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（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题4.1 幂函数（重难点突破）原卷版+解析
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这是一份（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题4.1 幂函数（重难点突破）原卷版+解析，共21页。
专题4.1 幂函数一、考情分析1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝eq \f(1,x)的图象，了解它们的变化情况；2.理解幂函数的图象和性质，能用函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。二、考点梳理知识点一 幂函数(1)、幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)、常见的5种幂函数的图象(3)、幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.知识点2 幂函数的图像与性质（1）、幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：①、α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②、幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： （2）、利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.三、题型突破重难点题型突破1 求幂函数的解析式幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.例1．（2023·济南·山东省实验中学高三月考）已知幂函数的图象过点，则（ ）A． B．2 C．1 D．4【变式训练1-1】、（2023·巴楚县第一中学高三月考（理））己知幂函数的图象过点，则___________. 例2、（1）（2023·三亚华侨学校高一期中）（多选题）已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（ ）A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减C．奇函数 D．定义域为（2）．（2023·上海高一专题练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足的实数的值构成的集合为________.【变式训练2-1】、（2023·河北衡水中学调研）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）A．0 B．1 C．1或2 D．2【变式训练2-2】、（2023·陕西省高二期末（文））若函数是幂函数且在是递减的，则（ ）A．-1 B．2 C．-1或2 D．3 重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用例3．（1）、（2023·全国高一课时练习）幂函数的图象如下图所示，则m的值为（ ）A．或0 B． C．0 D．（2）、（2023·上海高一专题练习）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【变式训练3-1】、（2023·江苏吴中·西安交大苏州附中高一月考）设α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}．使y＝xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值为_____． 【变式训练3-2】、（2023·福建高三学业考试）幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（x）的图象是（ ）A． B．C． D． 重难点题型突破3 幂函数型复合函数例4．（1）、（2023·上海高一专题练习）若，试求实数m的取值范围．（2）、（2023·上海高一单元测试）已知幂函数的图像经过点，求的值.例5、（2023·河南郑州·高一月考）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）解不等式．【变式训练5-1】、（2022·全国）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 四、定时训练（30分钟）1．（2023·上海南汇中学高一期末）已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则________．2．（2023·上海高一专题练习）设幂函数的图像过点，则的值域是____________3．（2023·上海高一专题练习）已知函数是幂函数.求函数的解析式. αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、 专题4.1 幂函数一、考情分析1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝eq \f(1,x)的图象，了解它们的变化情况；2.理解幂函数的图象和性质，能用函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。二、考点梳理知识点一 幂函数(1)、幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)、常见的5种幂函数的图象(3)、幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.知识点2 幂函数的图像与性质（1）、幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：①、α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②、幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： （2）、利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.三、题型突破重难点题型突破1 求幂函数的解析式幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.例1．（2023·济南·山东省实验中学高三月考）已知幂函数的图象过点，则（ ）A． B．2 C．1 D．4【答案】D【分析】设，然后将点代入可求出，从而可求出解析式，进而可求得的值【详解】由题意设，因为幂函数的图象过点，所以，得，所以，所以，故选：D【变式训练1-1】、（2023·巴楚县第一中学高三月考（理））己知幂函数的图象过点，则___________.【答案】【分析】根据幂函数可得，将点代入解析式可得的值，即可求解.【详解】因为函数是幂函数，所以，所以因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，故答案为：.例2、（1）（2023·三亚华侨学校高一期中）（多选题）已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（ ）A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减C．奇函数 D．定义域为【答案】BC【分析】设幂函数，将代入解析式即可求出解析式，根据幂函数性质判断选项即可.【详解】设幂函数，幂函数图象过点，，， 定义域为，满足，是奇函数，值域为，在定义域内不单调，在上单调递减.故选：BC（2）．（2023·上海高一专题练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足的实数的值构成的集合为________.【答案】【分析】根据函数为幂函数且为奇函数求得，然后解不等式即可得解.【详解】因为函数为幂函数，则，得或.若，则为偶函数，不合乎题意；若，则为奇函数，合乎题意.所以，.所以不等式可转化为，即，解得.故答案为：.【点睛】易错点点睛：本题考查二次不等式的求解，解题的关键在于求出参数后，要结合函数的奇偶性对所求参数的值进行检验【变式训练2-1】、（2023·河北衡水中学调研）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）A．0 B．1 C．1或2 D．2【答案】D【解析】由题意为幂函数，所以，解得或.因为在上为增函数，所以，即，所以.故选D.【变式训练2-2】、（2023·陕西省高二期末（文））若函数是幂函数且在是递减的，则（ ）A．-1 B．2 C．-1或2 D．3【答案】A【解析】函数是幂函数且在是递减的，则，解得．故选：A． 重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用例3．（1）、（2023·全国高一课时练习）幂函数的图象如下图所示，则m的值为（ ）A．或0 B． C．0 D．【答案】A【分析】首先根据图象特征，可知，根据，确定的值，依次代入验证函数是否是奇函数.【详解】由幂函数在第一象限的单调性可得，，解得，再由可得，或或0．又从图象可知该函数是奇函数，若，则，符合题意；若，则，不合题意，若，则，符合题意，综上，或0．故选A【点睛】本题考查幂函数的图象和基本性质，意在考查数形结合，和计算能力，属于基础题型.（2）、（2023·上海高一专题练习）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B【分析】根据幂函数的图象与性质，结合选项，对比分析，即可求解.【详解】（1）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递增；（2）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递增；（3）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递增；（4）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递减；（5）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递减；（6）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递减.对比分析可知对应关系为（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B.故答案为：（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质，通过对比分析求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.【变式训练3-1】、（2023·江苏吴中·西安交大苏州附中高一月考）设α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}．使y＝xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值为_____．【答案】-1【分析】先根据单调性确定α值为负，然后再验证奇偶性.【详解】因为y＝xa在（0，+∞）上单调递减，所以α ，当α=-2时，， 是偶函数，当时，，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，当时，，是奇函数.故答案为：-1【点睛】本题主要考查了幂函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.【变式训练3-2】、（2023·福建高三学业考试）幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（x）的图象是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据幂函数y＝f（x）的图象经过点，求得幂函数解析式，然后根据函数的图象和性质判断.【详解】设幂函数因为幂函数y＝f（x）的图象经过点，所以，即，所以，解得所以幂函数的定义域是，在上递增越来越慢，故选：D【点睛】本题主要考查幂函数的定义和图象与性质，属于基础题. 重难点题型突破3 幂函数型复合函数例4．（1）、（2023·上海高一专题练习）若，试求实数m的取值范围．【答案】【分析】结合幂函数的定义域以及其在(0,+∞)上单调递增，列出不等式组求解即可.【详解】因为幂函数的定义域是{x|}，且在(0,+∞)上单调递增，则原不等式等价于，解得，所以实数m的取值范围是.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关结合幂函数的定义和性质求解不等式的问题，正确解题的关键是要时刻关注函数的定义域，研究函数先要保证函数的生存权.（2）、（2023·上海高一单元测试）已知幂函数的图像经过点，求的值.【答案】-3.【分析】把点的坐标代入函数的解析式中，求出参数，然后把代入函数解析式中求值即可【详解】解：的图像经过点，.【点睛】本题考查了求幂函数解析式，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.例5、（2023·河南郑州·高一月考）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）解不等式．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）根据是幂函数，得到，再由是偶函数和在上单调递增，由，且为偶函数求解.（2）根据（1）偶函数在上递增，转化为求解.【详解】（1）因为是幂函数，则，解得或，又是偶函数，所以是偶数，又在上单调递增，所以，解得，所以、、或．所以或；（2）由（1）偶函数在上递增，，可化为，即，所以或．所以的范围是．【变式训练5-1】、（2022·全国）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2）存在，.【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；（2）求出的解析式，按照与的大小关系进行分类讨论，利用的单调性列出方程组，求解即可.【详解】（1）（1）因为幂函数在上单调递减，所以解得：或(舍去)，所以；（2）由（1）可得，，所以，假设存在，使得在上的值域为，①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；②当时，，显然不成立；③当时，，在和上单调递增，故，解得.综上所述，存在使得在上的值域为. 四、定时训练（30分钟）1．（2023·上海南汇中学高一期末）已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则________．【答案】【分析】由幂函数的性质求解即可【详解】解：因为幂函数为奇函数，且在上单调递减，所以为负奇数，因为，所以，故答案为：2．（2023·上海高一专题练习）设幂函数的图像过点，则的值域是____________【答案】【分析】由图像过点，可得，进而可得值域.【详解】幂函数的图像过点，所以，解得，所以，因为，所以的值域是.故答案为：.3．（2023·上海高一专题练习）已知函数是幂函数.求函数的解析式.【答案】【分析】利用幂函数的性质，列出方程求解即可【详解】函数是幂函数，则，故 αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、
专题4.1 幂函数一、考情分析1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝eq \f(1,x)的图象，了解它们的变化情况；2.理解幂函数的图象和性质，能用函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。二、考点梳理知识点一 幂函数(1)、幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)、常见的5种幂函数的图象(3)、幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.知识点2 幂函数的图像与性质（1）、幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：①、α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②、幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： （2）、利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.三、题型突破重难点题型突破1 求幂函数的解析式幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.例1．（2023·济南·山东省实验中学高三月考）已知幂函数的图象过点，则（ ）A． B．2 C．1 D．4【变式训练1-1】、（2023·巴楚县第一中学高三月考（理））己知幂函数的图象过点，则___________. 例2、（1）（2023·三亚华侨学校高一期中）（多选题）已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（ ）A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减C．奇函数 D．定义域为（2）．（2023·上海高一专题练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足的实数的值构成的集合为________.【变式训练2-1】、（2023·河北衡水中学调研）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）A．0 B．1 C．1或2 D．2【变式训练2-2】、（2023·陕西省高二期末（文））若函数是幂函数且在是递减的，则（ ）A．-1 B．2 C．-1或2 D．3 重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用例3．（1）、（2023·全国高一课时练习）幂函数的图象如下图所示，则m的值为（ ）A．或0 B． C．0 D．（2）、（2023·上海高一专题练习）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【变式训练3-1】、（2023·江苏吴中·西安交大苏州附中高一月考）设α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}．使y＝xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值为_____． 【变式训练3-2】、（2023·福建高三学业考试）幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（x）的图象是（ ）A． B．C． D． 重难点题型突破3 幂函数型复合函数例4．（1）、（2023·上海高一专题练习）若，试求实数m的取值范围．（2）、（2023·上海高一单元测试）已知幂函数的图像经过点，求的值.例5、（2023·河南郑州·高一月考）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）解不等式．【变式训练5-1】、（2022·全国）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 四、定时训练（30分钟）1．（2023·上海南汇中学高一期末）已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则________．2．（2023·上海高一专题练习）设幂函数的图像过点，则的值域是____________3．（2023·上海高一专题练习）已知函数是幂函数.求函数的解析式. αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、 专题4.1 幂函数一、考情分析1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝eq \f(1,x)的图象，了解它们的变化情况；2.理解幂函数的图象和性质，能用函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。二、考点梳理知识点一 幂函数(1)、幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)、常见的5种幂函数的图象(3)、幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.知识点2 幂函数的图像与性质（1）、幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：①、α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②、幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： （2）、利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.三、题型突破重难点题型突破1 求幂函数的解析式幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.例1．（2023·济南·山东省实验中学高三月考）已知幂函数的图象过点，则（ ）A． B．2 C．1 D．4【答案】D【分析】设，然后将点代入可求出，从而可求出解析式，进而可求得的值【详解】由题意设，因为幂函数的图象过点，所以，得，所以，所以，故选：D【变式训练1-1】、（2023·巴楚县第一中学高三月考（理））己知幂函数的图象过点，则___________.【答案】【分析】根据幂函数可得，将点代入解析式可得的值，即可求解.【详解】因为函数是幂函数，所以，所以因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，故答案为：.例2、（1）（2023·三亚华侨学校高一期中）（多选题）已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（ ）A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减C．奇函数 D．定义域为【答案】BC【分析】设幂函数，将代入解析式即可求出解析式，根据幂函数性质判断选项即可.【详解】设幂函数，幂函数图象过点，，， 定义域为，满足，是奇函数，值域为，在定义域内不单调，在上单调递减.故选：BC（2）．（2023·上海高一专题练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足的实数的值构成的集合为________.【答案】【分析】根据函数为幂函数且为奇函数求得，然后解不等式即可得解.【详解】因为函数为幂函数，则，得或.若，则为偶函数，不合乎题意；若，则为奇函数，合乎题意.所以，.所以不等式可转化为，即，解得.故答案为：.【点睛】易错点点睛：本题考查二次不等式的求解，解题的关键在于求出参数后，要结合函数的奇偶性对所求参数的值进行检验【变式训练2-1】、（2023·河北衡水中学调研）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）A．0 B．1 C．1或2 D．2【答案】D【解析】由题意为幂函数，所以，解得或.因为在上为增函数，所以，即，所以.故选D.【变式训练2-2】、（2023·陕西省高二期末（文））若函数是幂函数且在是递减的，则（ ）A．-1 B．2 C．-1或2 D．3【答案】A【解析】函数是幂函数且在是递减的，则，解得．故选：A． 重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用例3．（1）、（2023·全国高一课时练习）幂函数的图象如下图所示，则m的值为（ ）A．或0 B． C．0 D．【答案】A【分析】首先根据图象特征，可知，根据，确定的值，依次代入验证函数是否是奇函数.【详解】由幂函数在第一象限的单调性可得，，解得，再由可得，或或0．又从图象可知该函数是奇函数，若，则，符合题意；若，则，不合题意，若，则，符合题意，综上，或0．故选A【点睛】本题考查幂函数的图象和基本性质，意在考查数形结合，和计算能力，属于基础题型.（2）、（2023·上海高一专题练习）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B【分析】根据幂函数的图象与性质，结合选项，对比分析，即可求解.【详解】（1）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递增；（2）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递增；（3）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递增；（4）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递减；（5）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递减；（6）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递减.对比分析可知对应关系为（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B.故答案为：（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质，通过对比分析求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.【变式训练3-1】、（2023·江苏吴中·西安交大苏州附中高一月考）设α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}．使y＝xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值为_____．【答案】-1【分析】先根据单调性确定α值为负，然后再验证奇偶性.【详解】因为y＝xa在（0，+∞）上单调递减，所以α ，当α=-2时，， 是偶函数，当时，，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，当时，，是奇函数.故答案为：-1【点睛】本题主要考查了幂函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.【变式训练3-2】、（2023·福建高三学业考试）幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（x）的图象是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据幂函数y＝f（x）的图象经过点，求得幂函数解析式，然后根据函数的图象和性质判断.【详解】设幂函数因为幂函数y＝f（x）的图象经过点，所以，即，所以，解得所以幂函数的定义域是，在上递增越来越慢，故选：D【点睛】本题主要考查幂函数的定义和图象与性质，属于基础题. 重难点题型突破3 幂函数型复合函数例4．（1）、（2023·上海高一专题练习）若，试求实数m的取值范围．【答案】【分析】结合幂函数的定义域以及其在(0,+∞)上单调递增，列出不等式组求解即可.【详解】因为幂函数的定义域是{x|}，且在(0,+∞)上单调递增，则原不等式等价于，解得，所以实数m的取值范围是.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关结合幂函数的定义和性质求解不等式的问题，正确解题的关键是要时刻关注函数的定义域，研究函数先要保证函数的生存权.（2）、（2023·上海高一单元测试）已知幂函数的图像经过点，求的值.【答案】-3.【分析】把点的坐标代入函数的解析式中，求出参数，然后把代入函数解析式中求值即可【详解】解：的图像经过点，.【点睛】本题考查了求幂函数解析式，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.例5、（2023·河南郑州·高一月考）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）解不等式．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）根据是幂函数，得到，再由是偶函数和在上单调递增，由，且为偶函数求解.（2）根据（1）偶函数在上递增，转化为求解.【详解】（1）因为是幂函数，则，解得或，又是偶函数，所以是偶数，又在上单调递增，所以，解得，所以、、或．所以或；（2）由（1）偶函数在上递增，，可化为，即，所以或．所以的范围是．【变式训练5-1】、（2022·全国）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2）存在，.【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；（2）求出的解析式，按照与的大小关系进行分类讨论，利用的单调性列出方程组，求解即可.【详解】（1）（1）因为幂函数在上单调递减，所以解得：或(舍去)，所以；（2）由（1）可得，，所以，假设存在，使得在上的值域为，①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；②当时，，显然不成立；③当时，，在和上单调递增，故，解得.综上所述，存在使得在上的值域为. 四、定时训练（30分钟）1．（2023·上海南汇中学高一期末）已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则________．【答案】【分析】由幂函数的性质求解即可【详解】解：因为幂函数为奇函数，且在上单调递减，所以为负奇数，因为，所以，故答案为：2．（2023·上海高一专题练习）设幂函数的图像过点，则的值域是____________【答案】【分析】由图像过点，可得，进而可得值域.【详解】幂函数的图像过点，所以，解得，所以，因为，所以的值域是.故答案为：.3．（2023·上海高一专题练习）已知函数是幂函数.求函数的解析式.【答案】【分析】利用幂函数的性质，列出方程求解即可【详解】函数是幂函数，则，故 αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、
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