2020-2021学年第五章 分式与分式方程综合与测试知识点教学设计

专题09 分式方程与应用

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重难突破

知识点一  分式方程的解法

1、分式方程

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

特征：分母中含有未知数.

注意：

整式方程与分式方程的异同点：

①都是方程，都含有未知数；

②整式方程中的未知数一定不在分母中出现，而分式方程中的分母中一定含有未知数；

2、解分式方程的一般步骤

(1)去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

(2)解整式方程，得到整式方程的解；

(3)检验：将整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母等于0的解是原分式方程的增根，使最简公分母不等于0的解是原分式方程的根．

典例1

(2019春•宝安区期末)解方程：．

【解答】解：去分母得：，

解得：，

经检验是分式方程的解．

典例2

(2019春•成华区期末)分式方程的解为　　

A． B． C．无解 D．

【解答】解：去分母得：，

整理得：

解得：，

检验：把代入，

所以分式方程的无解．

故选：．

典例3

(2019春•简阳市 期末)已知关于的分式方程的解是负数，求的取值范围．

【解答】解：分式方程，

去分母得：，

解得：，

由分式方程的解为负数，得到且，

解得：且．

知识点二  方程增根、无解问题  

1、增根：使原分式方程的分母为零的根叫分式方程的增根.

2、增根产生的原因，解分式方程的第一步是“去分母”，而在分式中当分母的值为0时，分式无意义，所以在分式方程中，未知数的值不能使分母为0，即分式方程本身就隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，这个限制条件取消了，未知数允许值的范围扩大了，如果转化后的方程的根恰好是原方程未知数允许值范围之外的值，那么这个值就是原方程的增根.

注意：分式方程的增根必须满足两个条件：

①增根使最简公分母为0；②增根是分式方程化成的整式方程的根.

3、无解

（1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x=1”的形式，即整式方程无解；

（2）整式方程求得的根使得原分式方程的最简公分母等于0，即求得的根为增根.

典例1

(2019春•光明区期末)若关于的分式方程有增根，则的值为　  　．

【解答】解：原分式方程变形为，

分式方程有增根，

，为增根，

将代入上式，

，

．

故答案为3．

典例2

(2019春•龙岗区期末)，若方程无解，求的值．

【解答】解：，

方程两边同时乘以得：，

整理得：，

当时，该方程无解，此时；

当时，若方程无解，则原方程有增根，

原分式方程有增根，

，

解得：或，

当时，；当时，，

的值为或或．

知识点三  分式方程应用题  

解分式方程应用题的一般步骤：

（1）审：审清题意，弄清已知量和未知量的关系；

（2）找：找出题目中的等量关系；

（3）设：根据题意设出未知数；

（4）列：列出分式方程；

（5）解：解这个分式方程；

（6）验：检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际意义；

（7）答：写出答案.

典例1

(2019春•金牛区期末)施工队要铺设2000米的下水管道，因在中考期间需停工3天，每天要比原计划多施工40米才能按时完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：设原计划每天施工米，

根据题意，可列方程：，

故选：．

典例2

(2019春•成华区期末)某公司计划购买，两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同．

(1)求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；

(2)该公司计划采购，两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？

【解答】解：(1)设型机器人每小时搬运千克材料，则型机器人每小时搬运千克材料，

根据题意，得，

解得．

经检验，是所列方程的解．

当时，．

答：型机器人每小时搬运150千克材料，型机器人每小时搬运120千克材料；

(2)设购进型机器人台，则购进型机器人台，

根据题意，得，

解得．

是整数，

．

答：至少购进型机器人14台．

巩固训练

一、单选题(共6小题)

1．(2019春•简阳市 期末)解分式方程，去分母得　　

A． B． C． D．

【解答】解：分式方程整理得：，

去分母得：，

故选：．

2．(2018•成都)分式方程的解是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

去分母，方程两边同时乘以得：

，

，

，

经检验，是原分式方程的解，

故选：

3．(2019春•历下区期末)关于的分式方程有增根，则的值为　　

A． B． C．0 D．2

【解答】解：分式方程去分母得：，

由分式方程有增根，得到，即，

把代入整式方程得：，

故选：．

4．(2019春•碑林区校级期末)若关于的分式方程无解，则的值为　　

A． B．2 C．或2 D．或

【解答】解：去分母得：，

整理得：，

由分式方程无解，得到或，

解得：或，

故选：．

5．(2019春•武侯区期末)武侯区某学校计划选购甲，乙两种图书为“初中数学分享学习课堂之生讲生学”初赛的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书少10本，设乙种图书的价为元，依据题意列方程正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意可得，

，

故选：．

6．(2019春•龙华区期末)龙华区某校改造过程中，需要整修校门口一段全长的道路．为了保证开学前师生进出不受影响，实际工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．若设原计划每天整修道路米，根据题意可得方程　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：设原计划每天整修道路米，根据题意可得方程：

．

故选：．

二、填空题(共5小题)

7．(2019春•温江区期末)方程的根为　   　．

【解答】解：去分母得：，

解得：，

经检验是分式方程的解，

故答案为：

8．(2020•顺德区模拟)方程的解　  　．

【解答】解：去分母得：，

解得：，

经检验是分式方程的解，

故答案为：

9．(2019春•莲湖区期末)若关于的方程的解为正数，则的取值范围是　   　．

【解答】解：由得

解为正数

当时，，

检验：当时，

为原方程的增根

故答案为且．

10．(2019春•罗湖区期末)已知关于的方程会产生增根，则　  　．

【解答】解：去分母得：，

由分式方程有增根，得到，即，

把代入整式方程得：，

解得：，

故答案为：4

11．轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是　    　千米时．

【解答】解：设船在静水中的速度是千米时．

则：．

解得：．

经检验，是原方程的解．

三、解答题(共2小题)

12．(2019•济南二模)解方程：

【解答】解：原方程可变为：，

方程两边同乘，得，

解得：，

检验：当时，，

原方程的解为．

13．(2019春•南山区期末)南山区某道路供水、排水管网改造工程，甲工程队单独完成任务需40天，若乙队先做30天后，甲乙两队一起合作20天就恰好完成任务．请问：

(1)乙队单独做需要多少天才能完成任务？

(2)现将该工程分成两部分，甲队用了天做完其中一部分，乙队用了天做完另一部分，若、都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么，两队实际各做了多少天？

【解答】解：(1)设乙工程队单独做需要天完成任务，由题意，得

，

解得：，

经检验，是原方程的根．

答：乙工程队单独做需要100天才能完成任务；

(2)根据题意得．

整理得．

，

．

解得．

又且为整数，

或14．

当时，不是整数，所以不符合题意，舍去．

当时，．

答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天．