【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题27 直线（讲）.zip

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二、考点梳理
（一）．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．
4．直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.
5．斜率与倾斜角的对应关系
【注意】
1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．
2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系．学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．
3．运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)应注意的问题：
(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．
(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在
两条直线平行与垂直的判定
1.两条直线平行与斜率的关系
设两条不重合的直线，倾斜角分别为，斜率存在时斜率分别为.则对应关系如下：
2. 两条直线垂直与斜率的关系
（三）直线方程的表达形式
1. 直线的点斜式方程
方程由直线上一定点及斜率确定，我们把这个方程称为直线的点斜式方程，简称点斜式，适用于斜率存在的直线．
2．直线在轴上的截距
直线与轴的交点的纵坐标称为直线在轴上的截距．
3．直线的斜截式方程
方程由直线的斜率和它在轴上的截距确定，我们称这个方程为直线的斜截式方程，简称为斜截式．适用范围是斜率存在的直线
4. 直线方程的两点式和截距式
5. 线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))
6.直线的一般式方程
(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)斜率：直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，当B≠0时，其斜率是－eq \f(A,B)，在y轴上的截距是－eq \f(C,B).；当B＝0时，这条直线垂直于x轴，不存在斜率.
（四）两直线交点与两点间距离
1. 两条直线的交点
已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线方程组成的方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))有惟一解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0，,y＝y0，))则两直线相交，交点坐标为(x0，y0).
2. 两点间的距离
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|
（五）两平行直线间距离
1. 点到直线的距离
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
2. 两条平行直线间的距离
(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
(2)求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．
(3)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
三、考点分类剖析
考点一、直线的倾斜角与斜率
【例1】直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【变式练习1】直线经过，两点，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【变式练习2】已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式练习3】已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．不存在
考点二、两直线平行与垂直
【例2】
已知直线，若，则的值为______.
【例3】已知点，直线.
(1)求经过点P且与直线l平行的直线的方程；
(2)求经过点P且与直线l垂直的直线的方程.
【变式练习1】已知直线与平行，则的值为______.
【变式练习2】a为何值时，
(1)直线与直线平行？
(2)直线与直线垂直？
考点三、直线方程的三种形式
【例4】根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式方程：
(1)经过点，斜率为；
(2)在x轴和y轴上的截距分别是，.
【变式练习1】求符合下列条件的直线l的方程：
(1)过点，且斜率为；
(2)求直线AB的方程；
(3)经过点且在两坐标轴上的截距相等．
【变式练习2】已知直线与轴，轴的交点分别为.直线经过点且倾斜角为.
(1)求直线的一般方程；
(2)求线段的中垂线方程.
考点四、两直线的交点与两点间的距离
【例5】已知点，则为（ ）
A．5B．C．D．4
【例6】已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【变式练习1】已知三点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式练习2】已知与两点间的距离是17，则的值为（ ）
A．8B．C．D．
考点五、点到直线距离与两平行直线间距离
【例7】已知两平行直线，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【例8】若点在直线上，为坐标原点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【变式练习1】若点到直线的距离为（ ）
A．2B．3C．D．4
【变式练习2】已知点，直线.
(1)求过点A且与直线垂直的直线方程；
(2)直线为过点A且和直线平行的直线，求平行直线，的距离.
【变式练习3】已知两直线与，直线经过点，直线过点，且．
(1)若与的距离为4，求两直线的方程；
(2)若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
考试内容
考试要求
1.直线的斜率与倾斜角
2.直线方程的三种形式
3.两直线平行与垂直的判定
4.两直线的交点和两点间的距离
5.两平行直线的距离公式
掌握
掌握
掌握
掌握
掌握
图示
倾斜角
(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率
(范围)
0
k>0
不存在
k<0
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2
l1∥l2⇔两直线斜率都不存在
图示
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
斜率存在且不为0
截距式
在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
斜率存在且不为0，不过原点