【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题04　三角函数测试卷(一)（教师版）

这是一份【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题04　三角函数测试卷(一)（教师版），共8页。试卷主要包含了单项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题(本大题共20小题，1～12每小题2分，13～20每小题3分，共48分)
1．－eq \f(5π,3)是第______象限角( )
A．一 B．二 C．三 D．四
A 【解析】 －eq \f(5π,3)＝－2π＋eq \f(π,3)，所以－eq \f(5π,3)与eq \f(π,3)终边相同，是第一象限角，故选A.
2．若sinα＋csα＝eq \r(2)，则sin2α＝( )
A．－1 B.eq \f(1,2) C．1 D．2
C 【解析】 由题意可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinα＋csα))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinα))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csα))eq \s\up12(2)＋2sinαcsα＝2，2sinαcsα＝1，sin2α＝2sinαcsα＝1，故答案选C.
3．sin(－240°)的值是( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
C 【解析】 ∵sin(－240°)＝sin(－240°＋360°)＝sin120°＝eq \f(\r(3),2)，故选C.
4．时针走过1小时20分，则分针转过的角度是( )
A．480° B．120° C．－120° D．－480°
D 【解析】 时针走过1小时，分针转一圈，分针是顺时针转的，所以形成的角是负角，－(1×360°＋eq \f(20,60)×360°)＝－480°故选D.
5．已知角的终边落在y＝－x(x＞0)上，则sinα＝( )
A．±eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．±eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2)
D 【解析】 在α终边上取一点P(1，－1)，则r＝eq \r(2)，sina＝eq \f(y,r)＝eq \f(－1,\r(2))＝－eq \f(\r(2),2).
6．在0°～360°内，与1140°终边相同的角是( )
A．30° B．60° C．150° D．210°
B 【解析】 1140°＝3×360°＋60°.
7．设α是第二象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，则eq \f(α,2)是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
C 【解析】 ∵α是第二象限角，∴eq \f(α,2)是第一或第三象限角，又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2).∴sineq \f(α,2)＜0，∴eq \f(α,2)是第三象限角，故选C.
8．在△ABC中，a＝2，b＝eq \r(2)，∠A＝45°，则∠B＝( )
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
A 【解析】 由正弦定理得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，即eq \f(2,\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(2),sinB)，sinB＝eq \f(1,2)，B＝30°或150°，又b9．若α是钝角，且sinα＝eq \f(4,5)，则cs(π＋α)＝ ( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
C 【解析】 α是钝角，且sinα＝eq \f(4,5)，∴csα＝－eq \f(3,5)，cs(π＋α)＝－csα＝eq \f(3,5)，故选C.
10．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
A．4cm2 B．2cm2 C．4πcm2 D．2πcm2
A 【解析】 ∵α＝eq \f(l,r)，r＝eq \f(l,α)＝2cm，∴S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×4×2＝4cm2.
11．函数y＝eq \f(1,2)sin2x的图像可以看作是把函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))的图像( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位
C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向右平移eq \f(π,6)个单位
D 【解析】向右平移eq \f(π,6)得到y＝eq \f(1,2)sin2x.故选D.
12．终边落在直线x＋y＝0上的角的集合可表示为( )
A．{α|α＝eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z} B．{α|α＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z}
C．{α|α＝－eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z} D．{α|α＝eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z}
D 【解析】 由题可知y＝－x，α＝eq \f(3π,4)，旋转180°，则{α|α＝eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z}，故选D.
13．命题甲“sinα＝1”是命题乙“csα＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
A 【解析】 ∵sin2α＋cs2α＝1，∴当sinα＝1时，必有csα＝0当csα＝0时，sinα＝±1.
14．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))))，且sin2α＋cs2α＝eq \f(1,4)，则tanα＝( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \r(2) D.eq \r(3)
D 【解析】 sin2α＋cs2α＝sin2α＋(1－2sin2α)＝1－sin2α＝cs2α＝eq \f(1,4).又∵α∈(0，eq \f(π,2))，∴csα＝eq \f(1,2)，sinα＝eq \f(\r(3),2)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \r(3).
15．如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)的一个解析式是( )
第15题图
A．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) B．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
C．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) D．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))
B 【解析】 由题图知：A＝eq \f(1,2)，eq \f(T,4)＝eq \f(π,4)得T＝eq \f(2π,ω)＝π，ω＝2，又∵eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))＝0，∴φ＝－eq \f(π,3)，故选B.
16．在三角形ABC中，若b＝2，c＝eq \f(2\r(6),3)，B＝60°，则C＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
B 【解析】 由正弦定理eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，得sinC＝eq \f(csinB,b)＝eq \f(\f(2\r(6),3)×sin60,2)＝eq \f(\r(2),2)，所以C＝45°或135°，但135°＋60°＝195°>180°，所以C＝45°，故选B.
17．已知csα＝eq \f(3,5)，α为锐角，则cs(α＋eq \f(π,6))＝ ( )
A.eq \f(3\r(3)－4,10) B.eq \f(4－3\r(3),10) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
A 【解析】 ∵csα＝eq \f(3,5)，α为锐角，∴sinα＝eq \f(4,5)，∴cs(α＋eq \f(π,6))＝csαcseq \f(π,6)－sinαsineq \f(π,6)＝eq \f(3\r(3)－4,10)，故选A.
18．已知A是△ABC的最小内角，则sinA＋csA的取值范围是( )
A．(0，2) B．(1，eq \r(2)] C.eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3)＋1,2))))] D．(0，eq \r(3)]
B 【解析】 sinA＋csA＝eq \r(2)(eq \f(\r(2),2)sinA＋eq \f(\r(2),2)csA)＝eq \r(2)sin(A＋eq \f(π,4))∵A是△ABC中最小内角，∴0＜A＜eq \f(π,3)，∴eq \f(π,4)＜A＋eq \f(π,4)＜eq \f(7,12)π
根据y＝sinx的简图知：
第18题图
当A＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)时，原式有最大值eq \r(2)，而且eq \r(2)sin(A＋eq \f(π,4))＞eq \r(2)sineq \f(π,4)＝1，∴sinA＋csA范围为(1，eq \r(2)]．
19．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C 【解析】 △ABC中，sinA＞sinB⇒A＞B，A＞B⇒sinA＞sinB，∴sinA＞sinB是A＞B的充要条件，故选C.
20．△ABC中，S△ABC＝6eq \r(3)，A＝60°，b＋c＝10，则a＝( )
A．7 B.eq \r(7) C．2eq \r(7) D．14
C 【解析】 △ABC中，S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(\r(3),4)bc＝6eq \r(3)，∴bc＝24，b＋c＝10，则a2＝b2＋c2－2bccsA＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝28，∴a＝2eq \r(7)，故选C.
二、 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
21．sin75°cs75°＝____________．
eq \f(1,4) 【解析】 sin75°cs75°＝eq \f(1,2)sin150°＝eq \f(1,4).
若关于x的方程sinx＝eq \f(1＋m,1－m)有解，则m的取值范围是________．
m≤0 【解析】 ∵－1≤eq \f(1＋m,1－m)≤1，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1＋m,1－m)≥－1,\f(1＋m,1－m)≤1))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,1－m)≥0,\f(2m,1－m)≤0))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<1,m>1或m≤0))，∴m≤0.
已知sinα＝eq \f(2\r(5),5)，eq \f(π,2)≤α≤π，则tanα＝________．
－2 【解析】 ∵eq \f(π,2)＜α≤π，∴csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(\r(5),5)，∴tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\f(2\r(5),5),－\f(\r(5),5))＝－2.
在△ABC中，AC＝eq \r(3)，∠A＝45°，∠C＝75°，则BC的长为________．
eq \r(2) 【解析】 B＝180°－45°－75°＝60°，∴eq \f(BC,sinA)＝eq \f(AC,sinB)，即BC＝eq \f(AC·sinA,sinB)＝eq \r(3)·eq \f(sin45,sin60)＝eq \r(2).
化简：cs78°cs33°＋sin78°sin33°＝__________．
eq \f(\r(2),2) 【解析】 cs78°cs33°＋sin78°sin33°＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(78°－33°))＝cs45°＝eq \f(\r(2),2).
函数f(x)＝cs2x＋2sinxcsx－sin2x的最小正周期是__________．
π 【解析】 f(x)＝cs2x＋2sinxcsx－sin2x＝cs2x＋sin2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，T＝eq \f(2π,2)＝π.
sinα＝－2csα，则sinαcsα＝____________．
－eq \f(2,5) 【解析】 sinα＝－2csα，∴tanα＝－2，∴sinαcsα＝eq \f(sinαcsα,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tanα,tan2α＋1)＝－eq \f(2,5).
三、解答题(本大题共9小题，共74分)
28．(7分)已知sin23°＝a，用a表示下列式子的值：(1)cs23°；(2)sin53°.
【解】 (1)cs23°＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin23°))2)＝eq \r(1－a2)；
(2)sin53°＝sin(23°＋30°)＝sin23°cs30°＋cs23°sin30°＝a·eq \f(\r(3),2)＋eq \r(1－a2)·eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3)a＋\r(1－a2),2)
29．(7分)已知sinA＋sinB＝sinC，csA＋csB＝csC，求cs(A－B)的值．
【解】 (sinA＋sinB)2＝sin2A＋sin2B＋2sinAsinB＝sin2C，(csA＋csB)2＝cs2A＋cs2B＋2csAcsB＝cs2C，两式相加，则2＋2cs(A－B)＝1，∴cs(A－B)＝－eq \f(1,2).
30．(8分)在△ABC中，a＝6，b＝2eq \r(3)，∠B＝30°，求∠C的大小．
【解】 eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，∴eq \f(6,sinA)＝eq \f(2\r(3),sin30°)，sinA＝eq \f(3,2\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，∴A＝60°或120°，当A＝60°时，∠C＝90°，当A＝120°，∠C＝30°.
31．(10分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－b＝2，c＝4，sinA＝2sinB.
(1)求a，b；
(2)求△ABC的面积．
【解】 (1)由sinA＝2sinB⇒a＝2b，又a－b＝2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4,b＝2))；
(2)csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(7,8)，∴sinB＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))2)＝eq \f(\r(15),8)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)×4×4×eq \f(\r(15),8)＝eq \r(15).
32．(8分)已知函数y＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sinxcsx－eq \f(1,4)，求：
(1)函数的最小正周期；
(2)函数的值域．
【解】 y＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sinxcsx－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)×eq \f(1＋cs2x,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)sin2x－eq \f(1,4)
＝eq \f(1,2)(sineq \f(π,6)cs2x＋cseq \f(π,6)sin2x)＝eq \f(1,2)sin(2x＋eq \f(π,6))
∴(1)函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π；(2)函数的值域是eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
33.(8分)△ABC，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且sinC＝2csBsinA，试判断△ABC的形状．
【解】 (a＋b＋c)(a＋b－c)＝(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＝ab∴csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，C＝60°，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcsB＋csAsinB＝2csBsinA，∴sinAcsB－csAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝0，A＝B，∴△ABC是等边三角形．
34．(8分)已知sinθ＝eq \f(4,5)，θ是第二象限角，求2sin2(eq \f(π,12)－eq \f(θ,2))－1的值．
【解】 sinθ＝eq \f(4,5)，θ是第二象限角，∴csθ＝－eq \f(3,5)，∴2sin2(eq \f(π,12)－eq \f(θ,2))－1＝－cs(eq \f(π,6)－θ)＝－(cseq \f(π,6)csθ＋sineq \f(π,6)sinθ)＝eq \f(3\r(3)－4,10).
35．(8分)已知sinα＋csβ＝eq \f(2,3)，csα＋sinβ＝－eq \f(1,2)，求sin(α＋β)．
【解】 (sinα＋csβ)2＝sin2α＋2sinαcsβ＋cs2β＝eq \f(4,9)，(csα＋sinβ)2＝cs2α＋2csαsinβ＋sin2β＝eq \f(1,4)，两式相加得2＋2(sinαcsβ＋csαsinβ)＝eq \f(25,36)∴sin(α＋β)＝－eq \f(47,72).
36．(10分)如图所示，甲、乙两船同时从港口O处出发，甲船以25海里/小时的速度向东行驶，乙船以15海里/小时的速度沿着北偏西30°的方向行驶，2小时后，甲船到达A处，乙船到达B处．(sin21.79°＝eq \f(3\r(3),14))
(1)甲、乙两船间的距离AB是多少海里？
(2)此时乙船位于甲船北偏西多少度的方向上？
第36题图
【解】 (1)由题意得OA＝25×2＝50(海里)，OB＝15×2＝30(海里)，
∠AOB＝90°＋30°＝120°.由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cs120°＝502＋302－2×50×30×cs120°＝4900，解得AB＝70(海里)．即甲、乙两船的距离AB是70海里．
(2)由正弦定理可知：
eq \f(OB,sin∠OAB)＝eq \f(AB,sin∠AOB)，sin∠OAB＝eq \f(OBsin∠AOB,AB)＝eq \f(30sin120°,70)＝eq \f(3\r(3),14)，
因为在△OAB中，∠AOB＝120°，所以∠OAB是锐角，所以∠OAB≈21.79°，90°－21.79°＝68.21°.即乙船位于甲船北偏西68.21°的方向上．
第36题图