2024八年级数学下册第五章分式与分式方程单元测试卷（附答案北师大版）

这是一份2024八年级数学下册第五章分式与分式方程单元测试卷（附答案北师大版），共5页。
　分式与分式方程(时间：100分钟　　满分：120分)　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(每小题3分，共30分)1．若分式eq \f(3x,x－5)有意义，则x的取值范围是( A )A．x≠5 B．x≠－5 C．x＞5 D．x＞－52．(2023·凉山州)分式eq \f(x2－x,x－1)的值为0，则x的值是( A )A．0 B．－1 C．1 D．0或13．上复习课时，李老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了：eq \f(1,x)，eq \f(1,2)，eq \f(x2＋1,2)，eq \f(3xy,π)，eq \f(3,x＋y)，a＋eq \f(1,m)，其中正确的个数为( B )A．2 B．3 C．4 D．54．计算eq \f(m2,m－1)－eq \f(2m－1,m－1)的结果是( B )A．m＋1 B．m－1 C．m－2 D．－m－25．(2023·哈尔滨)方程eq \f(2,x)＝eq \f(3,x＋1)的解为( C )A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－26．若关于x的分式方程eq \f(m＋4,x－3)＝eq \f(3x,x－3)＋2有增根，则m的值为( D )A．2 B．3 C．4 D．57．若(eq \f(4,a2－4)＋eq \f(1,2－a))·w＝1，则w＝( C )A．a＋2(a≠－2) B．－a＋2(a≠2) C．－a－2(a≠±2) D．a－2(a≠2)8．(2023·宜昌)某校学生去距离学校12 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是( D )A．0.2 km/min B．0.3 km/min C．0.4 km/min D．0.6 km/min9．(2023·内江)用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是( D )A．eq \f(2640,2x)＝eq \f(2640,x)＋2 B．eq \f(2640,2x)＝eq \f(2640,x)－2C．eq \f(2640,2x)＝eq \f(2640,x)＋2×60 D．eq \f(2640,2x)＝eq \f(2640,x)－2×6010．关于x的分式方程eq \f(ax－3,x－2)＋1＝eq \f(3x－1,2－x)的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3y－2,2)≤y－1，,y＋2＞a))有解，则所有满足条件的整数a的值之和是( B )A．－5 B．－4 C．－3 D．－2二、填空题(每小题3分，共15分)11．分式eq \f(1,2x2y)与eq \f(1,3xy2)的最简公分母是__6x2y2__．12．(2023·宁夏)计算：eq \f(1,x－1)＋eq \f(3,x－1)＝__eq \f(4,x－1)__．13．如果a－b＝5，那么代数式(eq \f(a2＋b2,ab)－2)·eq \f(ab,a－b)的值是__5__．14．如果解关于x的分式方程eq \f(m,x－2)－eq \f(2x,2－x)＝1时出现增根，那么m的值为__－4__．15．(2023·眉山)关于x的方程eq \f(x＋m,x－2)－3＝eq \f(x－1,2－x)的解为非负数，则m的取值范围是__m≥－5且m≠－3__.三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16．(8分)计算：(1)(eq \f(5a,a＋1)－eq \f(2a,a－1))·eq \f(a2－1,a)；解：原式＝3a－7(2)(2023·大连)(eq \f(1,a＋3)＋eq \f(1,a2－9))÷eq \f(a－2,2a＋6).解：原式＝eq \f(2,a－3)17．(9分)解方程：(1)eq \f(1,x)＝eq \f(2,x＋3)；解：去分母，得x＋3＝2x，解得x＝3，检验：当x＝3时，x(x＋3)≠0，∴分式方程的解为x＝3(2)eq \f(x＋1,x－1)－eq \f(4,x2－1)＝1.解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)，解得x＝1.检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，∴x＝1是增根，∴原方程无解18．(9分)小明解方程eq \f(1,x)－eq \f(x－2,x)＝1的过程如下：解：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝1.①去括号，得1－x－2＝1.②合并同类项，得－x－1＝1.③移项，得－x＝2.④解得x＝－2.⑤∴原方程的解为x＝－2.⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前缺少“检验”步骤．正确解法如下：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x.去括号，得1－x＋2＝x.合并同类项、系数化为1，得x＝eq \f(3,2).经检验，x＝eq \f(3,2)是原分式方程的根．∴原方程的解为x＝eq \f(3,2)19．(9分)(2023·威海)先化简(a－eq \f(2a－1,a))÷eq \f(a2－1,a)，再从－3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值．解：原式＝eq \f(a2－2a＋1,a)÷eq \f(（a＋1）（a－1）,a)＝eq \f(（a－1）2,a)·eq \f(a,（a＋1）（a－1）)＝eq \f(a－1,a＋1)，要使分式有意义，则a≠0且a－1≠0且a＋1≠0，所以a不能为0，1，－1，又因为－3＜a＜3，所以a可以取2，当a＝2时，原式＝eq \f(2－1,2＋1)＝eq \f(1,3)20．(9分)(2023·宁夏)“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：eq \f(520,1.6x)＝eq \f(175,x)＋30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．乙：eq \f(520,x)＝1.6×eq \f(175,x－30)，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．则甲所列方程中的x表示__B型玩具的单价__，乙所列方程中的x表示__A型玩具的数量__．(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？解：(1)B型玩具的单价；A型玩具的数量　(2)设可购进A型玩具a个，则B型玩具(200－a)个，根据题意得8a＋5(200－a)≤1350，a≤116eq \f(2,3)，∴整数a的最大值是116，答：最多可购进A型玩具116个21．(10分)(2023·济南)某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？解：(1)设A型编程机器人模型单价是x元，则B型编程机器人模型单价是(x－200)元．根据题意，得eq \f(2000,x)＝eq \f(1200,x－200)，解得x＝500，经检验，x＝500是原方程的根，∴x－200＝300，答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元　(2)设购买A型编程机器人模型m台，则购买B型编程机器人模型(40－m)台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，由题意得40－m≤3m，解得m≥10，w＝500×0.8m＋300×0.8(40－m)，即w＝160m＋9600，∵160＞0，∴w随m的减小而减小．当m＝10时，w取得最小值11200，∴40－m＝30.答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元22．(10分)(2023·牡丹江)某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？(3)在(2)的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．解：(1)设A种家电每件的进价为x元，则B种家电每件的进价为(x＋100)元，根据题意得eq \f(10000,x)＝eq \f(12000,x＋100)，解得x＝500，经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意，∴x＋100＝500＋100＝600.答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元　(2)设购进A种家电a件，则购进B种家电(100－a)件，根据题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(500a＋600（100－a）≤53500，,a≤67，))解得65≤a≤67，又∵a为正整数，∴a可以为65，66，67，∴该商场共有3种购买方案，方案1：购进A种家电65件，B种家电35件；方案2：购进A种家电66件，B种家电34件；方案3：购进A种家电67件，B种家电33件　(3)设这10件家电中包含m件B种家电，则包含(10－m)件A种家电，当a＝65时，600×[65－(10－m)]＋750(35－m)－500×65－600×35＝5050，解得m＝eq \f(14,3)，∵m为正整数，∴m＝eq \f(14,3)不符合题意，舍去；当a＝66时，600×[66－(10－m)]＋750(34－m)－500×66－600×34＝5050，解得m＝eq \f(13,3)，∵m为正整数，∴m＝eq \f(13,3)不符合题意，舍去；当a＝67时，600×[67－(10－m)]＋750(33－m)－500×67－600×33＝5050，解得m＝4.答：这10件家电中包含4件B种家电23．(11分)观察下列等式：eq \f(1,1×2)＝1－eq \f(1,2)，eq \f(1,2×3)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)，eq \f(1,3×4)＝eq \f(1,3)－eq \f(1,4)，….将以上两个等式两边分别相加得：eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋eq \f(1,3×4)＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).用你发现的规律解答下列问题：(1)直接写出下列各式的计算结果：①eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋eq \f(1,3×4)＋…＋eq \f(1,2024×2025)＝__eq \f(2024,2025)__；②eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋eq \f(1,3×4)＋…＋eq \f(1,n（n＋1）)＝__eq \f(n,n＋1)__；(2)仿照题中的计算形式，猜想并写出：eq \f(1,n（n＋3）)＝__eq \f(1,3)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋3))__；(3)解方程：eq \f(1,x（x＋3）)＋eq \f(1,（x＋3）（x＋6）)＋eq \f(1,（x＋6）（x＋9）)＝eq \f(3,2x＋18).解：(3)仿照(2)中的结论，原方程可变形为eq \f(1,3)(eq \f(1,x)－eq \f(1,x＋3))＋eq \f(1,3)(eq \f(1,x＋3)－eq \f(1,x＋6))＋eq \f(1,3)(eq \f(1,x＋6)－eq \f(1,x＋9))＝eq \f(3,2x＋18)，即eq \f(1,x)－eq \f(1,x＋9)＝eq \f(9,2（x＋9）).解得x＝2.经检验，x＝2是原分式方程的解．故原方程的解为x＝2