【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题39 概率（讲）.zip

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二、考点梳理
1．事件
（1）在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．
（2）在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．
（3）在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．
2.概率和频率
(1)用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据．
(2)在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率．
(3)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率来估计概率P(A)．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
5. 概率的古典定义：
在基本事件总数为的古典概型中
如果试验的个基本事件为，由于基本事件是两两互斥的，则由互斥事件的概率加法公式得，又因为每个基本事件发生的可能性相等，即，代入上式得，即，所以在基本事件总数为的古典概型中，每个基本事件发生的概率为。
如果随机事件A包含的基本事件数为，同样的，由互斥事件的概率加法公式可得.
6. 相互独立事件
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.
当A，B是相互独立事件时，那么事件发生（即A，B同时发生）的概率，，等于事件A，B分别发生的概率的积.
如果事件A1、A2、…、相互独立，那么事件发生（即A1、A2、…、同时发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的积.
7.独立重复试验
如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在ｎ次独立重复试验中这个试验恰好发生ｋ次的概率

【疑难辨析】
（1）对互斥事件、对立事件的理解：
从集合角度看，事件A、B互斥，就是它们相应集合的交集是空集（如图1）；事件A、B对立，就是事件A包含的结果的集合是其对立事件B包含的结果的补集（如图2）.
“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.
根据对立事件的意义，（A＋）是一必然事件，那它发生的概率等于1，又由于A与互斥，于是有P（A）＋P（）＝P（A＋）＝1，从而有P（）＝1－P（A）.当某一事件的概率不易求出或求解比较麻烦，但其对立事件的概率较容易求出时，可用此公式，转而先求其对立事件的概率.
（2）对相互独立事件的理解：
相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性，即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.若A、B两事件相互独立，则A与、与B、与也都是相互独立的.
（3）正确理解与A＋B的关系：设A、B是两个事件，则表示这样一个事件，它的发生表示A与B同时发生；而A＋B表示这一事件是在A或B这两个事件中，至少有一个发生的前提下而发生的.公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）与的使用都是有前提的.
一般情况下，P（A＋B）＝1－P（）
＝P（A）＋P（B）－
它可用集合中的韦恩图来示意.
三、考点分类剖析
考点一、随机事件
【例1】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件
【答案】B
【解析】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,
事件3可表示为：,事件4可表示为：,
因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为为不可能事件，为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为为不可能事件，不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
故选：B.
【变式练习1】有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）.
A．至多有1次中靶B．2次都中靶
C．2次都不中靶D．只有1次中靶
【答案】C
【解析】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.
故选：C.
【变式练习2】已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】B
【解析】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ A､B 为互斥事件”是“ A､B 为对立事件”的必要非充分条件.
故选：B
【变式练习3】某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”的对立事件是（ ）
A．至少有一次命中目标B．至多有一次命中目标
C．恰好两次都命中目标D．恰好有一次命中目标
【答案】A
【解析】由对立事件定义知：事件“两次都没有命中目标”的对立事件为“至少有一次命中目标”.
故选：A.
考点二、古典概型
【例2】盒子里有4个白球和5个黑球，从中任取一个，取出白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】盒子里共有9个球，其中4个白球，所以由古典概型得从中任取一个，取出白球的概率是.
故选：B
【变式练习1】某兴趣小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选男生人数不少于1名的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设2名男生为名女生为，
从5人中选2人的总选法为，
共10种不同选法，
则没有男生的选法共3种：，
故所求概率为.
故选：D
【变式练习2】从一个12男11女的班级中任选一人进行问卷调查，抽到的是女同学的概率为______.
【答案】
【解析】因为班级的人数为，
所以抽到的是女同学的概率为，
故答案为：
考点三、概率性质
【例3】若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，
且，，
，即，
解得，即．
故选：D．
【变式练习1】下列说法正确的是（ ）
A．对于任意事件A和B，都有
B．若A，B为互斥事件，则
C．在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的
D．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值
【答案】D
【解析】对于A，成立的前提为事件和事件为互斥事件，故A错误；
对于B，事件和事件为互斥事件，则，故B错误；
对于C，在一次试验中，其基本事件的发生不一定为等可能的，故C错误；
对于D，频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律，在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率，随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故D正确.
故选：D.
【变式练习2】事件A,B的概率分别为,,且,则
A．B．C．D．无法判断
【答案】D
【详解】因为不知道事件A,B的关系,所以无法判断,
故选：D.
考点四、独立事件
【例4】若A与B是相互独立事件，则下面不相互独立的事件是（ ）
A．A与B．A与C．与BD．与
【答案】A
【解析】因为与是相互独立事件，所以与，与，与都是相互独立事件，
而是的对立事件，与是互斥事件.
故选：A
【变式练习1】设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为，第二道工序的次品率为，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）
A．0.873B．0.13C．0.127D．0.03
【答案】C
【解析】由题意，次品率为.
故选：C
【变式练习2】若事件与相互独立，且，则的值等于（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】因为事件与相互独立，由相互独立事件的概率计算公式，可得：
.
故答案选：B.
【变式练习3】袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件B．不相互独立事件
C．互斥事件D．对立事件
【答案】A
【解析】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，
由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
故选：A.
考点五、概率综合
【例5】盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______.
【答案】
【解析】由题意，任意取出粒棋子，不考虑先后顺序，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子种可能，
设事件：取出粒都是黑子，事件：取出粒都是白子，事件：取出粒恰好是一粒黑子一粒白子，则，，两两互斥，
由已知有，，
∵，
∴，
∴从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是.
故答案为：.
【变式练习1】某运动会火炬接力，要从2男2女中任选两人，则选中两人中恰好有1女的概率是______.
【答案】
【解析】：记个男生分别为、，个女生分别为、，
从个人中随机选人可能结果有、、、、、共个，
满足恰好有个女生的有、、、共个，
故恰好有个女生的概率.
故答案为：
【变式练习2】从一副扑克牌（54张）中抽一张，抽到牌“K”的概率是______.
【答案】
【解析】一副扑克牌54张,有4张“K”，
故抽到牌“K”的概率是，
故答案为：.
【变式练习3】在10000张奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中抽1张奖券，求：
(1)分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；
(2)中奖的概率．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】（1）获得一等奖的概率；
获得二等奖的概率；
获得三等奖的概率；
故分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率为、、.
（2）中奖的概率.
【变式练习4】从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，，那么
（1）C=“抽到红花色”，求；
（2）D=“抽到黑花色”，求.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为,且A与B不会同时发生,所以A与B是互斥事件,
根据互斥事件的概率加法公式,得
（2）因为C与D互斥,又因为是必然事件,所以C与D互为对立事件,
因此
考试内容
考试要求
1.随机事件
2．随机事件概率即性质
3.古典概型
4.独立事件
5.概率综合应用
掌握
掌握
掌握
掌握
掌握
文字表示
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件