数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案

这是一份数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案，共6页。学案主要包含了易错警示等内容，欢迎下载使用。

根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式与斜截式方程．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 直线的点斜式方程
如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程____________称为直线l的点斜式方程❶，简称点斜式．
当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x＝x0.
要点二 直线的斜截式方程
如图所示，直线l的斜率为k，且与
y轴的交点为(0，b)，则方程________称为直线l的斜截式方程，简称斜截式．
直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标称为直线l在y轴上的截距❷.
批注❶ 前提条件是：已知一点P(x0，y0)和斜率k；斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
批注❷ 截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能为0，不能将其理解为“距离”就恒为正．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式．( )
(2)当直线l的倾斜角为0°时，过点P0(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.( )
(3)对点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.( )
(4)直线在y轴上的截距就是直线与y轴交点到原点的距离．( )
2．过点P(－2，0)，斜率为3的直线的方程是( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1
4．经过点(1，2)，且倾斜角为90°的直线方程是( )
A.y＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．x＝2
5．将直线l1：y＝x＋绕其与x轴的交点逆时针旋转90°后得到直线l2，则l2在y轴上的截距为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1 直线的点斜式方程
例1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
方法归纳
求直线的点斜式方程的步骤
特别提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标都相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.
巩固训练1 (1)经过点(1，2)，且倾斜角为45°的直线方程是( )
A．y＝x－3 B．y＝x＋1
C．y＝－x－3 D．y＝－x＋3
(2)已知直线l过点P(，－1)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程是________．
题型2 直线的斜截式方程
例2 求下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；
(3)倾斜角为150°，与y轴的交点到原点的距离为3.
方法归纳
求直线的斜截式方程的策略
巩固训练2 (1)已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝x－2
(2)斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m＝________时，直线过点(1，1)．
题型3 由直线的点斜式解决直线与坐标轴形成三角形问题
例3 已知直线l经过点(0，2)，其倾斜角为30°.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．
方法归纳
当已知一个定点时，可以设直线的点斜式方程，要求出与坐标轴围成的面积，必须求出直线与两坐标轴的交点坐标．
巩固训练3 直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
易错辨析 忽视倾斜角的范围出错
例4 一条直线l过点(2，1)且与x轴的夹角为45°，则这条直线方程为____________________．
解析：∵直线l与x轴的夹角为45°，
∴直线l的倾斜角α＝45°或135°.
∴直线l的斜率k＝1或－1.
∴直线l的方程为：y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)
即y＝x－1或y＝－x＋3.
答案：y＝x－1或y＝－x＋3
【易错警示】
第2章 平面解析几何初步
2．2 直线的方程
2．2.1 直线的点斜式方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
y－y0＝k(x－x0)
要点二
y＝kx＋b
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．
答案：D
3．解析：由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1.
答案：D
4．解析：∵直线倾斜角为90°，∴直线斜率不存在，又直线过点(1，2)，∴所求直线方程为x＝1.
答案：C
5．解析：易知l1的倾斜角为60°，所以l2的倾斜角为90°＋60°＝150°，又由题意知l2过点(－1，0)，所以l2的方程为y－0＝tan 150°·(x＋1)，即y＝－x－，从而可知l2在y轴上的截距为－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)∵经过点A(2，5)，斜率是4，
∴所求直线方程为y－5＝4(x－2)．
(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线方程为y－3＝x－2.
(3)∵经过点C(－1，－1)，与x轴平行，
∴斜率为0，
∴方程为y＋1＝0.
巩固训练1 解析：(1)k＝tan 45°＝1，直线方程为y＝x－1＋2＝x＋1.
(2)∵直线y＝x的斜率为，
∴直线y＝x的倾斜角为60°，
∵直线l的倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍
∴直线l的倾斜角为120°，即直线l的斜率为tan 120°＝－，
∵直线l过点P(，－1)，
∴直线l的方程为y－(－1)＝－(x－)，即y＝－x＋2.
答案：(1)B (2)y＝－x＋2
例2 解析：(1)直线的斜率k＝－4，在y轴上的截距b＝7，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y＝－4x＋7.
(2)直线的斜率k＝0，在y轴上的截距b＝2，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y＝2.
(3)直线的倾斜角为150°，所以斜率为－.因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求的直线方程为y＝－x＋3或y＝－x－3.
巩固训练2 解析：(1)直线的斜率为tan 60°＝，由题意可知，所求直线的方程为y＝x－2.
(2)由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m.
∵直线过点(1，1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，1＝2×1＋m，∴m＝－1即为所求．
答案：(1)D (2)－1
例3 解析：(1)∵k＝tan 30°＝，
∴直线l的方程为：y－2＝x.
(2)由(1)令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝－2.
所以直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为：
S＝×2×|－2|＝2.
巩固训练3 解析：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2，
当k＝0时，l的方程为y＝2，经检验不符合题意，舍去，
当k≠0时，令y＝0得，x＝，
由三角形的面积为2，得×2＝2，解得k＝，
可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0；
综上可知，直线l的方程为x＝2或x－2y＋2＝0.出错原因
纠错心得
误认为夹角就是直线l的倾斜角，导致漏掉了倾斜角为135°的情形．
在处理直线问题时，一定要注意倾斜角的取值范围，否则很容易会出现只考虑锐角而丢掉钝角的情况，而漏解．