2020北京密云高一（上）期末数学（教师版）

这是一份2020北京密云高一（上）期末数学（教师版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020北京密云高一（上）期末
数 学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，﹣3}，则集合M∩N中元素的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（5分）函数f（x）＝cos2x的最小正周期为（　　）
A． B．π C．2π D．4π
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x3 C．y＝cosx D．y＝ln|x|
4．（5分）命题“∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＞0”的否定为（　　）
A．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＜0
B．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6≤0
C．
D．
5．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如表对应值表：
x
1
2
3
4
f（x）
6.1
﹣2.9
﹣3.5
﹣1
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，+∞）
6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y＝2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（　　）

A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位
B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位
C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
7．（5分）定义域均为R的两个函数f（x），g（x），“f（x）+g（x）为偶函数”是“f（x），g（x）均为偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知函数关于x的方程f（x）＝m，m∈R．有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（　　）
A．（0，+∞） B． C． D．（1，+∞）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）＝　 　．
10．（5分）函数y＝x++2（x＞0）的最小值为　 　．
11．（5分）函数的定义域是　 　．
12．（5分）给出下列三个论断：①a＞b；②；③a＜0且b＜0．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：　 　．
13．（5分）若函数为奇函数，则k＝　 　．
14．（5分）里氏震级M的计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为　 　级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的　 　倍．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（13分）已知集合M＝{x|﹣2＜x≤3}，N＝{x|x≤a}．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求M∩N，M∪N；
（Ⅱ）当a＝4时，求M∩N，M∪N；
（Ⅲ）当M∩N＝∅时，求a的取值范围．
16．（13分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为．
（Ⅰ）求和sin2α的值；
（Ⅱ）求的值．
17．（13分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x．现已画出函数f（x）在y轴右侧的图象，如图所示．
（Ⅰ）画出函数f（x）在y轴左侧的图象，根据图象写出函数f（x）在R上的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅲ）解不等式xf（x）＜0．

18．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点．
19．（14分）已知函数f（x）＝﹣x2+mx+1，m∈R．
（Ⅰ）当m＝2时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函数h（x）＝f（x）+2x为偶函数，求m的值；
（Ⅲ）设函数，若对任意x1∈[1，2]，总有x2∈[0，π]，使得g（x2）＝f（x1），求m的取值范围．
20．（13分）对于正整数集合A＝{a1，a2，……，an}（n∈N*，n≥3），如果任意去掉其中一个元素ai（i＝1，2，……，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}和{1，3，5，7，9，11，13}是否是“可分集合”（不必写过程）；
（Ⅱ）求证：五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”；
（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，……，an}（n∈N*，n≥3）是“可分集合”．
①证明：n为奇数；
②求集合A中元素个数的最小值．

2020北京密云高一（上）期末数学
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．【答案】B
【分析】由M与N，求出两集合的交集即可得到结论．
【解答】解：因为集合M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，﹣3}，
则集合M∩N＝{1}；
故交集中只有1个元素；
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．【答案】B
【分析】根据三角函数的周期公式进行计算即可．
【解答】解：函数的周期T＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的周期的计算，根据三角函数的周期公式是解决本题的关键．
3．【答案】D
【分析】结合基本初等函数的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：根据指数函数的性质可知，y＝2x不是偶函数；
根据幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；
由余弦函数的性质可知，y＝cosx在（0，+∞）上不单调；
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．
4．【答案】C
【分析】原命题是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由全称命题的否定方法，我们易得到答案．
【解答】解：因为命题“∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＞0”为全称命题；
故其否定为：∃x0＜0，﹣x02+5x0﹣6≤0．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，对命题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，￢P（X）”；对命题“∀x∈A，P（X）”的否定是：“∃x∈A，￢P（X）”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是特称命题．
5．【答案】A
【分析】由图表中的数据可得f（1）•f（2）＜0，再由定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，结合函数零点判定定理得答案．
【解答】解：由图表可知，f（1）＞0，f（2）＜0，f（3）＜0，f（4）＜0，
得f（1）•f（2）＜0，
又定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，
∴由函数零点判断定理可得，函数f（x）一定存在零点的区间是（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．
6．【答案】C
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）＝Asin（ωx+φ），
可得A＝2，＝﹣，∴ω＝2．
再根据五点法作图可得2×+φ＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝2sin（2x﹣），
故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y＝2sin（2x+﹣）＝2sin2x的图象，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y＝2sinx函数的图象，
故选：C．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
7．【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行结合函数奇偶性的定义进行判断即可．
【解答】解：若“f（x），g（x）均为偶函数“，则有
f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝g（x），
所以h（x）＝f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）+g（x）＝h（x），
所以“h（x）为偶函数“，
反之取f（x）＝x2+x，g（x）＝2﹣x，h（x）＝x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数的奇偶性的性质是解决本题的关键．
8．【答案】B
【分析】作出函数图象，数形结合即可．
【解答】解：作函数f（x）的图象如图：
结合图象可知，x1+x2＝﹣2，﹣log2x3＝log2x4，故x3x4＝1，
根据题意，m∈（0，1），则log2x4∈（0，1），故x4∈（1，2），
则x1+x2+x3+x4＝﹣2+x4+，
根据对勾函数y＝x+在（1，2）上单调递增，
故x1+x2+x3+x4＝﹣2+x4+在（1，2）上单调递增，
所以x1+x2+x3+x4＝﹣2+x4+∈（0，），
故选：B．

【点评】本题考查了函数零点与方程解得关系，考查数形结合思想，对勾函数性质，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．【答案】见试题解答内容
【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可求．
【解答】解：＝3+1+2＝6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查了指数与对数的基本运算，属于基础试题．
10．【答案】见试题解答内容
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，
∴函数y＝x++2≥2+2＝2×2+2＝6
当且仅当x＝，x＞0，即x＝2时，上式取等号．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求函数在给定区域上的最小值，属于基础题．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】根据正切函数的定义与性质，列不等式求出x的取值范围．
【解答】解：函数中，
令x﹣≠kπ+，k∈Z，
解得x≠kπ+，k∈Z；
所以函数y的定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}．
故答案为：{x|x≠kπ+，k∈Z}．
【点评】本题考查了正切函数的定义与应用问题，是基础题．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式的关系，结合命题关系进行判断即可．
【解答】解：若①a＞b；③a＜0且b＜0，
则0＞a＞b，则②成立，
即真命题为：若a＞b，a＜0且b＜0，则，
若；a＜0且b＜0，则a＞b成立，
即；a＜0且b＜0，则a＞b是真命题，
故答案为：若a＞b，a＜0且b＜0，则，或者若，a＜0且b＜0，则a＞b．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．难度不大．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】若0不在定义域内，即1+k＝0；若定义域内有0，则f（0）＝0，代入即可求解．
【解答】解：因为为奇函数，
若0不在定义域内，即1+k＝0，此时f（x）＝﹣符合题意，
若定义域内有0，根据奇函数的性质可知f（0）＝＝0，
故k＝1，此时f（x）＝，
f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），满足题意．
故答案为：1或﹣1．
【点评】本题主要考查了奇函数性质的简单应用，属于基础试题．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意中的假设，可得M＝lgA﹣lgA0＝lg1000﹣lg0.001＝6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9＝lgx+3，5＝lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．
【解答】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，
则M＝lgA﹣lgA0＝lg1000﹣lg0.001＝3﹣（﹣3）＝6．
设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，
9＝lgx+3，5＝lgy+3，解得x＝106，y＝102，
∴．
故答案为：6，10000．
【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据a的值，求出N，进而求解前两问；根据M与N的交集为∅，即可求得结论．
【解答】解：因为集合M＝{x|﹣2＜x≤3}，N＝{x|x≤a}．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，N＝{x|x≤﹣1}；
∴M∩N＝（﹣2，﹣1]，M∪N＝（﹣∞，3]；
（Ⅱ）当a＝4时，N＝{x|x≤4}；
∴M∩N＝（﹣2，3]，M∪N＝（﹣∞，4]；
（Ⅲ）当M∩N＝∅时，须有a≤﹣2；
即a的取值范围是：（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题主要考查了交集，并集及其运算，熟练掌握交集，并集的定义是解本题的关键．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosα的值，再由两角和的余弦及二倍角的正弦求解和sin2α的值；
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，|OP|＝1，则sinα＝，cos．
∴＝＝，
sin2α＝2sinαcosα＝2×＝；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，tanα＝，
则＝＝．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
17．【答案】见试题解答内容
【分析】（I）结合已知及偶函数的图象关于y轴对称性质可求；
（II）由已知函数解析式及偶函数的定义可求；
（III）结合函数的图象即可直接求解．
【解答】解：（I）根据偶函数的图象关于y轴对称可得图象如图所示；
结合图象可得函数f（x）的单调增区间[﹣2，0]，（2，+∞），减区间（﹣∞，﹣2），（0，2）；
（II）因为x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，
根据偶函数的对称性可知，当x＜0时f（x）＝x2+4x，
故f（x）＝；
（III）由xf（x）＜0可得或，
结合图象可得，0＜x＜4或x＜﹣4，
故不等式的解集为{x|0＜x＜4或x＜﹣4}．

【点评】本题主要考查了利用偶函数的对称性求解函数的单调性，求解函数解析式及不等式的求解，属于中档试题．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间和最小正周期．
（Ⅱ）利用函数和方程之间的转换的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）函数＝＝．
所以函数的最小正周期为．
令，解得，所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．
令，解得：，所以函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（Ⅱ）由于f（x）＝，
所以的解为：或（k∈Z），解得：{x|x＝}（k∈Z）．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）代入m的值，求出函数的最大值即可；
（Ⅱ）根据偶函数图象关于y轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得m的值；
（Ⅲ）求解f（x）的值域M和g（x）的值域N，可得M⊆N，即可求解实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）m＝2时，f（x）＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
故f（x）的最大值是2；
（Ⅱ）函数h（x）＝f（x）+2x＝﹣x2+（m+2）x+1，为偶函数，
可得m+2＝0，
可得m＝﹣2
即实数m的值为﹣2；
（Ⅲ）g（x）＝2sin（x+）．
∵x∈[0，π]，
∴x+∈[，]，
那么g（x）的值域N＝[﹣1，2]．
当x1∈[1，2]时，总有x2∈[0，π]，使得g（x2）＝f（x1），
转化为函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集；
即：当x∈[1，2]时，﹣1≤f（x）≤2
函数f（x）＝﹣x2+mx+1，
其对称轴x＝，
当≤﹣1时，即m≤﹣2，可得f（x）min＝f（2）＝2m﹣3；f（x）max＝f（﹣1）＝﹣m；
此时无解．
当﹣1＜≤2时，即﹣2＜m≤4可得f（x）max＝f（）＝+1；f（x）min＝2m﹣3或m；
可得：1≤m≤2
当＞2时，即m＞4，可得f（x）min＝f（﹣1）＝﹣m；f（x）max＝f（2）＝2m﹣3；
此时无解．
综上可得实数m的取值范围为[1，2]．
【点评】本题主要考查三角函数的化简，图象即性质的应用，二次函数的最值问题．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据定义直接判断即可得到结论；
（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若去掉的元素为a2，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；若去掉的元素为a1，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）①设集合A＝{a1，a2，…，an}所有元素之和为M，由题可知，M﹣ai（i＝1，2，…，n） 均为偶数，因此ai（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数．分类讨论M为奇数和 M为偶数的情况，分析可得集合A中元素个数n为奇数；②结合（Ⅰ）（Ⅱ）问，依次验证当n＝3时，当n＝5时，当n＝7时集合A是否为“可分集合”，从而证明结论．
【解答】解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“可分集合”，集合{1，3，5，7，9，11，13}是“可分集合”；
（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
若去掉的元素为a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；
若去掉的元素为a1，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④．
由①、③，得a1＝a2，矛盾；由①、④，得a1＝﹣a2，矛盾；
由②、③，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、④，得，a1＝a2矛盾．
因此当n＝5时，集合 一定不是“可分集合”；
（Ⅲ）①设集合A＝{a1，a2，…，an}的所有元素之和为M．
由题可知，M﹣ai（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此ai（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数．
如果M为奇数，则M﹣ai（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+an，所以n为奇数．
如果M为偶数，则M﹣ai（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设ai＝2bi，则{b1，b2，…，bn}也是“可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合A中元素个数n为奇数．
综上所述，集合A中元素个数为奇数．
②当n＝3时，显然任意集合{a1，a2，a3}不是“可分集合”．
当n＝5时，第（Ⅱ）问已经证明集合A＝{a1，a3，a4，a5}不是“可分集合”．
当n＝7时，集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，因为：
3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，9+13＝1+3+7+11，1+3+5+11＝7+13，
1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，
则集合A是“可分集合”．
所以集合A中元素个数n的最小值是7．
【点评】本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于难度较高的创新题．