（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题4.2 指数函数（课时训练）原卷版+解析

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专题4.2 指数函数A组 基础巩固1．（2023·上海金山·高一期末）函数的值域为________.2．（2023·上海市第二中学高一月考）函数在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则实数的值是_____3．（2023·上海·高一专题练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是_________．4．（2023·上海·曹杨二中高一月考）已知函数是R上的严格增函数，则的取值范围是_____.5．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一月考）若是奇函数，且，当时，，则的解集是____________.6．（2023·上海市曹杨中学高一月考）函数的值域为_______.7．（2023·上海·高一单元测试）已知函数，则该函数的单调递增区间是______________.8．（2023·上海·高一专题练习）不等式的解集为_____9．（2022·上海·高三专题练习）已知函数（，）是实数集上的增函数，则实数的取值范围为________10．（2023·上海·高一专题练习）若函数，则的值为________.11．（2023·上海·高一专题练习）在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ）A． B． C． D．12．（2023·江苏·高一课时练习）函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．13．（2023·江苏·沭阳如东中学高三月考）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，3） B．[﹣2，3） C．[﹣2，+∞） D．（﹣2，3）14．（2023·江苏·高一课时练习）已知函数则（ ）A．1 B．2 C． D．15．（2023·江苏·高一专题练习）函数的定义域和值域分别为（ ）A．， B．，C．， D．，16．（2023·江苏·西安交大苏州附中高一月考）函数的定义域为（ ）A． B． C． D．17．（2023·江苏省板浦高级中学高一期末）函数的定义域为（ ）A． B． C． D．18．（2023·江苏·沭阳县修远中学高一月考）已知函数，且，，为常数）的图象恒过点，则　　A．5 B．4 C．3 D．2B组 能力提升19．（2023·江苏·高一课时练习）求函数y＝的定义域与值域.20．（2023·江苏·高一课时练习）对于函数.（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间.21．（2023·江苏南京·高一月考）已知函数（1）当为何值时，为奇函数；（2）求证：为上的增函数.22．（2023·江苏·南京市第十三中学高一月考）若函数．（1）判断函数的单调性并且用定义法证明；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．23．（2023·江苏·高一单元测试）设函数（1）若函数的图象关于原点对称，函数，求满足的的值；（2）若函数在的最大值为，求实数a的值.24．（2023·上海·上外浦东附中高一期末）已知函数（1）当，时，解关于的方程；（2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式；（3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值．25．（2023·上海·高一专题练习）求函数的单调区间及值域.26．（2023·上海·高一专题练习）已知，求函数的最大值27．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）已知a>1，函数.（1）判断函数f(x)奇偶性，并加以证明；（2）求证：函数f(x)是增函数.28．（2023·上海市西南位育中学高一期末）已知.（1）求证函数是奇函数：（2）判断函数的单调性并证明.29．（2023·上海·高一专题练习）已知，求函数的最值．专题4.2 指数函数A组 基础巩固1．（2023·上海金山·高一期末）函数的值域为________.【答案】【分析】根据指数函数的性质确定的范围，进而确定值域即可.【详解】由指数函数的性质知：，∴.故答案为：2．（2023·上海市第二中学高一月考）函数在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则实数的值是_____【答案】或【分析】根据指数函数的单调性分类讨论，列方程求解a.【详解】若，则函数在区间[1,2]上单调递减，根据题意有，解得或0（舍去），所以；若，则函数在区间[1,2]上单调递增，根据题意有，解得或0（舍去），所以.综上所述，或.故答案为：或3．（2023·上海·高一专题练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是_________．【答案】【分析】首先根据复合函数单调性法则，得到在上是减函数，根据二次函数图象的对称轴的位置关系得到参数的取值范围.【详解】因为，所以是上的减函数，要使函数在上是严格增函数，则一定有在上是减函数，因为二次函数的对称轴为，所以，即实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关根据复合函数在某个区间上的单调性求参数取值范围的问题，正确解题的关键是理解复合函数单调性法则以及二次函数单调区间与对称轴的关系.4．（2023·上海·曹杨二中高一月考）已知函数是R上的严格增函数，则的取值范围是_____.【答案】【分析】由解得结果即可得解.【详解】依题意可得，解得.故答案为：5．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一月考）若是奇函数，且，当时，，则的解集是____________.【答案】【分析】分析出以及函数在、上的单调性，分和两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.【详解】由于函数是定义在上的奇函数，则，当时，，则，，所以，函数在上为增函数，由可得；当时，由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，由可得.综上所述，不等式的解集是.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.6．（2023·上海市曹杨中学高一月考）函数的值域为_______.【答案】【分析】根据可求出.【详解】，，，的值域为.故答案为：.7．（2023·上海·高一单元测试）已知函数，则该函数的单调递增区间是______________.【答案】【分析】根据复合函数的单调性的性质进行求解即可.【详解】指数函数是实数集上的单调减函数，因为，所以该二次函数的对称轴为，所以该二次函数单调递减区间是，因此函数，则该函数的单调递增区间是.故答案为：8．（2023·上海·高一专题练习）不等式的解集为_____【答案】；【分析】由指数函数的单调性可转化条件为，解一元二次不等式即可得解.【详解】因为，函数在R上单调递减，所以，解得或，所以原不等式的解集为.故答案为：.9．（2022·上海·高三专题练习）已知函数（，）是实数集上的增函数，则实数的取值范围为________【答案】【分析】首先根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】因为函数（，）是实数集上的增函数，所以.故答案为：10．（2023·上海·高一专题练习）若函数，则的值为________.【答案】-1【分析】根据条件可得，，然后可算出答案.【详解】根据题意，函数，当时，，则，，当时，①，②，①+②得，∴，即，，又，而，，，∴；故答案为：．11．（2023·上海·高一专题练习）在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数的横截距和纵截距的大小，结合幂函数的图象的增减性可得选项.【详解】由得，所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项；对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确；对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确；对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确；故选：C.12．（2023·江苏·高一课时练习）函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件可知在上单调递减，从而得出，解出的范围即可．【详解】解：满足对任意，都有成立，在上是减函数，因为，解得，的取值范围是．故选：．13．（2023·江苏·沭阳如东中学高三月考）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，3） B．[﹣2，3） C．[﹣2，+∞） D．（﹣2，3）【答案】B【分析】首先求出当x≥1时，；那么要使得值域为R,则当x<1时,函数值域要包含,然后对当x<1时f(x)单调性进行讨论,得出值域,进而求解.【详解】当x≥1时，；当x<1时，若a=3，则f(x)=6，此时f(x)值域为，不合题意；若a>3，则f(x)在单调递减，,此时f(x)值域为，不合题意；若a<3，则f(x)在单调递增,又f(1)=a+3，此时f(x)a≥-2.综上,实数a的取值范围是[﹣2，3）.故选:B.14．（2023·江苏·高一课时练习）已知函数则（ ）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据的值代入相应的解析式可得答案.【详解】由已知.故选：D.15．（2023·江苏·高一专题练习）函数的定义域和值域分别为（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据二次根式的定义，结合指数函数性质可得定义域与值域．【详解】，解得，即，定义域为，因为，所以，，即值域为．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查指数型复合函数的定义域与值域，解题关键是掌握指数函数的单调性，特别是指数函数（且）的值域是，这里也容易出错．16．（2023·江苏·西安交大苏州附中高一月考）函数的定义域为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故选：A.17．（2023·江苏省板浦高级中学高一期末）函数的定义域为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.【详解】因为，所以，解得，即原函数的定义域为.故选：A.18．（2023·江苏·沭阳县修远中学高一月考）已知函数，且，，为常数）的图象恒过点，则　　A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】结合题意得到关于，的方程组，求出，的值，求出答案即可．【详解】解：由题意得：，则，解得：，故，故选：．B组 能力提升19．（2023·江苏·高一课时练习）求函数y＝的定义域与值域.【答案】定义域，值域.【分析】根据函数的解析式可直接求得定义域；先求x2+1的范围，再求的范围可得函数值域.【详解】函数y＝的定义域为：R.∵x2+1≥1，∴.函数的值域为[2，+∞）.所以函数的定义域为R，值域为[2，+∞）.20．（2023·江苏·高一课时练习）对于函数.（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间.【答案】（1）定义域为R，值域为(0，]；（2）单调递增区间为(﹣∞，3)，单调递减区间为(3，+∞).【分析】（1）由题意得出函数的定义域，利用配方法得出x2﹣6x+13的范围，利用指数函数的性质得出函数的值域；（2）利用复合函数的单调性求解即可．【详解】（1）由题意可得函数的定义域为R，配方可得x2﹣6x+13=(x﹣3)2+4≥4，∴∈(0，]，∴函数的值域为(0，]；（2）由二次函数可知t=x2﹣6x+13的单调递减区间为(﹣∞，3)，单调递增区间为(3，+∞)，由指数函数和复合函数的单调性可得的单调递增区间为(﹣∞，3)，单调递减区间为(3，+∞).21．（2023·江苏南京·高一月考）已知函数（1）当为何值时，为奇函数；（2）求证：为上的增函数.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出；（2）任取，计算化简判断正负，即可得出结论.【详解】（1）函数定义域为R，若函数为奇函数，则，解得.当时，，，满足，故当时，为奇函数；（2）证明：，定义域为R，设，，，，又， 所以为上的增函数.【点睛】思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：（1）在定义域内任取；（2）计算并化简整理；（3）判断的正负；（4）得出结论，若，则单调递增；若，则单调递减.22．（2023·江苏·南京市第十三中学高一月考）若函数．（1）判断函数的单调性并且用定义法证明；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．【答案】（1）函数在定义域上为减函数；证明见解析；（2）．【分析】（1）设变量且，计算并将其化简至可与比较大小，由此确定出的单调性；（2）先证明的奇偶性，然后通过奇偶性和单调性将不等式变形为，再根据存在性问题的求解思路结合的值域即可求解出的取值范围.【详解】（1）判断：减函数，证明：任取，，且，∴，∵，，，∴，∴∴函数在定义域上单调递减；（2）函数的定义域为关于原点对称，∵，∴是奇函数，∵，∴，又∵在定义域上单调递减，∴，又∵存在使得，∴等价于，又∵中，所以，所以，∴，∴，∴，即.【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的不等式的思路：（1）利用奇偶性将不等式变形为；、（2）根据单调性得到与的大小关系；（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集.23．（2023·江苏·高一单元测试）设函数（1）若函数的图象关于原点对称，函数，求满足的的值；（2）若函数在的最大值为，求实数a的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据函数的图象关于原点对称，可求出，然后解方程可得的值；（2）整理出，换元转化为二次函数区间的最值问题，可求实数a的值.【详解】（1）∵的图象关于原点对称，∴， ∴，即，所以；令，则，∴，又，∴，所以满足的的值为.（2），，令，， 对称轴，①当，即时，，∴； ②当，即时，，∴（舍）； 综上：实数a的值为.【点睛】二次函数型的最值问题求解方法：1、先利用换元法进行换元转化为二次函数；2、求解二次函数的对称轴;3、讨论对称轴和区间的位置关系，进行求解.24．（2023·上海·上外浦东附中高一期末）已知函数（1）当，时，解关于的方程；（2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式；（3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）将，代入，可转化为关于的二次方程，解方程进而可得的值；（2）利用奇函数的性质直接求解；（3）化简可得，代入不等式分离参数，转化为函数求最值，利用换元法及基本不等式直接求最值.【详解】（1）当，时，．即，解得：或（舍去），∴；（2）若函数是定义在上的奇函数，则，即即恒成立，解得：，，或，经检验，满足函数的定义域为，．（3）当时，函数满足，∴，则不等式恒成立，即恒成立即恒成立，设，则，即，恒成立，由平均值不等式可得：当时，取最小值．故，即实数m的最大值为．【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．25．（2023·上海·高一专题练习）求函数的单调区间及值域.【答案】上单增，在上单减. 【分析】令，利用复合函数的单调性求解； 由，根据在R上递增求解.【详解】令，t在上递增，在上递减，又在R上递增，所以函数的增区间是，减区间是，因为，因为在R上递增，所以函数的值域是.26．（2023·上海·高一专题练习）已知，求函数的最大值【答案】2【分析】首先解指数不等式得到，设得到，再求函数的最大值即可.【详解】，解得，即.，令，因为，所以.所以.当时，.27．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）已知a>1，函数.（1）判断函数f(x)奇偶性，并加以证明；（2）求证：函数f(x)是增函数.【答案】（1）函数f(x)为奇函数，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由定义即可判断；（2）设，化简整理判断正负即可得出单调性.【详解】（1）由题知：xR，定义域关于原点对称，，所以函数f(x)为奇函数；（2）设，，由，a>1，可得，又，，所以，即，所以函数f(x)是增函数.【点睛】思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：（1）在定义域内任取；（2）计算并化简整理；（3）判断的正负；（4）得出结论，若，则单调递增；若，则单调递减.28．（2023·上海市西南位育中学高一期末）已知.（1）求证函数是奇函数：（2）判断函数的单调性并证明.【答案】（1）证明见解析；（2）为上的增函数，证明见解析.【分析】（1）利用奇函数的定义可证得结论成立；（2）任取、，且，作差，因式分解并判断差值的符号，由此可证得函数为上的增函数.【详解】（1）函数的定义域为，，所以，函数是奇函数：（2），函数为上的增函数，证明如下：任取、，且，，，，，即，因此，函数为上的增函数.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值作差变形定号下结论.29．（2023·上海·高一专题练习）已知，求函数的最值．【答案】，【分析】令，将所求的函数转化为关于的二次函数，再利用二次函数的性质即可求最值.【详解】令，，对称轴为，开口向上的抛物线，所以在单调递减，在单调递增，所以当时，，当时，，所以，【点睛】方法点睛：对于指数型复合函数多采用换元法转化为二次函数求最值，但要注意新元的取值范围.