【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题04 函数的概念及表示（10大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 函数的定义及相关概念
1、函数的定义：设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A
【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。
（1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；
（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；
（3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；
（4）方向性：A→B
2、函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3、同一个函数：两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数。
知识点2 函数定义域的求法
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、具体函数的定义域求法
（1）分式的分母不能为零.
（2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.
（3）零次幂的底数不能为零，即中.
（4）若函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
2、抽象函数与复合函数定义域的求法
复合函数的定义域是指的范围，而不是的范围。
（1）已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围（值域）为，求的取值范围;
（2）已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求出的范围（值域），即的定义域.
（3）已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域，即的取值范围，再根据的取值范围求出的范围。
知识点3 函数解析式的求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题
（1）先令，注意分析的取值范围；
（2）反解出x，即用含的代数式表示x；
（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
然后以x替代g(x)，便得的解析式．
4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，
可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
知识点4 分段函数
1、分段函数的定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2、分段函数的性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；
各段函数的定义域的交集是空集．
（2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
3、求分段函数的函数值
（1）分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
（2）若题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
（3）已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
考点剖析
考点1 函数定义的理解与辨析
【例1】（2023·全国·高一专题练习）某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（ ）
A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数
【答案】B
【解析】对于AD，由于同学姓名非数字，故AD错误；
对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，
则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；
对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，
则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误；故选：B.
【变式1-1】（2023秋·安徽阜阳·高一校考阶段练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数值域中的每一个数在定义域中都有数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同
D．表示当时，函数的值，这是一个常量
【答案】AD
【解析】对A，函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，
所给出的对应是否可以确定为y是x的函数，
主要是看其是否满足函数的三个特征，A正确；
对B，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，
如函数，定义域为，值域为，B错误；
对C，当x不同时，函数y的值可能相同，如函数，当和时，y都为1，C错误；
对D，表示当时，函数的值是一个常量，D正确.故选：AD
【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；
对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数；
对于C选项，当时，不存在，不是函数；
对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.故选：A
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知集合=，集合=，下列能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对于选项A：显然当时，在集合中，没有与之对应的实数，
故不表示从集合到集合的函数关系，所以本选项不符合题意；
对于选项B：当时，任意一个，在集合中，都有唯一与之对应的实数，
故表示从集合到集合的函数关系，所以本选项符合题意；
对于选项C：显然当时，在集合中有两个数与之对应，
故不表示从集合到集合的函数关系，所以本选项不符合题意；
对于选项D：当时，任意一个，在集合中，都有唯一与之对应的实数，
故表示从集合到集合的函数关系，所以本选项符合题意，故选：BD
【变式1-4】（2022秋·高一单元测试）（多选）下列图象中，能表示函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对于选项ABC，当取一个值时，有唯一值与之对应，符合函数定义，故ABC正确；
D选项，当取一个值时，有两个值与之对应，不符合函数的定义，故D错误.故选：ABC
考点2 同一个函数的判断
【例2】（2022秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）以下四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【解析】从定义域，对应关系，值域是否相同，逐项判断即可．
对于A：的值域为，的值域为，所以A错误；
对于B：的定义域需满足，即为，
的定义域满足，即为，且，
所以和是同一个函数，B正确；
对于C：的定义域为，的定义域为，所以C错误；
对于D：的定义域满足，即为，
的定义域需满足，即为，所以D错误，故选：B
【变式2-1】（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列各组中的两个函数为同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A项：的定义域不包括，两个函数的定义域不同，所以是不同函数；
B项：，即对应关系不同；
C项：定义域都是实数集，对应关系都相同，是同一函数；
D项：的定义域不包括，两个函数的定义域不同，所以是不同函数.故选: C.
【变式2-2】（2023秋·河南郑州·高一校考阶段练习）下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【解析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可.
对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；
对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；
对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，
所以表示相同的函数；
对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.故选：C
【变式2-3】（2023秋·宁夏银川·高一校考期中）（多选）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABC
【解析】对A，，与定义域不同；
对B，，与定义域不同；
对C，，与定义域不同；
对D，，则与为同一函数.故选：ABC
考点3 求具体函数的定义域
【例3】（2023秋·宁夏银川·高一校考期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则解得，且，
故函数的定义域为．故选：C
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，
则，解得且，
因此，函数的定义域为.故选：C.
【变式3-2】（2023秋·广东梅州·高一校考期中）函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】由题意，在中，
，解得：且，
故答案为：.
【变式3-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】依题意可得，解得且.
所以函数的定义域为.
考点4 求抽象函数的定义域
【例4】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于函数可知：，所以，即的定义域为，
对于函数可知：，解得，
故的定义域是．故选：C.
【变式4-1】（2023秋·河北唐山·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【解析】对于，令，则，
所以，即的定义域为.
故答案为：
【变式4-2】（2023秋·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【解析】函数的定义域为，
令，解得，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【变式4-3】（2023秋·重庆·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，解得，
又，解得，故函数的定义域是 ．故选：D．
考点5 由函数定义域求参数
【例5】（2023·全国·高一专题练习）函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意函数在上有意义，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，解得，
故实数a的取值范围为，
【变式5-1】（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意得，在R上恒成立，
当时，，成立；
当时，，即，解得；
综上所述，.
【变式5-2】（2023秋·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值集合是 .（用区间表示）
【答案】
【解析】若函数的定义域为，则对任意实数恒成立，
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，若，
则需满足，解得：；
综上所述：.即.
【变式5-3】（2023秋·福建漳州·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【解析】由函数的定义域为R，得，恒成立.
当时，恒成立；
当时，，解得.
综上所述，实数a的取值范围为.故选：C.
考点6 待定系数法求解析式
【例6】（2023秋·福建厦门·高一校考阶段练习）已知是一次函数，且，则 .
【答案】
【解析】设，因为，
则，，故，，所以.
【变式6-1】（2023·全国·高一专题练习）设为一次函数且，求.
【答案】或
【解析】设，则.
又，∴，
即，解得或.
∴或.
∴或.
【变式6-2】（2023秋·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知函数是一次函数，且，则（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】A
【解析】设，
则，
整理得，
所以，解，
所以，所以.故选：A
【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，由得:图象的对称轴为直线，
设二次函数为，
因的最大值是8，所以，当时， ，
即二次函数，
由得:，解得：，
则二次函数，故选：A.
【变式6-4】（2023秋·福建南平·高一校考阶段练习）设二次函数满足，且，求的解析式.
【答案】
【解析】设二次函数为，
因为，所以，所以，
又因为，
即，
所以，解得：，
所以函数解析式为.
考点7 换元法/配凑法求解析式
【例7】（2023秋·福建漳州·高一校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，则，，
所以，
所以的解析式为：，故选：B.
【变式7-1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，可得.
所以，
因此的解析式为.故选：D.
【变式7-2】（2023秋·安徽阜阳·高一校考阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】，且，
所以，.故选：B.
【变式7-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以.故选：D.
【变式7-4】（2023·全国·高一专题练习）已知，则函数 ，= ．
【答案】 11
【解析】令，则，
所以，所以，
所以.
考点8 方程组法求解析式
【例8】（2023秋·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得①，
又②，①＋②得：，解得，故选：A．
【变式8-1】（2023秋·浙江温州·高一校考阶段练习）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 .
【答案】
【解析】因为，取，则，即，
两式相加可得，所以.
【变式8-2】（2023秋·全国·高一专题练习）已知，求函数的解析式．
【答案】
【解析】①，
以替换，得②，
得：，
所以.
【变式8-3】（2023秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知满足，则解析式为 ．
【答案】
【解析】由 ①
用代可得， ②
由①②可得：
考点9 分段函数求值与求参
【例9】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，那么的值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【解析】因为函数，所以.故选：A.
【变式9-1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，当时，，的值分别为（ ）
A．1，0 B．0，0 C．1，1 D．0，1
【答案】A
【解析】当x为有理数时，，,
,
当x为无理数时，，，
，，故选：D
【变式9-2】（2023秋·广东佛山·高一佛山一中校考开学考试）函数可用表示，例如，当时，．若函数．则的值为 ．
【答案】
【解析】，
.故答案为：.
【变式9-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，解得.故选：C
【变式9-4】（2023秋·广东东莞·高一校联考阶段练习）已知函数，且.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）-2；（2）.
【解析】（1），由于，故，解得
故，所以.
（2）当时，，解得，舍去；
当时，，解得或-1，
其中不符合题意，舍去；
综上所述，.
考点10 解分段函数不等式
【例10】（2023·江苏·高一专题练习）已知，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知，
当时, ，由得，；
当时，，由得，解得，此时不等式无解；
当时，，由，得，解得，此时不等式无解．
综上所述，的取值范围是．故选：C．
【变式10-1】（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知函数，令，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】由题知，当时，即，解得：，
此时，；
当，即，解得：或，此时，；
.
由，得：或或，解得：，
故答案为：.
【变式10-2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数则使成立的的值组成的集合为 .
【答案】
【解析】由题意可得或
由解得；
由解得.
综上所述，使成立的的值组成的集合为.
【变式10-3】（2023·全国·高一专题练习）已知，满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若，则，故，
由可得，
当，则，故，
由可得，
当时，则不符合要求，
综上可知：的取值范围为
【变式10-4】（2023·全国·高一专题练习）设函数,若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】（i）当，即时，，，
由得，即，
因为，所以恒成立，所以；
（ii）当，即时，，，
由得，即，
即恒成立，所以；
（iii）当，即时，，，
由得，即，所以，
综上所述：的取值范围是.
过关检测
1．（2023·江苏·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，解得且，
所以函数的定义域为.故选：C．
2．（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）若，则下列等式中组成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，则,
故即．故选：A．
3．（2023秋·山东青岛·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【解析】由已知可得，，解得，或.故选：A．
4．（2023秋·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域是，所以，
令，解得，所以函数的定义域为.故选：D
5．（2023秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意得．故选：B．
6．（2023·全国·高一专题练习）设，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，由得：，解得：或，；
当时，由得：，解得：，；
不等式的解集是.故选：A.
7．（2023秋·吉林长春·高一校考阶段练习）（多选）下列是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，
因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD.
8．（2023秋·四川眉山·高一校考阶段练习）（多选）下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】AC
【解析】对于A项，的定义域为R，的定义域为R，且，
所以，与为同一个函数，故A项正确；
对于B项，的定义域为R，的定义域为，定义域不一致，
所以，与不为同一个函数，故B项错误；
对于C项，的定义域为，的定义域为，
且解析式表达形式一致，所以，与为同一个函数，故C项正确；
对于D项，解，可得或，
所以定义域为.解可得，，
所以，定义域为.
所以，与的定义域不一致，故D项错误.故选：AC.
9．（2023秋·广东惠州·高一校考阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】因为的定义域为，即，所以，
即函数的定义域为，
所以的定义域为不等式组的解集，
解此不等式组得：，
所以函数的定义域为.
10．（2023秋·重庆沙坪坝·高一校考阶段练习）若函数，则 .
【答案】
【解析】由，
.
11．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）已知函数，若，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】当时，显然不成立；
当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，解得．
综上所述，a的取值范围为或
故答案为：
12．（2023秋·江苏镇江·高一校考阶段练习）已知函数.
（1）求函数的定义域并求；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）定义域为或，，；；（2）.
【解析】（1）由解析式知：，可得且，故定义域为或，
，
.
（2）由，
所以，显然在定义域内，所以.
13．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，设函数为，
，
，即，
由恒等式性质，得，，，
所求函数解析式为
（2）令，则，，
因为，所以，
所以.
14．（2023秋·江苏无锡·高一校考阶段练习）求下列函数的解析式
（1）设函数是一次函数，且满足，求的解析式
（2）设满足，求的解析式
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）设一次函数的解析式为，
则，
所以，解得，或，
所以或.
（2）由①，
得②，
①②得，即.
15．（2023秋·重庆南岸·高一校考阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围；
（2）的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意可知：在上恒成立，
当，即时，，即，不合题意；
当，即时，，解得，
综上所述：的取值范围是；
（2）由题意可知：的值域包含，
当时，，因为，可得，
所以的值域为，符合题意；
当时，则，解得，
综上所述：实数的取值范围是．