【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题05 函数的基本性质（12大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 函数的单调性
1、单调函数的定义与图象
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。

上升趋势 下降趋势
2、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
3、单调性定义的等价形式:
（1）函数在区间上是增函数
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
（2）函数在区间上是减函数
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
4、定义法证明函数单调性的步骤
①取值：设，为该区间内任意的两个值，且
②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论
④判断：根据定义做出结论。
5、函数单调性的性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）对于符合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在的单调性简记为“同增异减”.
知识点2 函数的奇偶性
1、函数奇偶性的定义
（1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称
（2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。
偶函数的性质：，可避免讨论．
2、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论：
= 1 \* GB3 ①如果或，则函数为偶函数；
= 2 \* GB3 ②如果或，则函数为奇函数．
（2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（3）性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：
【注意】在中，的值域是定义域的子集
（4）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系。首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
3、函数奇偶性的应用
函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用。
（1）由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数。
（2）由函数的奇偶性求函数值：由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。
（3）由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
第一步：在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上；
第二步：把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得
第三步：利用函数的奇偶性把改写成，从而求出.
知识点3 函数的周期性
1、周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
2、函数周期性的常用结论（是不为0的常数）
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则；
（5）若，则； （6）若，则（）；
知识点4 函数的对称性
1、函数对称性的常用结论
（1）若，则函数图象关于对称；
（2）若，则函数图象关于对称；
（3）若，则函数图象关于对称；
（4）若，则函数图象关于对称；
2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
（1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称，
当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；
（2）若函数满足，则其函数图象关于点对称，
当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；
3、函数对称性与周期性的关系
（1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是；
（2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是；
（3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是.
4、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
（1） = 1 \* GB3 ①函数是偶函数； = 2 \* GB3 ②函数图象关于直线对称； = 3 \* GB3 ③函数的周期为.
（2） = 1 \* GB3 ①函数是奇函数； = 2 \* GB3 ②函数图象关于点对称； = 3 \* GB3 ③函数的周期为.
（3） = 1 \* GB3 ①函数是奇函数； = 2 \* GB3 ②函数图象关于直线对称； = 3 \* GB3 ③函数的周期为.
（4） = 1 \* GB3 ①函数是偶函数； = 2 \* GB3 ②函数图象关于点对称； = 3 \* GB3 ③函数的周期为.
其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
考点剖析
考点1 函数单调性的判断与证明
【例1】（2022秋·全国·高一专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是
A．在上为减函数 B．在上为增函数
C．在上为增函数 D．在上为减函数
【变式1-1】（2020秋·高一课时练习）设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（ ）
①若单调递增，单调递增，则单调递增；
②若单调递增，单调递减，则单调递增；
③若单调递减，单调递增，则单调递减；
④若单调递减，单调递减，则单调递减.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【变式1-2】（2023·高一课时练习）已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是增函数，且 B．是增函数，且
C．是减函数，且 D．是减函数，且
【变式1-3】（2023秋·黑龙江双鸭山·高一校考阶段练习）已知函数的图像过点．
（1）求实数m的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
【变式1-4】（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）设是定义在上的函数，对任意的，恒有，且当时，．
（1）求．
（2）证明：时，恒有．
（3）求证：在上是减函数．
考点2 求函数的单调区间
【例2】（2023·全国·高一专题练习）函数的单增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·高一单元测试）函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023秋·重庆·高一校考阶段练习）函数的单调递减区间为 .
【变式2-3】（2023秋·全国·高一专题练习）若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
考点3 已知函数的单调性求参数
【例3】（2023秋·浙江宁波·高一校考阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023秋·全国·高一专题练习）是函数在单调递减的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【变式3-2】（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【变式3-3】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数是R上的单调减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．[0，＋∞) B． C． D．(－∞，0)∪
【变式3-4】（2023秋·贵州贵阳·高一校考阶段练习）若函数对，都有，则实数a的取值范围是 .
考点4 利用函数单调性求值域
【例4】（2023秋·江苏无锡·高一校考阶段练习）求下列函数的值域
（1）
（2）
【变式4-1】（2023秋·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）求下列函数的值域.
（1）
（2）
【变式4-2】（2023秋·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）记表示中三个数的最小值，若，则的最大值为 .
【变式4-3】（2023秋·黑龙江双鸭山·高一校考阶段练习）若a，R，记，则函数(R)的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．3
【变式4-4】（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数，且，且的解集为．
（1）求的解析式．
（2）求在区间的最大值记为，并求的最大值．
考点5 根据函数的值域求参数
【例5】（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上有最小值-1，则实数m的取值范围是 ．
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是 .
【变式5-2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023秋·福建漳州·高一校考阶段练习）函数，对使成立，则的取值范围是 .
【变式5-4】（2022秋·贵州遵义·高一统考期中）已知函数对于一切实数x，y，都有成立，且当时，．
（1）求．
（2）求的解析式．
（3）若函数，试问是否存在实数a，使得的最小值为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
考点6 函数奇偶性的判断与证明
【例6】（2023·江苏·高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）．
【变式6-1】（2023·全国·高一专题练习）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023秋·福建福州·高一校考阶段练习）函数的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称
【变式6-3】（2023秋·新疆·高一校联考期中）（多选）已知是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【变式6-4】（2023·全国·高一专题练习）设函数的定义域为，并且满足，且，当时，．
（1）求的值；
（2）判断函数的奇偶性；
考点7 根据函数奇偶性求参求值
【例7】（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，则 ．
【变式7-1】（2023秋·重庆·高一校考阶段练习）已知 且，则= .
【变式7-2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，且，则的值为 .
【变式7-3】（2023秋·浙江宁波·高一校考阶段练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则 ．
【变式7-4】（2023·全国·高一专题练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A． B． C． D．
考点8 利用函数奇偶性求解析式
【例8】（2023·江苏·高一专题练习）为上的奇函数，当时，，则 ．
【变式8-1】（2023·江苏·高一专题练习）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式．
【变式8-2】（2023·全国·高一专题练习）已知是R上的偶函数，且当时，，求的解析式．
【变式8-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数满足为奇函数，则函数的解析式可能为 （写出一个即可）．
【变式8-4】（2023秋·江苏南通·高一校考阶段练习）已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ．
【变式8-5】（2023·全国·高一专题练习）已知奇函数则 ．
考点9 利用单调性奇偶性解不等式
【例9】（2023秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）函数为偶函数，且对任意都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2023秋·福建福州·高一校考阶段练习）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2023秋·重庆·高一校考阶段练习）若函数，则关于的不等式的解集为 .
【变式9-3】（2023秋·宁夏银川·高一校考期中）若定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则满足的x的取值范围为 ．
【变式9-4】（2023秋·江苏南通·高一校考阶段练习）定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为 ．
考点10 利用单调性奇偶性比大小
【例10】（2022秋·河北邯郸·高一校考期中）（多选）已知为区间上的减函数，且，则( )
A． B． C． D．
【变式10-1】（2022秋·广东梅州·高一校考阶段练习）定义在上的偶函数满足：对任意有则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-2】（2023·全国·高一专题练习），，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-4】（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
考点11 利用周期性求函数值
【例11】（2023秋·湖北孝感·高一校联考阶段练习）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【变式11-2】（2023·全国·高一专题练习）已知是定义在R上的奇函数，且对任意都有，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【变式11-3】（2023秋·全国·高一专题练习）（多选）已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
考点12 函数对称性的应用
【例12】（2023秋·江苏南通·高一校考阶段练习）函数的对称中心是 ．
【变式12-1】（2022秋·福建厦门·高一校考阶段练习）（多选）已知函数，则函数具有下列性质（ ）
A．函数在定义域内是减函数 B．函数的值域为
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称
【变式12-2】（2023秋·河南郑州·高一校考阶段练习）关于函数，正确的说法是（ ）
A．与x轴有一个交点 B．的定义域为
C．在单调递增 D．的图象关于点对称
【变式12-3】（2023秋·重庆·高一月考）已知函数，则 ．
【变式12-4】（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）定义在上的函数满足，则 .
过关检测
1．（2022秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·宁夏石嘴山·高一校考期中）设是定义在上的奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·全国·高一专题练习）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·贵州·高一校考阶段练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．，4 B．无最大值，最小值为7 C．4，0 D．最大值为4，无最小值
5．（2023·江苏·高一专题练习）若函数是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·安徽淮南·高一校考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2023 B． C．3 D．
7．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）（多选）已知函数满足，且，则（ ）
A． B．
C．的解析式可能为 D．为奇函数
8．（2023秋·湖南岳阳·高一校考阶段练习）（多选）设，用表示不超过的最大整数，称为高斯函数，也叫取整函数.如.设，则下列结论正确的有（ ）
A． B．函数的图象关于原点对称
C． D．函数的值域为
9．（2022秋·江西上饶·高一校考期中）函数的单调递增区间是 ．
10．（2023·全国·高一专题练习）对任意，给定，，记函数，则的最小值是 .
11．（2022秋·广东清远·高一校联考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ．
12．（2022秋·广东广州·高一校考阶段练习）若函数，当时，有最大值，则实数的取值范围 ．
13．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）设函数，且.
（1）请说明的奇偶性；
（2）用定义证明在上单调递增.
14．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）已知函数．
（1）证明：为奇函数．
（2）判断在上的单调性， 并证明你的结论．
（3）解关于的不等式．
15．（2023秋·重庆·高一校考阶段练习）已知为R上的奇函数，当时， ，
（1）求在R上的解析式；
（2）若对 使 求a的取值范围.偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇
不确定
奇
偶
奇
偶
不确定
奇
偶
奇
奇
奇
偶
奇