹣2＝30．
解得t1＝10，t2＝﹣6（舍去）．
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．
（3）把t＝7代入关系式，
得S＝×72﹣2×7＝10.5，
把t＝8代入关系式，
得S＝×82﹣2×8＝16，
16﹣10.5＝5.5，
答：第8个月公司所获利是5.5万元．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．
17．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
【分析】（1）将（0，0），（1，0）代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）求出函数解析式即可求解；
（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；
（3）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[﹣][﹣]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0＜﹣≤，0＜﹣≤，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；
∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
∴x1＝0，x2＝1，
∴y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，
当x＝时，y＝﹣，
∴乙说的不对；
（2）∵y＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝（x﹣）2﹣，
∴当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；
（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，
∴m＝x1x2，n＝（1﹣x1）（1﹣x2），
∴mn＝x1•x2（1﹣x1）（1﹣x2）＝（x1﹣x12）（x2﹣x22）＝[﹣][﹣]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴0＜﹣≤，0＜﹣≤，
∵x1≠x2，
∴mn不能取到，
∴0＜mn＜．
【点评】本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确地用x1和x2表示出来是解题的关键．
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