2024八年级数学下册第五章分式与分式方程检测题（附答案北师大版）

这是一份2024八年级数学下册第五章分式与分式方程检测题（附答案北师大版），共6页。
第五章检测题(时间：120分钟　　满分：120分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列关于x的方程是分式方程的是( C )A． eq \f(2＋x,5) ＝ eq \f(3＋x,6)  B． eq \f(x,2) －3＝ eq \f(x,3)  C． eq \f(x－1,7＋x) ＝3 D． eq \f(3,5) x＝12．下列各式是最简分式的是( A )A． eq \f(1,a－b)  B． eq \f(b－a,b2－a2)  C． eq \f(2,6ab)  D． eq \f(ab－a2,a) 3．小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的( D )A． eq \f(9a2,4b)  B． eq \f(1,a－b)  C． eq \f(x2＋y2,x＋y)  D． eq \f(x2－2xy＋y2,x－y) 4．(2022·无锡)分式方程 eq \f(2,x－3) ＝ eq \f(1,x) 的解是( D )A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－35．能使分式 eq \f(|x|－1,x2－2x＋1) 的值为零的所有x的值是( B )A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝1或x＝－1 D．x＝2或x＝16．下列各式从左到右的变形中正确的是( A )A． eq \f(x－\f(1,2)y,\f(1,2)xy) ＝ eq \f(2x－y,xy)  B． eq \f(0.2a＋b,a＋2b) ＝ eq \f(2a＋b,a＋2b) C．－ eq \f(x＋1,x－y) ＝ eq \f(x－1,x－y)  D． eq \f(a＋b,a－b) ＝ eq \f(a－b,a＋b) 7．若( eq \f(4,a2－4) ＋ eq \f(1,2－a) )·w＝1，则w＝( D )A．a＋2 B．－a＋2 C．a－2 D．－a－28．(2022·宜宾)某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是( C )A． eq \f(540,x－2) － eq \f(540,x) ＝3 B． eq \f(540,x＋2) － eq \f(540,x) ＝3C． eq \f(540,x) － eq \f(540,x＋2) ＝3 D． eq \f(540,x＋2) － eq \f(540,x－2) ＝39．已知 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,2b) ＝3，则代数式 eq \f(2a－5ab＋4b,4ab－3a－6b) 的值为( D )A．3 B．－2 C．－ eq \f(1,3)  D．－ eq \f(1,2) 10．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x＋ eq \f(1,x) (x＞0)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 eq \f(1,x) ，矩形的周长是2(x＋ eq \f(1,x) )；当矩形成为正方形时，就有x＝ eq \f(1,x) (x＞0)，解得x＝1，这时矩形的周长2(x＋ eq \f(1,x) )＝4最小，因此x＋ eq \f(1,x) (x＞0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子 eq \f(x2＋9,x) (x＞0)的最小值是( C )A．2 B．1 C．6 D．10二、填空题(每小题3分，共18分)11．已知分式 eq \f(x－3,x2－5x＋a) ，当x＝2时，分式无意义，则a＝__6__．12．当a＝ eq \f(1,2) 时，代数式 eq \f(2a2－2,a－1) －2的值为__1__．13．(2022·济南)代数式 eq \f(3,x＋2) 与代数式 eq \f(2,x－1) 的值相等，则x＝__7__．14．我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水__ eq \f(4b,a2＋4a) __吨．15．(宿迁中考)为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是__120棵__．16．(2022·黑龙江)已知关于x的分式方程 eq \f(2x－m,x－1) － eq \f(3,1－x) ＝1的解是正数，则m的取值范围是__m＞4且m≠5___．三、解答题(共72分)17．(8分) 计算：(1)(2022·朝阳) eq \f(x2－4,x2－4x＋4) ÷ eq \f(x＋3,x2－2x) ＋ eq \f(x,x＋3) ；解：原式＝ eq \f(（x＋2）（x－2）,（x－2）2) · eq \f(x（x－2）,x＋3) ＋ eq \f(x,x＋3) ＝ eq \f(x2＋2x,x＋3) ＋ eq \f(x,x＋3) ＝ eq \f(x2＋3x,x＋3) ＝ eq \f(x（x＋3）,x＋3) ＝x(2)(重庆中考)(a－1－ eq \f(4a－1,a＋1) )÷ eq \f(a2－8a＋16,a＋1) .解：原式＝ eq \f(a2－1－4a＋1,a＋1) · eq \f(a＋1,（a－4）2) ＝ eq \f(a（a－4）,a＋1) · eq \f(a＋1,（a－4）2) ＝ eq \f(a,a－4) 18．(8分)解分式方程：(1) eq \f(5x－4,x－2) ＝ eq \f(4x＋10,3x－6) －1；解：无解(2) eq \f(3,2x＋1) － eq \f(2,2x－1) ＝ eq \f(x＋1,4x2－1) .解：去分母得6x－3－4x－2＝x＋1，解得x＝6，经检验，x＝6是分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝619．(6分)老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：(－ eq \f(x2－1,x2－2x＋1) )÷ eq \f(x,x＋1) ＝ eq \f(x＋1,x－1) ，求所捂部分化简后的结果．解：设所捂部分为A，则A＝ eq \f(x＋1,x－1) · eq \f(x,x＋1) ＋ eq \f(x2－1,x2－2x＋1) ＝ eq \f(x,x－1) ＋ eq \f(x＋1,x－1) ＝ eq \f(2x＋1,x－1) 20．(6分)(2022·郴州)先化简，再求值： eq \f(ab,a－b) ÷( eq \f(1,a＋b) ＋ eq \f(2b,a2－b2) )，其中a＝ eq \r(5) ＋1，b＝ eq \r(5) －1.解：原式＝ eq \f(ab,a－b) ÷ eq \f(a－b＋2b,（a＋b）（a－b）) ＝ eq \f(ab,a－b) · eq \f(（a＋b）（a－b）,a＋b) ＝ab，当a＝ eq \r(5) ＋1，b＝ eq \r(5) －1时，原式＝( eq \r(5) ＋1)( eq \r(5) －1)＝5－1＝421．(7分)小明解方程 eq \f(1,x) － eq \f(x－2,x) ＝1的过程如下：解：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝1.①去括号，得1－x－2＝1.②合并同类项，得－x－1＝1.③移项，得－x＝2.④解得x＝－2.⑤∴原方程的解为x＝－2.⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前缺少“检验”步骤．正确解法是：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x.去括号，得1－x＋2＝x.移项，得－x－x＝－2－1.合并同类项，得－2x＝－3.两边同除以－2，得x＝ eq \f(3,2) .经检验，x＝ eq \f(3,2) 是原方程的解．所以原方程的解是x＝ eq \f(3,2) 22．(7分)(2022·自贡)学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，由题意，得 eq \f(45,x) －2＝ eq \f(45,3x) ，解得x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解．答：张老师骑车的速度是15千米/小时23．(8分)先化简：( eq \f(2x2＋2x,x2－1) － eq \f(x2－x,x2－2x＋1) )÷ eq \f(x,x＋1) ，然后解答下列问题：(1)当x＝3时，求代数式的值；(2)原代数式的值能等于－1吗？为什么？解：原式＝[ eq \f(2x（x＋1）,（x＋1）（x－1）) － eq \f(x（x－1）,（x－1）2) ]· eq \f(x＋1,x) ＝( eq \f(2x,x－1) － eq \f(x,x－1) )· eq \f(x＋1,x) ＝ eq \f(x,x－1) · eq \f(x＋1,x) ＝ eq \f(x＋1,x－1) (1)当x＝3时，原式＝2(2)原代数式的值不能等于－1，理由：如果 eq \f(x＋1,x－1) ＝－1，那么x＋1＝－x＋1，∴x＝0.当x＝0时，除式 eq \f(x,x＋1) ＝0.∴原代数式的值不能等于－124．(10分)阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程 eq \f(a,x－1) ＋ eq \f(3,1－x) ＝1的解为正数，求a的取值范围？经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a－2.由题意可得a－2＞0，所以a＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：__小明没有考虑分式的分母不为0(或分式必须有意义)这个条件__．完成下列问题：(1)已知关于x的方程 eq \f(2mx－1,x＋2) ＝1的解为负数，求m的取值范围；(2)若关于x的分式方程 eq \f(3－2x,x－3) ＋ eq \f(2－nx,3－x) ＝－1无解．直接写出n的取值范围．解：(1)解关于x的分式方程，得x＝ eq \f(3,2m－1) ，∵方程有解，且解为负数，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1＜0，,\f(3,2m－1)≠－2，)) 解得m＜ eq \f(1,2) 且m≠－ eq \f(1,4) (2)分式方程去分母，得3－2x＋nx－2＝－x＋3，即(n－1)x＝2，由分式方程无解，得到x－3＝0，即x＝3，代入整式方程得n＝ eq \f(5,3) ；当n－1＝0时，整式方程无解，此时n＝1，综上，n＝1或n＝ eq \f(5,3) 25. (12分)(2022·呼和浩特)今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的 eq \f(2,3) ，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？解：(1)设去年每吨土豆的平均价格是x元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为(x＋200)元，第二次采购每吨土豆的平均价格为(x－200)元，由题意，得 eq \f(300000,x＋200) ×2＝ eq \f(500000,x－200) ，解得x＝2200，经检验，x＝2200是原分式方程的解，且符合题意，答：去年每吨土豆的平均价格是2200元(2)由(1)得：今年采购的土豆数量为： eq \f(300000,2200＋200) ×3＝375(吨)，设应将m吨土豆加工成薯片，则应将(375－m)吨加工成淀粉，由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥\f(2,3)（375－m），,\f(m,5)＋\f(375－m,8)≤60，)) 解得150≤m≤175，设总利润为y元，则y＝700m＋400(375－m)＝300m＋150000，∵300＞0，∴y随m的增大而增大，∴当m＝175时，ymax＝300×175＋150000＝202500，答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元