（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题4.3 对数函数（重难点突破）原卷版+解析

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专题4.3 对数函数一、考情分析二、考点梳理考点一 对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质三、题型突破(一) 对数函数的概念与图像例1、（2023·上海·高一课时练习）已知，且，函数与的图象只能是下图中的（ ）A． B． C． D．（2）．（2023·福建厦门市·厦门外国语学校）若函数的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是（ ）A． B．C． D．【变式训练1-1】、（2023·上海·高一专题练习）函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ）A． B．C．D．【变式训练1-2】、函数y＝|lg（x+1）|的图象是（　　）A． B． C． D．例2．（1）、图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，（2）、计算：＋log2(log216)＝________.【变式训练2-1】．（2023·浙江高一单元测试）已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（ ）．A． B．C． D．(二)、 比较大小例3．（1）、（2022·浙江湖州高一期中）下列各式中错误的是（ ）A． B．C． D．（2）、（2023·江西高三月考（文））已知，，，则，，的大小关系为（ ）．A． B．C． D．【变式训练3-1】．（2023·江苏·扬州中学高三月考）设a=e0.01，b=logπe，c=ln，则（ ）A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【变式训练3-2】．（2023·全国高三月考（理））已知，，，则（ ）A． B． C． D．、对数函数过定点问题例4.（1）、（2023·上海·高一专题练习）函数（且）恒过定点为 _________.（2）、（2023·镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（ ）A． B． C． D．【变式训练4-1】．（2023·福建厦门市·厦门外国语学校）已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【变式训练4-2】．（2023·渤海大学附属高级中学）(多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ）A． B．C． D．(四) 、有关对数函数奇偶性问题例5．（2023·云南省下关第一中学高二月考）设函数，则关于的不等式的解集是（ ）A． B．C． D．【变式训练5-1】．（2022·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A． B． C． D．(五) 、有关对数函数定义域问题例6．（1）、函数y＝的定义域为(　　)A．(－∞，2)　　　　　　　 B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)（2）、（2023·江苏·高二月考）函数的定义域为（ ）A． B．C． D．（3）．（2023·上海市行知中学高三月考）函数的定义域是_________．【变式训练6-1】．（2023·北京市陈经纶中学高三开学考试）函数的定义域为_______.【变式训练6-2】．（2023·乾安县第七中学（文））若函数的定义域为，则实数的取值范围是________(六) 、对数型复合函数的单调性问题与最值问题例7．（1）、（2023·丽水外国语实验学校高一月考）已知函数.（1）求函数的定义域及值域；（2）求函数的单调递增区间.（2）、（2023·贵州师大附中高一开学考试）已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为-2，求实数的值.【变式训练7-1】．（2023·江苏省盱眙中学高一月考）已知函数．（1）求函数的最小值；（2）求时的值．【变式训练7-2】．（2023·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知函数.(1)当时,求；(2)求解关于的不等式；(3)若恒成立,求实数的取值范围.例8．（2022·内蒙古集宁一中高三月考）已知(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求使的的取值范围．【变式训练8-1】．（2022·浙江高一期中）已知函数．（Ⅰ）若，求函数的定义域和值域；（Ⅱ）若函数的定义域为，值域为，求实数的值．【变式训练8-2】．（2023·昭通市昭阳区第二中学高一期末）已知函数，．（1）若过定点，求的定义域；（2）若值域为，求的取值范围．(七) 、对数型复合函数的实际应用例9．（2023·江苏省西亭高级中学高三期中）交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”.该办法已于2020年4月开始施行.通常我们以分贝为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：.若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（ ）A．4 B．100 C．40000 D．10000【变式训练9-1】．（2022·上海）“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的实数，当时，该地区收入均衡性最为稳定.（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）.a>101时，y>0；当01时，y<0；当00在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数专题4.3 对数函数一、考情分析二、考点梳理考点一 对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质三、题型突破(一) 对数函数的概念与图像例1、（2023·上海·高一课时练习）已知，且，函数与的图象只能是下图中的（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的图象与的图象关于轴对称，函数的图象与的图象关于直线对称，即可判断．【详解】当时，函数与的大致图象如图所示：当时，函数与的大致图象如图所示：根据题意，所以正确的是B．故选：B．【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象的理解和应用，属于容易题．（2）．（2023·福建厦门市·厦门外国语学校）若函数的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的图象经过点(4，2)可求出的值，把的值代入函数的解析式，从而根据函数的定义域及单调性排除选项.【详解】由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，所以a＝.所以，因为函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，所以排除选项A，B，C.故选：D.【变式训练1-1】、（2023·上海·高一专题练习）函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ）A． B．C．D．【答案】B【分析】分别讨论和时函数与在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解.【详解】由对数和指数函数的性质可得且，当时，过点在上单调递减，过点在单调递减，所以排除选项C，当时，过点在上单调递增，过点在单调递增，所以排除选项AD，故选：B.【变式训练1-2】、函数y＝|lg（x+1）|的图象是（　　）A． B． C． D．【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项【答案】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1，0），故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选：A．例2．（1）、图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数的图象，由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，由取，，，四个值，故，，，的值依次为，，，，故选：．（2）、计算：＋log2(log216)＝________.【答案】：【解析】：原式＝＋log24＝＋2＝.【变式训练2-1】．（2023·浙江高一单元测试）已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（ ）．A． B．C． D．【答案】AD【解析】∵，∴若，则，即．∴，故A正确．，故D正确．若，则，∴，，故BC错误， 故选：AD(二)、 比较大小例3．（1）、（2022·浙江湖州高一期中）下列各式中错误的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】A、∵y＝3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；B、∵y＝log0.5x，在上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确；C、∵y＝0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；D、∵，在上为增函数，∵，∴，故D正确.故选：C．（2）、（2023·江西高三月考（文））已知，，，则，，的大小关系为（ ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.【详解】∵，，，∴．故选：C.【变式训练3-1】．（2023·江苏·扬州中学高三月考）设a=e0.01，b=logπe，c=ln，则（ ）A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【答案】B【分析】判断出a、b、c与0和1的大小关系，进行比较.【详解】因为，所以.故选：B【变式训练3-2】．（2023·全国高三月考（理））已知，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质借助中间值即可比较【详解】因为，，，又由于，所以.故选：D.、对数函数过定点问题例4.（1）、（2023·上海·高一专题练习）函数（且）恒过定点为 _________.【答案】【分析】根据，直接求定点.【详解】由函数，可知当时，.所以函数恒过点.故答案为：（2）、（2023·镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用真数为可求得定点的坐标.【详解】对于函数，令，可得，则，因此，函数的图象过定点.故选：C.【变式训练4-1】．（2023·福建厦门市·厦门外国语学校）已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】先求得函数且的定点，再根据点在幂函数的图象上，求得幂函数的解析式即可.【详解】令，得，所以函数且的图像恒过定点，设幂函数为，因为点在幂函数的图象上，所以，解得，所以，故选：B【变式训练4-2】．（2023·渤海大学附属高级中学）(多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】先判断函数图象恒过的定点A，再逐一判断选项函数是否过该定点A即可.【详解】令，得，即函数的图象恒过点．选项A中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；选项B中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；选项C中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；选项D中，函数，令，得，此时函数图象不过点，不满足题意．故选:ABC．(四) 、有关对数函数奇偶性问题例5．（2023·云南省下关第一中学高二月考）设函数，则关于的不等式的解集是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】确定函数的奇偶性与单调性，然后由函数的奇偶性与单调性解不等式．【详解】函数定义域是，即，，函数为偶函数，又时，，其中在是递减，也递减，因此在是递减，不等式化为，所以，解得或．故选：C．【变式训练5-1】．（2022·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.(五) 、有关对数函数定义域问题例6．（1）、函数y＝的定义域为(　　)A．(－∞，2)　　　　　　　 B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)【答案】C【解析】：选C　根据题意得 解得x>2且x≠3，故选C.（2）、（2023·江苏·高二月考）函数的定义域为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据偶次方根的被开方数非负、对数的真数大于零，以及对数函数的性质解得即可；【详解】解：因为，所以，即，所以，解得，即函数的定义域为故选：C（3）．（2023·上海市行知中学高三月考）函数的定义域是_________．【答案】【分析】根据函数解析式，列出不等式组，从而可得答案.【详解】解：因为，所以，解得，所以函数的定义域为.故答案为：【变式训练6-1】．（2023·北京市陈经纶中学高三开学考试）函数的定义域为_______.【答案】【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来.【详解】解：要使函数有意义，则，，所以，或，解得或，因此，函数的定义域是.故答案为：.【变式训练6-2】．（2023·乾安县第七中学（文））若函数的定义域为，则实数的取值范围是________【答案】【分析】根据函数的定义域为，转化为，对恒成立求解.【详解】因为函数的定义域为，所以，对恒成立，当时，解得，不成立，当时，由，解得，综上：实数的取值范围是.故答案为：(六) 、对数型复合函数的单调性问题与最值问题例7．（1）、（2023·丽水外国语实验学校高一月考）已知函数.（1）求函数的定义域及值域；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）定义域为，值域为；（2）增区间为，减区间为.【分析】（1）由题意利用对数函数的性质，求得函数的定义域.（2）由题意利用复合函数的单调性，二次函数､对数函数的性质，求得函数的增区间和减区间.【详解】（1）由函数，可得，求得，可得函数的定义域为.令，故当时，t取得最大值为4，故的最大值为.当t趋于零时，趋于，故函数的值域为.（2）由于二次函数t的图象的对称轴为，定义域为，故函数的增区间，即函数t的增区间为，函数的减区间，即函数t的减区间为.（2）、（2023·贵州师大附中高一开学考试）已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为-2，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据对数函数的知识列不等式组，由此求得的定义域.（2）对进行分类讨论，求得的最值，由此列方程求得的值.【详解】（1）由得,所以函数的定义域为.（2），设，所以，又，则当时，，值域为当时，，值域为.所以当时，函数有最小值，解得【变式训练7-1】．（2023·江苏省盱眙中学高一月考）已知函数．（1）求函数的最小值；（2）求时的值．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）令，化简得到y＝t2+3t+2，根据二次函数的单调性得到最值.（2）直接得到方程，先求出的值，进而可以求出结果.【详解】（1）∵令，则，根据二次函数的性质可知，当即时，函数取得最小值（2）∵，即，∴或∴或【变式训练7-2】．（2023·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知函数.(1)当时,求；(2)求解关于的不等式；(3)若恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）当时， （2）由得：或当时，解不等式可得：或当时，解不等式可得：或综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为（3）由得：或①当时，，或，解得：②当时，，或，解得：综上所述：的取值范围为例8．（2022·内蒙古集宁一中高三月考）已知(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求使的的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得00，则0<<1，解得－1101时，y>0；当01时，y<0；当00在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数