【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题24 平面向量的概念及线性运算（讲）.zip

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一、考点要求
考点梳理
1.向量有关概念
有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量．
平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．
2、向量的几何表示
有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))．起点要写在终点的前面．
有向线段包含三个要素起点、方向、长度．
向量的有向线段表示方法：向量常用带箭头的线段表示 ，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．
向量也可以用黑体的字母表示，如a，b，c.手写为。强调：箭头不能不写，否则表示数量．
向量的模: |eq \(AB,\s\up6(→))|(或|a|)表示向量eq \(AB,\s\up6(→))(或a)的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为零向量，记作0，长度等于1个单位的向量称为单位向量．
3、共线向量与相等向量
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b．
我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．
相等向量是长度相等且方向相同的向量，a与b相等，记作a＝b．任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反．若a与b共线，即a与b平行，记作a∥b．
4、向量的线性运算
5、向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
6、向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使
三、考点剖析
1.平面向量的概念
【例1】下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；
根据零向量的概念，易知C选项正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；
故选：B.
【变式练习1】下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
【答案】D
【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；
两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；
零向量与任意向量共线，D正确．
故选：D.

【变式练习2】如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有_______个.
【答案】9
【解析】由正六边形的性质可知，与向量共线的向量有，共9个.
故答案为：9.
考点二、向量的加法、减法运算
【例2】若菱形ABCD的边长为2，则等于____________________．
【答案】2
【解析】.
故答案为：2
【变式练习1】A､B､C为不共线三点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由向量减法法则得.
故选：B.
【变式练习2】已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
而在平行四边形ABCD中，，所以，
又，，，，
则，也即.故选：B.
【变式练习3】=_____，_____．
【答案】 0
【解析】由，所以.
故答案为：，0
【变式练习4】如图，已知向量
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示；
(5)用表示
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】（1）.
（2）.
（3）
（4）.
（5）
考点三、平面向量的混合运算
【例3】（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据向量运算公式可知，．
故选：B.
【变式练习1】在中，设，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴D为BC的中点，
∴，
又∵，，
∴.
故选：A.
【变式练习2】已知，为不共线向量，，则（ ）
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
【答案】A
【解析】因为，
所以，，三点共线，
故选：A
【变式练习3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
考试内容
考试要求
1.相等向量、共线向量、单位向量与零向量概念
2.向量加减法运算律及应用
3.向量线性运算
4.共线向量定理及应用
掌握
掌握
掌握
掌握
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律：
(2)结合律：
减法
求与的相反向量的和的运算叫做与的差
三角形法则
数乘
求实数λ与向量的积的运算
；当λ＞0时，的方向与的方向相同；当λ＜0时，的方向与的方向相反；当λ＝0时，
；；