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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程优秀同步训练题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程优秀同步训练题，文件包含第9讲圆的方程原卷版docx、第9讲圆的方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
考点二：圆的标准方程
设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
考点三：圆的一般方程
圆的一般方程为，圆心坐标：，半径：
注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①的系数相同，方程中无项
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对于的取值要求：
当时，方程只有实数解．它表示一个点
当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二元二次方程，表示圆的充要条件是
考点四：以 为直径端点的圆的方程为
考点五： 阿波罗尼斯圆
设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线；
题型目录
题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：由圆的定义及方程求参数
题型四：阿波罗尼斯圆（阿氏圆）
题型五：二次函数与圆的交汇问题
典型例题
题型一：圆的标准方程
【例1】（浙江高二期末）圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(-1，0)，3B．(1，0)，3
C．D．
【例2】（2022·贵州·高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】（2020·北京十五中高二期中）经过三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
【例5】（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
【例6】（2022·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．
【例7】（2021·福建宁德·高二期中）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈）
A．6.48B．5.48C．4.48D．3.48
【题型专练】
1．（2022·广西·高二学业考试）已知圆的方程为x2+y2=4，那么这个圆的面积等于（ ）
A．2B．3C．πD．4π
2.（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B．C．4D．8
3.（2022·江苏·高二）圆，则（ ）
A．关于点对称B．关于直线对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
4．（2022·上海市第三女子中学高二期末）圆关于直线对称的圆的方程为______．
5．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
6.（新疆乌苏市第一中学）过点，且圆心在直线上的圆的方程 。
7.（内蒙古包头市·高二月考（理））顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．
题型二：圆的一般方程
【例1】（北京高二期末）圆的圆心C的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（－1，0）C．（2，0）D．（－2，0）
【例2】（广东肇庆市）在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为________.
【例3】（2022·全国·模拟预测）已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【例4】（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例5】（2022全国卷乙卷）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【题型专练】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆方程的圆心为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·江苏·高二）圆的圆心和半径分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
3.（2021·河北唐山·高二期中）点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（ ）
A． B．C．3D．9
4．（2022·陕西咸阳·高一期末）过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______.
5.（青铜峡市高级中学 ）经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是 。
题型三：由圆的定义及方程求参数
【例1】（2022·全国·高三专题练习）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例2】（全国高二单元测试）当方程所表示的圆的面积最大时，直线的倾斜角为（ ）．
A．B．C．D．
【例3】（全国高二课时练习）当取不同的实数时，由方程可以得到不同的圆，则（ ）
A．这些圆的圆心都在直线上
B．这些圆的圆心都在直线上
C．这些圆的圆心都在直线或上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求圆的周长的最大值.
【题型专练】
1.（2022·全国·高二）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2021·江苏·高二专题练习）已知方程表示一个圆． 求：
(1)圆半径最大时t的值；
(2)圆心的轨迹方程．
4．（全国高二专题练习）已知圆C:，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是_________.
题型四：阿波罗尼斯圆（阿氏圆）
【例1】（2022·四川成都·高二开学考试（理））若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A．B．C．D．
【例2】（2022·陕西·模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．4
【例3】（2022·全国·高二单元测试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得
【题型专练】
1．（2022·河北保定·高二期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·宁夏·银川二中高一期中）已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足，则在O，A，M三点所能构成的三角形中面积的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022·四川南充·三模（理））正方形ABCD边长为3，P为正方形ABCD边界及内部的动点，且，则动点P的轨迹长度为______．
5．（2022·全国·高三专题练习（文））阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为____________.
6．（2022·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家阿波罗尼斯（Apllnius f Perga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为_________.
题型五：二次函数与圆的交汇问题
【例1】（2021·江苏·苏州中学高二多选题）已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（ ）
A．圆心在直线上B．的取值范围是
C．圆半径的最小值为D．存在定点，使得圆恒过点
【例2】（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.
【题型专练】
1．（2022·上海·高三专题练习）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为_______（其坐标与无关）
2.（2022·上海市七宝中学高三期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______
3.（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线与轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
考点二：圆的标准方程
设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
考点三：圆的一般方程
圆的一般方程为，圆心坐标：，半径：
注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①的系数相同，方程中无项
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对于的取值要求：
当时，方程只有实数解．它表示一个点
当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二元二次方程，表示圆的充要条件是
考点四：以 为直径端点的圆的方程为
考点五： 阿波罗尼斯圆
设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线；
题型目录
题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：由圆的定义及方程求参数
题型四：阿波罗尼斯圆（阿氏圆）
题型五：二次函数与圆的交汇问题
典型例题
题型一：圆的标准方程
【例1】（浙江高二期末）圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(-1，0)，3B．(1，0)，3
C．D．
【例2】（2022·贵州·高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】（2020·北京十五中高二期中）经过三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
【例5】（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
【例6】（2022·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．
【例7】（2021·福建宁德·高二期中）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈）
A．6.48B．5.48C．4.48D．3.48
【题型专练】
1．（2022·广西·高二学业考试）已知圆的方程为x2+y2=4，那么这个圆的面积等于（ ）
A．2B．3C．πD．4π
2.（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B．C．4D．8
3.（2022·江苏·高二）圆，则（ ）
A．关于点对称B．关于直线对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
4．（2022·上海市第三女子中学高二期末）圆关于直线对称的圆的方程为______．
5．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
6.（新疆乌苏市第一中学）过点，且圆心在直线上的圆的方程 。
7.（内蒙古包头市·高二月考（理））顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．
题型二：圆的一般方程
【例1】（北京高二期末）圆的圆心C的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（－1，0）C．（2，0）D．（－2，0）
【例2】（广东肇庆市）在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为________.
【例3】（2022·全国·模拟预测）已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【例4】（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例5】（2022全国卷乙卷）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【题型专练】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆方程的圆心为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·江苏·高二）圆的圆心和半径分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
3.（2021·河北唐山·高二期中）点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（ ）
A． B．C．3D．9
4．（2022·陕西咸阳·高一期末）过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______.
5.（青铜峡市高级中学 ）经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是 。
题型三：由圆的定义及方程求参数
【例1】（2022·全国·高三专题练习）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例2】（全国高二单元测试）当方程所表示的圆的面积最大时，直线的倾斜角为（ ）．
A．B．C．D．
【例3】（全国高二课时练习）当取不同的实数时，由方程可以得到不同的圆，则（ ）
A．这些圆的圆心都在直线上
B．这些圆的圆心都在直线上
C．这些圆的圆心都在直线或上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求圆的周长的最大值.
【题型专练】
1.（2022·全国·高二）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2021·江苏·高二专题练习）已知方程表示一个圆． 求：
(1)圆半径最大时t的值；
(2)圆心的轨迹方程．
4．（全国高二专题练习）已知圆C:，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是_________.
题型四：阿波罗尼斯圆（阿氏圆）
【例1】（2022·四川成都·高二开学考试（理））若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A．B．C．D．
【例2】（2022·陕西·模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．4
【例3】（2022·全国·高二单元测试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得
【题型专练】
1．（2022·河北保定·高二期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·宁夏·银川二中高一期中）已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足，则在O，A，M三点所能构成的三角形中面积的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022·四川南充·三模（理））正方形ABCD边长为3，P为正方形ABCD边界及内部的动点，且，则动点P的轨迹长度为______．
5．（2022·全国·高三专题练习（文））阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为____________.
6．（2022·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家阿波罗尼斯（Apllnius f Perga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为_________.
题型五：二次函数与圆的交汇问题
【例1】（2021·江苏·苏州中学高二多选题）已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（ ）
A．圆心在直线上B．的取值范围是
C．圆半径的最小值为D．存在定点，使得圆恒过点
【例2】（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.
【题型专练】
1．（2022·上海·高三专题练习）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为_______（其坐标与无关）
2.（2022·上海市七宝中学高三期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______
3.（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线与轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
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