【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题09 三角函数图象变换（10大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 函数y＝Asin（ωx＋φ）图象
1、A、φ、ω的含义
（1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
（2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.
（3）ω决定了函数的周期
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
知识点2 三角函数图象变换
1、振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
2、平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
3、周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到．
4、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
5、三角函数图象变换中的三个注意点
（1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
例如：sint=cs⁡(t-π2)或cst=sin⁡(t+π2)
（2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向；
（3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中
函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，
函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位．
知识点3 三角函数的应用
1、三角函数模型问题的几种类型
（1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．
（2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．
（3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．
2、解三角函数应用问题的基本步骤
（1）审清题意：读懂题目中“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题；
（2）建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系，即建立三角函数模性；
（3）解答函数模型：利用所学的三角函数知识解答所得到的三角函数模型，求得结果；
（4）得出结论：使所得结论翻译成实际问题的答案。
3、建立三角函数拟合模型的注意事项
（1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数．
（2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．
（3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．
考点剖析
考点1 根据图象求三角函数解析式
【例1】（2023·江苏·高一专题练习）若函数的部分图象如图，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·山东聊城·高一聊城一中校考期中）已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（ ）

A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·广西玉林·高一统考期末）函数的部分图象如图所示，则它的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·北京·高一陈经纶中学校考阶段练习）设函数在的图像大致如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）如图，函数的部分图象与轴相交于两点，与轴相交于点，且的面积为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点2 同名三角函数图象变换过程
【例2】（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【变式2-1】（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）要得到函数的图象，只要把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【变式2-2】（2023·天津·高一统考期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【变式2-3】（2023·广东佛山·高一佛山市三水区三水中学校考阶段练习）（多选）为了得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来
【变式2-4】（2023·四川达州·高一校考期中）要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
考点3 异名三角函数图象变换过程
【例3】（2023·河南·高二校考开学考试）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【变式3-1】（2022·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【变式3-2】（2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，，则的图象（ ）
A．与的图象形状相同，位置不同 B．与的图象关于轴对称
C．向右平移个单位长度，得到的图象 D．向左平移个单位长度，得到的图象
【变式3-3】（2023·上海·高一校考期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（ ）
A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移
【变式3-4】（2023·河南南阳·高一校联考阶段练习）要得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
考点4 求图象变换前后的解析式
【例4】（2023·全国·高一专题练习）把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·福建·高三校联考期中）已知曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则下列曲线的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·北京·高三北京市大兴区第一中学校考阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·四川眉山·高一校考期中）将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
考点5 图象变换前后的重合问题
【例5】（2023·广东梅州·高三校考阶段练习）设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·浙江丽水·高三丽水中学校联考期末）将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）若把函数的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cs ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是（ ）
A． B． C． D．2
【变式5-4】（2023·江苏泰州·高一统考期末）将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则 .
考点6 由图象变换研究函数性质
【例6】（2023·四川达州·高一万源中学校考期中）（多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间内不存在零点，则的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式6-1】（2023·江苏盐城·高三校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·河南·高三校联考期中）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·福建泉州·高一校联考期中）把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线
C．图象的一个对称中心为 D．在区间上的最小值为
考点7 三角函数图象变换综合应用
【例7】（2022·江苏苏州·高一统考期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．是的最小值
C．在区间上的值域为
D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
【变式7-1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．
（1）求，的值；
（2）将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．
【变式7-2】（2023·四川达州·高一万源中学校考阶段练习）如图是函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．
（1）求函数的解析式及上的单调增区间；
（2）若时，函数的最小值为，求实数a的值.
【变式7-3】（2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）已知函数（，，）同时满足下列四个条件中的三个：①当时，函数值为0；②的最大值为；③的图象可由的图象平移得到；④函数的最小正周期为．
（1）请选出这三个条件并求出函数的解析式；
（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式7-4】（2023·北京·高三人大附中校考阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）求出实数m，n，p的值；
（2）求出函数的解析式；
（3）将图象向左平移个单位，得到的图象．若为偶函数，求t的最小值．
考点8 三角函数在物理中的应用
【例8】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）（多选）已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t（s）时离开平衡位置的位移s（cm）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（ ）
A．小球开始时在平衡位置上方2cm处 B．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处
C．经过小球重复振动一次 D．小球振动的频率为
【变式8-1】（2023·云南昆明·高一统考期末）一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开O的位移（单位：cm），t表示振动的时间（单位：s），则该简谐振动的振幅为 cm，振动的最小正周期为 s．
【变式8-2】（2023·甘肃白银·高一校考期末）主动降噪耳机工作的原理：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同､相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线，其中振幅为，且经过点.
（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
（2）求函数的单调递减区间与图象的对称中心.
考点9 三角函数在圆周中的应用
【例9】（2023·湖北十堰·高一校考阶段练习）（）如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则（ ）
A．该大风车旋转的周期为12秒 B．该大风车旋转时，离开地面的最大高度为5米
C．点P距离地面的距离为3米 D．点P距离地面的距离为4米
【变式9-1】（2023·安徽合肥·高一肥东县综合高中校考阶段测试）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车(即圆周)的直径为米，其中心（即圆心）到水面的距离为米，逆时针匀速旋转一圈的时间是秒．水车边缘上一点距水面的高度为单位；米，水车逆时针旋转时间为单位：秒当点在水面上时高度记为正值；当点旋转到水面以下时，点距水面的高度记为负值．过点向水面作垂线，交水面于点，过点作的垂线，交于点从水车与水面交于点时开始计时，设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．
（1）求与的函数解析式；
（2）当雨季来临时，河流水量增加，点到水面的距离减少了米，求的大小精确到；
（3）若水车转速加快到原来的倍，直接写出与的函数解析式．
参考数据：
【变式9-2】（2023·江苏连云港·高一新海高级中学校考阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为45米，最低点距离地面5米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要10分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.设经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知.（，，）.

（1）试求的解析式.
（2）求游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15米时的时刻.
考点10 三角函数在生活中的应用
【例10】（2023·四川绵阳·高一南山中学校考阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．
（1）根据以上数据，求出函数的表达式；
（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为米，安全条例规定至少要有米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内何时能进入港口？
【变式10-1】（2023·湖北襄阳·高一宜城市第一中学校联考期中）建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.
（1）求的表达式；
（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
【变式10-2】（2023·四川内江·高一内江市第六中学校考阶段练习）长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象．
（1）根据图像，试求（，，）的表达式；
（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！）
【变式10-3】（2023·山东淄博·高一淄博实验中学校考阶段练习）少林寺作为国家级旅游景区，每年都会接待大批游客，在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在1月份最少，在7月份最多，相差约400；
③1月份入住客栈的游客约为300人，随后逐月递增，在7月份达到最多.
（1）试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
（2）请问客栈在哪几个月份要至少准备600份食物?
过关检测
1．（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习） 的一段图象如图，则其解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东深圳·高一深圳市光明区高级中学统考期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．（2023·广东佛山·高一校考期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
4．（2023·重庆渝中·高一巴蜀中学校考期中）为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
5．（2023·江西南昌·高一校联考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（ ）
A． B． C．2 D．－2
6．（2023·上海·高一行知中学校考阶段练习）将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）若函数的图象的对称轴与函数的图象对称轴完全相同，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江温州·高一校考阶段练习）（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的表达式可以写成
B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C．在区间上单调递增
D．若方程在上有且只有6个根，则
10．（2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）（多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数图象的一个对称中心坐标为
C．在区间上，函数与都单调递减
D．，，使得
11．（2023·天津·高一天津市第一百中学校考阶段练习）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数，则的可能取值是 （只需填一个值）
12．（2023·云南·高一云南师大附中校考期末）函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则 ．
13．（2022·广东·高二校联考期末）函数（，）的部分图象如图所示，直线（）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，则 .
14．（2023·河南南阳·高一校联考阶段练习）“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，摩天轮总高128米，转轮直径约为114米，共有28个酷似太空舱胶囊的全景式进口轿厢，每个轿厢可容纳25人“湾区之光”旋转一圈的时间是28分钟，摩天轮开启后按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t（单位：min）后距离地面的高度为H（单位：m）．

（1）若以摩天轮在地面上的投影所在直线为轴，过摩天轮的中心且垂直轴的直线为轴建立直角坐标系，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）若游客甲进舱分钟后游客乙进舱，在运行一周的过程中，记（单位：m）表示甲、乙两人距离地面的高度差，求游客甲进舱多长时间后，第一次达到最大值，最大值是多少？
x
－eq \f(φ,ω)
－eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
0
x
m
n
p
1
6
1
1
时刻
水深(米)