【寒假作业】（人教A版2019）高中数学 高一数学寒假巩固提升训练 专题04+与指数函数、对数函数有关的复合函数及函数方程综合应用+（十大题型）-讲义

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思维导图
核心考点聚焦
考点一、判断复合函数的单调性
考点二、已知复合函数单调性求参数范围
考点三、求复合函数的值域
考点四、求复合函数的最值
考点五、与复合函数有关的不等式问题
考点六、判断复合函数的奇偶性
考点七、零点问题
考点八、函数嵌套问题
考点九、共零点问题
考点十、等高线问题
知识点一、根式的概念和运算法则
1、次方根的定义：
若，则称为的次方根．
为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．
为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．
2、两个等式
（1）当且时，；
（2）
知识点二、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
知识点三、有理数指数幂的运算
1、有理数指数幂的运算性质
（1）
（2）
（3）
当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．
2、指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．
知识点四、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；
②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
知识点五、实数指数幂的运算性质
①．
②．
③．
知识点六、指数函数的图象及性质：
知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：
又即：时，（底大幂大）
时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
知识点八、对数概念
1、对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．
知识点诠释：
对数式中各字母的取值范围是：且，，．
2、对数（且）具有下列性质：
（1）0和负数没有对数，即；
（2）1的对数为0，即；
（3）底的对数等于1，即．
3、两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．
4、对数式与指数式的关系
由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．
知识点九、对数的运算法则
已知，（且，、）
（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
知识点十、对数公式
1、对数恒等式：
2、换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：
（1）
令，则有，，即，即，即：．
（2），令，则有，则有
即，即，即
当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．
知识点十一、对数函数的图象与性质
知识点十二、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
知识点十三、反函数
1、反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
知识点十四：函数的零点
1、函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
知识点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
2、函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
1、与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．
考点剖析
考点一、判断复合函数的单调性
例1．（2023·宁夏吴忠·高一校考阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·广东佛山·高一校联考阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·海南海口·高一海南中学校考阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
考点二、已知复合函数单调性求参数范围
例5．（2023·全国·高三校联考期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）已知的值城为，且在上是增函数，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十五中学校考阶段练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点三、求复合函数的值域
例9．（2023·贵州六盘水·高一统考阶段练习）已知函数.
(1)若，求的值域；
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围.
例10．（2023·宁夏吴忠·高一校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的值域；
(2)解不等式．
例11．（2023·山西·高一校联考期中）已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
(1)求的值；
(2)设函数，求在上的值域.
例12．（2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）已知函数
(1)若的值域为，求实数的取值范围；
(2)若在内为单调函数，求实数的取值范围.
考点四、求复合函数的最值
例14．（2023·广东佛山·高一统考期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
(1)求时，的解析式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
例15．（2023·河南·高一济源高中校联考期中）已知函数，且．
(1)求的值；
(2)证明：在上单调递增；
(3)求在上的最小值．
例16．（2023·高一课时练习）已知函数，且）．
(1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值；
(2)已知函数，．若的最大值为8，求实数的值．
例17．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习）已知，，m为实数，
(1)当时，求函数的最大值；
(2)求函数的最大值的解析式.
考点五、与复合函数有关的不等式问题
例18．（2023·广西·高一校联考阶段练习）函数，则关于的不等式的解集为 .
例19．（2023·上海奉贤·高一校考期末）不等式的解集为 ．
例20．（2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为 ．
例21．（2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十九中学校考阶段练习）不等式与不等式是同解不等式，则
例22．（2023·辽宁阜新·高一校考期末）不等式的解集为 ．
考点六、判断复合函数的奇偶性
例23．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数为奇函数，且，若，则 ．
例24．（2023·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）定义在上的奇函数，当时，，则的值为 ．
例25．（2023·湖北恩施·高一校联考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，则 ．
例26．（2023·山西·高一校联考期中）若为偶函数，则 .
考点七、零点问题
例27．（2023·浙江温州·高一浙江省平阳中学校联考期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（ ）
A．和B．和C．2和D．和
例28．（2023·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．3C．10D．13
例29．（2023·安徽马鞍山·高一统考期末）已知函数，，的零点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
考点八、函数嵌套问题
例30．已知函数若方程有4个不同的零点，且，则（ ）
A．10B．8C．6D．4
例31．设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点九、共零点问题
例32．若关于的方程有三不等的实数根，，，且满足其中两根，，则的取值范围是
A．B．，C．D．
例33．（2023•永州校级月考）已知函数，且（1）（2）（3），则的取值范围是
A．B．C．D．
考点十、等高线问题
例34．已知函数，若存在四个实数a，b，c，d，满足，，则的取值范围为（ ）
A．(0，+∞)B．C．D．
例35．已知函数，若存在四个实数，，，，满足，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
过关检测
一、单选题
1．（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）设函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
4．（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（ ）
A．B．C．2D．4
8．（2023·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）若二次函数的两个零点为2，3，则二次函数的零点是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高一专题练习）已知函数和在上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．方程有且只有6个不同的解B．方程有且只有3个不同的解
C．方程有且只有5个不同的解D．方程有且只有4个不同的解
10．（2023·四川成都·高一校考期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．在上是减函数
11．（2023·广西·高一校联考阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数），则（ ）
A．函数至多有2个零点B．，使得是R上的增函数
C．当时，的值域为D．当时，方程有且只有1个实数根
12．（2023·陕西商洛·高一校考阶段练习）给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数的最大值为
B．函数的单调递增区间是
C．若，则的徝为1
D．已知定义在上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021
三、填空题
13．（2023·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是 .
14．（2023·河南开封·高一河南大学附属中学校考阶段练习）已知a为正实数，且函数是奇函数．则的值域为 ．
15．（2023·广东茂名·高一校联考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，并且当时，，那么 ．
16．（2023·河北·高一河北师范大学附属中学校联考阶段练习）写出一个函数的解析式，满足：①是定义在上的偶函数；②时，，则 .
17．（2023·广东佛山·高一校联考阶段练习）若函数是定义在上偶函数，，则 .
四、解答题
18．（2023·河南郑州·高一校联考期中）已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若的最大值为9，求a的值．
19．（2023·陕西商洛·高一校考阶段练习）已知函数
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围
(2)若，求函数的值域
20．（2023·天津静海·高一静海一中校考阶段练习）已知函数
(1)若的定义域为，求的取值范围.
(2)若的值域为，求的取值范围.
21．（2023·重庆·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，
(1)求的最小值.
(2)若对任意的，恒成立，则实数的取值范围.
22．（2023·江西南昌·高一江西师大附中校考期中）已知函数（）．
(1)若关于的不等式的解集为，求的值；
(2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围．
23．（2023·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中）已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围．
时图象
时图象
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤时，
时，
⑤时，
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
判别式
方程的根
函数的零点
两个不相等的实根
两个零点
两个相等的实根
一个二重零点
无实根
无零点