【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题08 三角函数的图象与性质（12大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 三角函数的图象与性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
知识2 三角函数的定义域与值域
1、三角函数的定义域求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
2、三角函数的值域求法
（1）正余弦型：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acs(ωx＋φ)＋b)，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cs(ωx＋φ))的范围，最后求得最值
（2）二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
（3）和差积换元型：形如sin xcs x±(sin x±cs x)，利用sin x±cs x和sin xcs x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题
（4）分式型： = 1 \* GB3 ①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； = 2 \* GB3 ②判别式法
知识点3 三角函数的单调性问题
1、求三角函数的单调区间
（1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；
（2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间
求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
2、已知单调性求参数的范围
（1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq \f(1,4)周期列不等式(组)求解
知识点4 求ω取值范围的常用解题思路
1、依托于三角函数的周期性
因为f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T=2πω，所以ω=2πT，也就是说只要确定了周期T，就可以确定ω的取值.
2、利用三角函数的对称性
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而确定ω的取值.
3、结合三角函数的单调性
函数fx=Asin(ωx+φ)的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于T2，据此可用来求ω的值或范围。
反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数fx=Asin(ωx+φ)在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
考点剖析
考点1 三角函数的定义域问题
【例1】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，可得．
当时，函数单调递增．
所以当时，单调递增．
故在上单调递增．故选：A.
【变式1-1】（2023·浙江宁波·高一宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域是，
所以函数有意义需满足，
解得，
故函数的定义域为，故选：B
【变式1-2】（2023·内蒙古包头·高一统考期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，解得，
函数的定义域为.故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】要使函数有意义，
则，即.
在上满足上述不等式的的取值范围是.
又因为的周期为，
所以函数的定义域为.
【变式1-4】（2023·辽宁本溪·高一校考期中）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】由，得，，
在数轴上表示如图所示，
所以.
考点2 求三角函数的值域（最值）
【例2】（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）函数的最大值与最小值之差为（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
由的图像与性质知，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，所以最大值与最小值之差为，故选：D．
【变式2-1】（2023·江苏·高一专题练习）函数在的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，
令，，
因为，所以，
，对称轴为，图象开口向下，
当时，取得最大值，，
当时，取得最小值，，
所以在的值域为故选：B
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是 ．
【答案】
【解析】由，可得，
当时等式不成立，∴，则有，
∵，∴，，或，
∴函数的值域是.
【变式2-3】（2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知为钝角，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】为钝角，，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为.
【变式2-4】（2023·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）已知.
（1）若，求在上的值域；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意可知，
令,当时，
由在上单调递增，在上单调递减，则，
令，
由在上单调递增，在上单调递减，
则，，所以.
（2）由（1）可知：，
令，则，
令，
由在上单调递增，在上单调递减，
则.
考点3 由三角函数的值域求参
【例3】（2023·安徽阜阳·高一阜南实验中学校考阶段练习）已知函数的值域是，则实数的值等于（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】C
【解析】当时，由，得，
因为的值域为，所以，解得，
当时，显然不符合题意；
当，由，得，
因为的值域为，所以，解得，故选：C
【变式3-1】（2023·四川成都·玉林中学校考模拟预测）当时，函数的值域是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一：由题意，画出函数的图象，由，可知，
因为且，
要使的值域是，只要，即；
解法二：由题，可知，
由的图象性质知，要使的值域是，
则，解之得．故选：D.
【变式3-2】（2023·四川成都·玉林中学校考模拟预测）函数的最小正周期为，其图象关于点对称，且当时，的值域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的最小正周期为，
则，所以，，
又因为函数的图象关于点对称，
则，解得，
因为，故，故，
当时，，
且函数在上的值域为，
所以，，解得，故选：D.
【变式3-3】（2023·天津河东·高三校考阶段练习）函数，函数的值域为，则 ．
【答案】
【解析】当时，，正弦函数在上递增，在上递减，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，即函数的值域为，所以.
【变式3-4】（2023·北京海淀·高一北大附中校考期中）已知．当，时，的取值范围为，则的一个取值为 ．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】由题设，，又的取值范围为，
所以区间内至少含最大、最小值各一个，
当，则，取不到最小值；
当，则，取不到最大值；
当，则，可同时取到最大、最小值.
考点4 求三角函数的单调区间
【例4】（2023·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由的图象与性质，的单调减区间为，，
所以D符合题意，故选：D.
【变式4-1】（2023·浙江温州·高一温州市第五十一中学校考阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【解析】，可化为，
故单调增区间满足：，，解得，.
令，，令，，
，所以的单调递增区间是，.故选：D
【变式4-2】（2023·广东江门·高一鹤山市第一中学校考期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间,
令，，解得，，
所以原函数的单调递减区间为，.故选：．
【变式4-3】（2023·重庆·高一校联考期末）函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令,所以，
当，由于，故D正确，ABC均错误，故选：D
【变式4-4】（2023·高一单元测试）函数的单调区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为.故选：D.
考点5 由三角函数的单调性求参
【例5】（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）（多选）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为，故，
由函数在区间内单调递增，
故，所以．故选：BC．
【变式5-1】（2023·山东烟台·统考二模）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，所以，
又，所以，且函数在上单调递增，
所以，解得，即的取值范围为.故选：D
【变式5-2】（2023·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）（多选）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，
所以根据余弦函数的性质可得函数在上的单调递减，
由于函数与函数在上的单调性相同，
所以函数在上单调递减，
所以解得，
当时，，B满足，
当时，，C满足，故选:BC.
【变式5-3】（2023·河北衡水·高一校考阶段练习）函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
因为函数在上的最大值为，最小值为，
所以，即，所以
令，，因为在上单调递增，
在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知，
函数在上单调递增，
所以，解得：，
，解得：，
因为，则，所以，解得：.
故.故选：D.
【变式5-4】（2023·北京丰台·高一统考期末）若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由函数的图象与性质，可得函数在区间上单调递增，
当时，
可得，
此时函数满足在区间上单调递增，
当时，，所以常数的一个取值可以为.
考点6 三角函数的奇偶性
【例6】（2023·山东烟台·高一校考期末）下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，定义域关于原点对称，
则,所以是偶函数，故A错误;
由，定义域关于原点对称，
则,所以是偶函数，故B错误；
由，定义域关于原点对称，
则，所以是奇函数，故C正确；
由，定义域关于原点对称，
则，且，
所以非奇非偶，故D错误.故选：C
【变式6-1】（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A选项，的定义域为R，且，
故为奇函数，A错误；
B选项，的定义域为R，且，
故为奇函数，B错误；
C选项，的定义域为R，且，
故为偶函数，C正确；
D选项，的定义域为R，且，
故不是偶函数，D错误.故选：C
【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）偶函数；（2）奇函数；（3）非奇非偶函数
【解析】（1）的定义域为R，，
因为，所以为偶函数.
（2）由得，
解得定义域为，关于原点对称，
又
，
所以为奇函数.
（3）由，即，解得，
所以，定义域不关于原点对称，
所以，该函数既不是奇函数也不是偶函数.
【变式6-3】（2022·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A． B．1 C．1或 D．
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，
所以，则，
所以.故选：A.
【变式6-4】（2023·福建宁德·高一校考期末）（多选）设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】依题的，又其为偶函数，
则图像关于轴对称，则，得，
又，则或.故选：AC
考点7 三角函数的周期性
【例7】（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的周期.
（1）; （2）;
（3）; （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）因为，
由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
（2）因为，
由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
（3）因为，
由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
（4）因为，
由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
【变式7-1】（2023·全国·高一专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对选项A：，函数定义域为，
，函数为偶函数，排除；
对选项B：，函数定义域为，
，函数为偶函数，排除；
对选项C：，函数定义域为，
，函数为偶函数，排除；
对选项D：，函数定义域为，
，函数为奇函数，，满足条件；故选：D.
【变式7-2】（2023·河南开封·高一校考阶段练习）下列函数中，以为周期的奇函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，,函数的定义为,
，
所以以为周期的偶函数，故A错误；
对于B，，,函数的定义为,，所以以为周期的奇函数，故B正确；
对于C，，,函数的定义为，，
所以以为周期的奇函数，故C错误；
对于D，函数的定义为，，
所以为偶函数，故D错误.故选：B.
【变式7-3】（2023·全国·高一专题练习）函数的周期为 ．
【答案】
【解析】由题意得的周期为，所以的周期为.
【变式7-4】（2023·全国·高一专题练习）若，则 .
【答案】0
【解析】因为的周期，
且，，，则，
因为，所以.
考点8 三角函数的对称性
【例8】（2023·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）函数的（ ）
A．图象关于x轴对称 B．图象关于y轴对称 C．图象关于原点对称 D．以上都不对
【答案】C
【解析】由题意：，，
设，，
所以为奇函数，由奇函数性质得其图象关于原点对称，故C项正确.故选：C.
【变式8-1】（2023·四川成都·高一期末）函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】时，不是对称轴；
时，不是对称轴；
时，是对称轴；
时，不是对称轴；故选：C
【变式8-2】（2023·河北唐山·高一期末）（多选）函数的图象为M，则下列结论正确的是（ ）
A．图象M关于直线对称 B．图象M关于点对称
C．在区间单增 D．图象M关于点对称
【答案】AB
【解析】对于A，将代入中，得，
即此时取到最大值，故图象M关于直线对称，A正确；
对于B，将代入中，得，
则图象M关于点对称，B正确；
对于C，时，，由于在上单调递增，
在上单调递减，即在上不单调，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在区间上不单调，C错误；
对于D，将代入中，得，
则图象M不关于点对称，D错误；故选：AB
【变式8-3】（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的对称中心为 .
【答案】，.
【解析】令，解得
故函数的对称中心为，.
【变式8-4】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为的图象关于原点中心对称，
所以，又，故的最小值为．
考点9 三角函数的识图问题
【例9】（2023·江苏淮安·高一统考期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的部分图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为R，且，
故为奇函数，关于原点对称，CD错误；
当时，，故，A正确，B错误；故选：A
【变式9-1】（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以ACD错误.故选：B
【变式9-2】（2023·福建漳州·高一统考期末）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，所以为偶函数，故排除BD；
当时，，，则，故排除C.故选：A．
【变式9-3】（2023·全国·高三校联考期末）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为，关于原点对称，
因为，所以为奇函数，故排除C,D,
又，所以排除B,故选：A
【变式9-4】（2023·重庆·高一重庆市第七中学校校考期末）已知函数，则在上的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，
即函数为上的奇函数，所以其图象关于原点对称，排除AB；
不妨取，则，排除D，故选：C
考点10 比较三角函数值的大小
【例10】（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）若，，，则a，b，c为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于，故，而，故，
又，即，故选：B
【变式10-1】（2023·河南驻马店·高一校联考期中）设，，，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，又，且在上递增，
∴，而，所以，∴．故选：B．
【变式10-2】（2023·江西九江·高一统考期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以，
，所以，
，所以.故选：D
【变式10-3】（2023·辽宁辽阳·高一统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为，
又因在上单调递增，所以，
又，在上单调递增，所以，所以．故选：A
【变式10-4】（2023·四川绵阳·高一江油中学校考期中）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A选项：因为在上单调递增，且，
所以有，故A错误；
B选项：因为在上单调递增，且，
所以有，故B错误；
C选项：在上单调递减，且，
所以有，故C错误.
D选项：因为在上单调递增，且，
所以，
由在上单调递增，且，
所以，所以，故选：D.
考点11 三角函数中ω的范围
【例11】（2023·吉林白山·高一统考期末）（多选）若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】BD
【解析】因为，所以，
所以由题意得，Z，解得，Z,
为负整数时，的范围时小于零的，与已知不符.
时，；时，.
因为，故A不正确；由题可知BD正确，C不正确.故选：BD．
【变式11-1】（2023·湖北黄冈·高一校考期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
∵函数在区间内单调递增，∴，∴，
∵，∴，
若在区间上单调递增，则，，解得，
当时，，又因为，∴.故选：A
【变式11-2】（2023·重庆·高一重庆十八中校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上单调递增，
由，，
所以且，解得且，所以；
又因为在区间上只取得一次最大值，
即时，；
所以，解得；
综上，，即的取值范围是．故选：D.
【变式11-3】（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知，若函数的图象关于对称，且函数在上单调，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】由函数，
因为函数的图象关于对称，可得，
解得，解得，
又因为在上单调，所以，
则满足，即，解得，
当时，可得，满足条件；当时，可得，不满足条件，所以.故选：D.
【变式11-4】（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.故选：D.
考点12 三角函数的零点问题
【例12】（2023·吉林·高一吉林一中校考期末）已知函数的图象过点，若在内有4个零点，则a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意知，函数的图象过点，所以，解得，
因为，所以，所以，
当时，可得，
因为在内有4个零点，结合正弦函数的性质可得，
所以，即实数a的取值范围是．
【变式12-1】（2023·广东惠州·高一惠州一中校考阶段练习）函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由在上有两个零点，
则在上有两个实数根，所以,,
又因为，所以在上有两个不同的实数根，则.
【变式12-2】（2023·福建莆田·高一校考阶段练习）已知函数，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出函数的图象如图，
不妨设，且，
则函数与直线的三个交点从左到右依次为：，，，
点与在上，，
则与关于直线对称，则，
若，解得，所以，
所以，即.故选：C.
【变式12-3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数，
当时，方程可化为，
解得，则当时，，
当时，方程可化为，解得，
则当时，
因为根据方程在上恰有5个不同实根，
所以这5个不同实根为，则，故选：D.
【变式12-4】（2023·广东深圳·高一校考阶段练习）已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
当时，，，
画出函数图像，如图所示：
函数在有6个不同零点有以下四种可能：
①方程有两个不同的实根和且方程有两个根，
且方程有四个不同的实根，
由函数的图像知，且，令，
则需，解得；
②方程有两个不同的实根和且方程有零个根，
且方程有六个不同的实根，
函数的图像知，且，
由于，则需，解得；
③方程有两个不同的实根和且方程有1个根，
且方程有5个实根成立，则需，此时无解；
④方程有且只有1个根且方程有6个根，
计算得或，或，不合题意；
综上所述：或.故选：A.
过关检测
1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，所以为奇函数，故A不正确；
对于B，，所以为奇函数，故B不正确；
对于C， ，所以为奇函数，故C不正确；
对于D， ，所以为偶函数，故D正确.故选：D.
2．（2023·甘肃定西·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题知，即，解得，
故函数的定义域为.故选：B
3．（2023·河北邯郸·高一磁县第一中学校联考阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，定义域为R，将代入得，即为偶函数，
而在上单调递增，不符合题意；
对于B选项，定义域为R，将代入得，即为奇函数，不符合题意；
对于C选项，定义域为，
将代入得，即为偶函数，
当时，为对勾函数，
在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于D选项，定义域为R，将代入得，即为偶函数，
而在上单调递减，所以在上单调递减，即D符合题意.故选：D.
4．（2022·安徽宣城·统考二模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在上为减函数，且，
所以，所以，即，
因为在上为减函数，且，
所以，所以，即，
因为在上为增函数，且，
所以，所以，即，所以，故选：A
5．（2023·贵州黔西·高一校考阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是偶函数，
所以，即，
又，所以.故选：C.
6．（2023·福建福州·高一校联考期中）函数在的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】， ，定义域关于原点对称，
，
是奇函数，排除A；
当时，，排除C；
当时，中，
故，排除B.故选：D
7．（2023·江苏·高一校联考阶段练习）已知，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
设，则的开口向下，对称轴，
所以函数在上单调递增，
所以，也即的最大值为.故选：A
8．（2023·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数，对于任意的，方程恰有一个实数根，则m的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于任意的，恰有一个实数根，
等价于函数与有1个交点，
因为，所以，
当时，，
画出函数的图象如下：
要想满足要求，则，解得，故选：D
9．（2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．在区间上有两个零点
【答案】ABD
【解析】对于A：，A正确；
对于B：，B正确；
对于C：，C错误；
对于D：当时，，函数在上有两个零点，
故在区间上有两个零点，D正确.故选：ABD.
10．（2023·福建厦门·高一厦门第二中学校考阶段练习）（多选）关于函数的叙述正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在区间单调递減
C．在有4个零点 D．是的一个周期
【答案】AB
【解析】A.因为的定义域为，
又，∴是偶函数，故A正确；
B.当时，，在单调递减，故B正确；
C.当时，令，得或，
又在上为偶函数，∴在上的根为，0，，有3个零点，故C错误；
D. ，
所以不是的一个周期，故D错误．故选：AB.
11．（2023·江苏·高一专题练习）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】令，
因为，即，所以由正切函数的图象可知，
所以原函数可化为，，
又因为二次函数的图象开口向上，对称轴方程为，
所以当时，，
当时，，
所以的值域为.
12．（2023·广东佛山·高一九江中学校考阶段练习）若函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数的值可以是 ．
【答案】（区间上的任何一个值都满足）
【解析】由于，所以
故，所以．
故答案为：（区间上的任何一个值都满足）
13．（2023·辽宁丹东·高一校考期中）已知函数满足条件：的最小正周期为，且，则函数的解析式是 .
【答案】或
【解析】由题意，则，
又，即的图象关于直线对称，
所以，则，
当为偶数时，则，
当为奇数时，则.
14．（2023·重庆·高一重庆十八中校考阶段练习）已知函数.
（1）求函数在上的单调递减区间；
（2）若在区间上恰有两个零点，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对于，
令，解得，
因为，当时，；当时，；
所以在上的单调递减区间为.
（2）因为在区间上恰有2个零点，
所以在有两个根，
令，解得，
所以当时，函数图像的对称轴为，
所以，则，
又，则，
所以.
15．（2023·江苏扬州·高一江苏省邗江中学校考阶段练习）已知，对任意都有，
（1）求的值；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因为对任意都有，所以是的对称轴，
可得，即，，解得，，
又，.
（2）由（1）知，，
当时，，则，
令，则，
存在，使成立，
即存在，使，则存在，使成立，
令，，
任取，则，
当时，，，
则，即，所以在上单调递减，
当时，，，
则，即，所以在上单调递增，
则时，，或2时，，
即，所以，
所以实数的取值范围为.
（3）即，
化简整理得，，对任意恒成立，
令，，则恒成立，
即，对任意恒成立，
又，
当且仅当即时等号成立，
，所以实数的取值范围为.图象
定义域
值域
[-1,1]
[-1,1]
最值
时，
时，
时，
时，
周期性
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
对称性
对称轴方程：
对称中心
对称轴方程：
对称中心
对称中心