【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题34 空间点、线、面的位置关系（讲） .zip

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二、考点梳理
1．平面的概念与表示
生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
D
C
B
A
α
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画。
α
β
α
β
2.点、直线与平面的位置关系
图①中,点A在直线上,记作 A∈ ;点B不在直线上,记作 B∉ .
图②中,点A在平面α内,记作 A∈α ;点B不在平面α内,记作 B∉α .
图③中,直线在平面α内,记作 ⊂α .
图④中,直线不在平面α内,记作⊄α ,直线不在平面α内,记作 ⊄α .
3.平面三个公共理
4.空间直线与直线的位置关系
从立体几何角度分析,立交桥运用了空间中的两条直线不共面原理,在空间中两条直线可以按是否共面进行分类,我们称不共面的两条直线为异面直线,共面的两条直线又可以分为两类,分别是平行直线和相交直线,异面直线和平行直线有一个相同特点,即两条直线平行或异面,则这两条直线 没有公共点 ,相交的两条直线 有一个公共点.
问题2:在空间中,有些平面几何的结论在立体几何中也适用；
(1)经过直线外一点 有且只有 一条直线与这条直线平行；
(2)公理4:平行于同一直线的两条直线 互相平行；
(3)等角定理:空间中如果两个角的两条边对应平行，那么这两个角相等或互补。
问题3:如何在空间中证明两条直线平行?
（1）利用定义.利用定义证明两直线平行,要证两点：一是证明两直线在同一平面内；二是证明两直线 没有公共点。
（2）利用公理4.用公理4证明两直线平行,只需证一点:就是要找到直线c,使得a∥c,同时b∥c,由公理4可得a∥b.
问题4:如何判断两条直线是否异面?如何求两条异面直线所成的角?
根据异面直线的定义“不在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平面的条件,因此,异面直线既不 相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性,同时也不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
（1）两条异面直线所成角θ的范围为 (0°,90°] .
（2）如图,为了求异面直线a与b所成的角,原则上可以在空间中任取一点O,过点O分别作a、b的平行线a'与b'，再通过解相应的三角形求得a'、b'所成的角,即为所求角.但为了简便,点O通常取在两条异面直线中的一条上,特别是这条直线上的特殊点,如“端点”或“中点”等处.将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角,实现了空间问题向平面问题的转化,这是解决立体几何问题的重要方法。
三、考点分类剖析
考点一、点、直线、平面的位置关系与表示
【例1】如图,下列点、线、面关系表示正确的是( ).
A.AB∈平面ABC
B.A⊂AB
C.平面ABC∩平面AA1B1B=A
D.AB∩BC=B
【变式练习1】如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，
B．，，
C．，，，
D．，，，
【变式练习2】已知，，是平面，，，是直线，，，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
考点二、平面的判定
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．三点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形是平面图形
D．两条相交直线可以确定一个平面
【变式练习1】已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式练习2】下列四个命题中的真命题是（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
考点三、点共线、共面以及线共面
【例3】如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的是（ ）
①，，，四点共面；
②与异面；
③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上；
④与的交点一定在直线上．
A．①③B．①④C．②③D．②④
【变式练习1】如图所示，平面平面，点，点，直线.设过三点的平面为，则（ ）
A．直线B．直线
C．直线D．以上均不正确
【变式练习2】四个顶点不在同一平面上的四边形中，，，，分别是边，，，上的点，如果直线，交于点，那么（ ）
A．点一定在直线上
B．点一定在直线上
C．点一定在平面外
D．点一定在平面内
【变式练习3】如图，正方体中，，分别为，的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）若，，与平面交于点，求证：三点共线．
考点四、异面直线与异面直线所成的角
【例4】在正方体中，直线与直线的位置关系为（ ）
A．相交B．异面C．平行D．不确定
【例5】如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式练习1】正方体中，与对角线成异面直线的棱有（ ）
A．3条B．4条C．6条D．8条
【变式练习2】如图，是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，所在直线所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式练习2】已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式练习3】如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，求在正方体中异面直线AB与CD所成角的余弦值．
考试内容
考试要求
1.平面的概念及表示
2空间点、线、面的位置关系
3.直线与直线的位置关系
4.点共线、共面以及线共面
5.异面直线所成的角大小
掌握
掌握
掌握
掌握
掌握
图形
文字叙述
符号表示
公理1
如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直线在此平面内
A∈α,B∈α,则AB⊂α
公理2
过不在一条直线上的三点, 有且只有 一个平面
A、B、C不共线,则A、B、C共面
公理3
如果两个不重合的平面有 一个 公共点,那么它们 有且只有一条 过该点的公共直线
P∈α,P∈β,则α∩β=l,P∈l,l唯一