【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题09+二倍角的三角函数（6大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-讲义

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 二倍角公式及其应用
1、二倍角的正弦（）：；变形
2、二倍角的余弦（）：.
3、二倍角的正切（）：
4、升（降）幂缩（扩）角公式
利用余弦的二倍角公式变形可得：
升幂公式：，
降幂公式：，
知识点2 利用二倍角公式化简求值
1、给角求值的解题策略：
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式。
2、三角函数化简“三看”原则
知识点3 辅助角公式及其应用
1、辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
2、辅助角公式应用的解题思路
（1）将化为的形式；
（2）构造
（3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)；
（4）利用研究三角函数的性质；
（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
考点剖析
考点1 二倍角的正弦公式
【例1】（2023·全国·高一专题练习）已知角的终边与单位圆交于点，则
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的值为 ．
【变式1-2】（2023·河北邯郸·高一校考期末）若，则等于（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式1-3】（2023·高一课时练习）（ ）
A． B． C． D．
考点2 二倍角的余弦公式
【例2】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习） ．
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·四川宜宾·高一校考期中）（多选）下列各式中，值为的是（ ）
A． B． C． D．
考点3 二倍角的正切公式
【例3】（2023·江西·高一统考期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·江西上饶·高一校考期末）已知为第二象限角，，则 ．
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）已知为锐角，，则 .
【变式3-3】（2023·江西南昌·高一统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
考点4 二倍角给值求值问题
【例4】（2023·全国·高一专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D． -
【变式4-2】（2023·高一单元测试）已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·安徽·高一校联考期中）已知，则tanβ= .
考点5 利用二倍角化简证明
【例5】（2023·全国·高一专题练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）化简求值：
（1）；
（2）.
【变式5-3】（2023·上海浦东新·高一校考阶段练习）证明：
考点6 辅助角公式及其应用
【例6】（2023·高一课时练习）用辅助角公式化简下列式子：
（1）
（2）
（3）
【变式6-1】（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式6-2】（2023·北京海淀·高一统考期末）函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式6-3】（2023·四川·高一校联考期末）（ ）
A． B．1 C． D．2
过关检测
一、单选题
1．（2023·甘肃天水·高一统考期中）已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南新乡·高一校联考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江嘉兴·高一海宁市高级中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知是第一象限角，满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·甘肃临夏·高一统考期末）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江苏镇江·高一校联考阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）下列各式中值为的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江苏镇江·高一统考期中）下列各式的值为的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）关于函数,下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为，最小值为 B．的单调递增区间为
C．的最小正周期为 D．的对称中心为
三、填空题
13．（2023·内蒙古巴彦淖尔·高一统考期末）若，则 .
14．（2023·福建厦门·高一厦门市第十中学校考阶段练习）已知，则 .
15．（2023·江西宜春·高一宜丰中学校考阶段练习）已知的最小正周期为，则常数的值等于 ．
16．（2023·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）函数的最大值是 ．
四、解答题
17．（2023·山东泰安·高一新泰市第一中学校考阶段练习）已知，．
（1）求的值．
（2）求的值．
18．（2023·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知．
（1）当时，求的值；
（2）求的值．
19．（2023·广东佛山·高一校联考阶段练习）已知为第二象限角，，为第一象限角，.
（1）求的值.
（2）求的值.
20．（2023·四川成都·高一成都七中统考阶段练习）已知，，且，．
（1）求和；
（2）求的大小．
21．（2023·高一课时练习）化简：
（1）；
（2）；
（3）.
22．（2023·天津南开·高一南开中学校考阶段练习）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最小值和最大值及取得最大值和最小值时的的值．