三年江苏中考数学模拟题分类汇总之反比例函数

这是一份三年江苏中考数学模拟题分类汇总之反比例函数，共39页。

A．y＝2x﹣1B．y＝3x﹣5C．y=−6xD．y=−23x
2．（2023•天宁区校级二模）如图，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点C在反比例函数y=6x的图象上，AB与反比例函数y=6x的图象交于点D．若△BCD的面积与△OAC的面积之比为2：3，则▱OABC的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．16
3．（2023•海陵区校级模拟）如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点B、F都在反比例函数y=kx的图象上，则DFFC的值为（ ）
A．14B．13C．12D．23
4．（2022•建湖县二模）如图，已知点A（3，0），B（0，4），C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分∠OAB，BE平分∠ABC，直线BE交AD于点D．若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点D，则k的值是（ ）
A．﹣8B．﹣9C．﹣10D．﹣12
5．（2022•泉山区校级三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（千帕）随气球内气体的体积V（立方米）的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．反比例函数
6．（2022•江都区校级三模）运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图象如图所示（ ）
A．y=3x+1B．y=3|x|C．y=3x2+1D．y=3(x+1)2
7．（2021•昆山市模拟）如图，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过平行四边形OABC的顶点C和对角线的交点E，顶点A在x轴上．若平行四边形OABC的面积为12，则k的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
8．（2021•海安市二模）已知A（﹣1，y1），B（3，y2）两点在双曲线y=3+2mx上，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m＞−32D．m＜−32
二．填空题（共7小题）
9．（2023•沭阳县三模）请写出一个图象经过点（1，2）的函数的关系式 ．
10．（2023•沭阳县三模）如图，反比例函数y=kx(x＞0)图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为16，BD＝2CD，则k的值为 ．
11．（2023•沭阳县二模）已知点A（﹣1，﹣2）在反比例函数y=kx 的图象上，则当x＞1时，y的取值范围是 ．
12．（2022•江都区校级三模）已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A（4，1），当y＜1时，x的取值范围是 ．
13．（2022•射阳县校级二模）如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上且∠BAO＝30°，AB＝43，将△AOB沿AB翻折得△ADB，反比例函数y=kx（k≠0）的图象恰好经过D点，则k的值是 ．
14．（2022•泉山区校级三模）如图，▱OABC的顶点C在反比例函数y=kx的图象上，且点A坐标为（1，﹣3），点B坐标为（5，﹣1），则k的值为 ．
15．（2021•射阳县三模）如图，直线y=12x﹣1与x轴交于点B，与双曲线y=kx（x＞0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线y=kx交于点C．且AB＝AC，则k的值为 ．
三．解答题（共7小题）
16．（2023•天宁区模拟）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A、B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，AB⊥l2，线段AB的长度称为点A与直线l2之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．
【应用】：
（1）如图2，在等腰直角三角形BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝12，AD＝8，则DE与BC之间的距离是 ．
（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+8与双曲线C1：y=kx（x＞0）交于A（2，m）与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线C1之间的距离是 ；
【拓展】：
（3）按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过80m时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y=3000x（x＞0），那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？
17．（2023•丹徒区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线y=kx在第一象限的一支交于点C，且AB＝3BC．
​（1）求k的值；
（2）设点D是x轴上的一个动点，线段CD与双曲线交于另一点E，连接AE，当AE平分△ACD的面积时，直接写出点D的坐标是 ．
18．（2023•盐都区一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝4，AC⊥x轴，垂足为C，AB边与y轴交于点D，反比例函数y=kx(x＞0），的图象经过点A．
（1）若BDAB=14，求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）若k＝8，将AB边沿AC边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E，交x轴于点F，求点E的坐标．
19．（2022•亭湖区校级模拟）如图，正比例函数y＝kx（k为常数）的图象与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于点A（a，3）．点B为x轴正半轴上一动点，过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点 D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若CD=92，求线段OB的长．
20．（2022•武进区一模）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6−kx＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
21．（2021•武进区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出−12x＞kx的解集；
（3）将直线l1：y=−12x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y=kx在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
22．（2021•姑苏区校级一模）如图，函数y=43x与函数y=mx（x＞0）的图象相交于点A（n，4）．点B在函数y=mx（x＞0）的图象上，过点B作BC∥x轴，BC与y轴相交于点C，且AB＝AC．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AB的函数表达式．
江苏三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总---反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•梁溪区模拟）下列函数中，图象过点（2，﹣3）的是（ ）
A．y＝2x﹣1B．y＝3x﹣5C．y=−6xD．y=−23x
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】将点（2，﹣3）分别代入下列选项中的函数关系式，不满足的函数关系式即为所求的函数关系式．
【解答】解：A、当x＝2时，y＝3，即该函数的图象不经过点（2，﹣3）；故本选项不合题意；
B、当x＝2时，y＝1，即该函数的图象不经过点（2，﹣3）；故本选项不合题意；
C、当x＝2时，y＝﹣3，即该函数的图象经过点（2，﹣3）；故本选项合题意；
D、当x＝2时，y=−43，即该函数的图象不经过点（2，﹣3）；故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象上的点一定满足该函数的解析式．
2．（2023•天宁区校级二模）如图，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点C在反比例函数y=6x的图象上，AB与反比例函数y=6x的图象交于点D．若△BCD的面积与△OAC的面积之比为2：3，则▱OABC的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根连接AC，作CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，由平行四边形的性质得出S△ABC＝S△AOC，由△BCD的面积与△OAC的面积之比为2：3，得出△BCD的面积与△ABC的面积之比为2：3，即可得出AD：AB＝1：3，设点C的坐标是（b，6b），则D（3b，2b），由OC∥AB，得出∠COE＝∠DAF，即可得出tan∠COE=CEOE=DFAF=tan∠DAF，即b6b=2bAF，解得AF=b3，进而可以得到OA，利用平行四边形的面积公式即可求得．
【解答】解：连接AC，作CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，
由题意可知，S△ABC＝S△AOC，
∵△BCD的面积与△OAC的面积之比为2：3，
∴△BCD的面积与△ABC的面积之比为2：3，
∴AD：AB＝1：3，
设点C的坐标是（b，6b），则D（3b，2b），
∵OC∥AB，
∴∠COE＝∠DAF，
∴tan∠COE=CEOE=DFAF=tan∠DAF，
∴b6b=2bAF，
∴AF=b3，
∴OA＝3b−b3=8b3，
∴▱OABC的面积S＝OA•CE=8b3•6b=16．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．（2023•海陵区校级模拟）如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点B、F都在反比例函数y=kx的图象上，则DFFC的值为（ ）
A．14B．13C．12D．23
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由题意设B（a，b），则E（12a，2b），k＝ab，即可得出OD＝3b，从而求得F（13a，3b），得出FC＝CD﹣DF=23a，求得DFFC=12．
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线BD中点E与点B都在反比例函数y=kx的图象上，
∴设B（a，b），则E（12a，2b），k＝ab，
∴OD＝3b，
把y＝3b代入y=abx，解得x=13a，
∴F（13a，3b），
∵CD＝AB＝a，DF=13a，
∴FC＝CD﹣DF=23a，
∴DFFC=12，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得F点的坐标是解题的关键．
4．（2022•建湖县二模）如图，已知点A（3，0），B（0，4），C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分∠OAB，BE平分∠ABC，直线BE交AD于点D．若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点D，则k的值是（ ）
A．﹣8B．﹣9C．﹣10D．﹣12
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得DM＝DN＝DP，再根据角的对称性得出BN＝BP，由勾股定理求出AB，设ON＝a，利用四边形DMON是正方形，列方程求出a的值，确定点D坐标，进而求出k的值．
【解答】解：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，作DP⊥AB交AB的延长线于点P，
∵ON⊥OM，DM⊥OM，DN⊥OC，
∴四边形DMON是长方形，
∵AD平分∠OAB，DM⊥OM，DN⊥OC，
∴DM＝DN，
∴四边形DMON是正方形，
又∵BE平分∠ABC，DN⊥OC，DP⊥AP，
∴DN＝DP，
在Rt△AOB中，
AB=OA2+OB2=32+42=5，
由对称可得，AP＝AM，BP＝BN，
设ON＝a，则OM＝a，BN＝4﹣a＝BP，
∵AP＝AB+BP＝5+（4﹣a），AM＝OA+OM＝3+a，
∴5+4﹣a＝3+a，
解得a＝3，
即ON＝DM＝DN＝3，
∴点D（﹣3，3），
∴k＝﹣3×3＝﹣9，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握角平分线的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
5．（2022•泉山区校级三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（千帕）随气球内气体的体积V（立方米）的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．反比例函数
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据所给出的数据和常识可直接判断．
【解答】解：由题意可知，64×1.5＝96；48×2＝96；38.4×2.5＝96；32×3＝96；24×4＝96，…
由此可得出p和v的函数关系是为：p=96V．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．
6．（2022•江都区校级三模）运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图象如图所示（ ）
A．y=3x+1B．y=3|x|C．y=3x2+1D．y=3(x+1)2
【考点】反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据图象可知x无论取任何数y始终大于0，且在x＝0时有最大值，再逐项判断即可．
【解答】解：A．当x＝﹣2时，y=3−2+1=−3，故与题干中图象不符，该选项不合题意；
B．当x＝0时，y=3|x|无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意；
C．当自变量x取其相反数时，y=3(−x)2+1=3x2+1，且当x＝0时，y＝3为最大值，与题干中图象相符，该选项符合题意；
D．当x＝﹣1时，y=3(x+1)2无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意．
故选C．
【点评】本题考查识别函数图象，解题的关键是根据图象得出该函数的性质．
7．（2021•昆山市模拟）如图，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过平行四边形OABC的顶点C和对角线的交点E，顶点A在x轴上．若平行四边形OABC的面积为12，则k的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分别过C、E两点作x轴的垂线，交x轴于点D、F，则可用k表示出CD，利用平行四边形的性质可表示出EF，则可求得E点横坐标，且可求得OD＝DF＝FA＝m，从而可表示出四边形OABC的面积，可求得k．
【解答】解：如图，分别过C、E两点作x轴的垂线，交x轴于点D、F，
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过▱OABC的顶点C和对角线的交点E，设C（m，km），
∴OD＝m，CD=km，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴E为AC中点，且EF∥CD，
∴EF=12CD=k2m，且DF＝AF，
∵E点在反比例函数图象上，
∴E点横坐标为2m，
∴DF＝OF﹣OD＝m，
∴OA＝3m，
∴S▱OABC＝CD×OA=km×3m＝12，
解得k＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解．
8．（2021•海安市二模）已知A（﹣1，y1），B（3，y2）两点在双曲线y=3+2mx上，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m＞−32D．m＜−32
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将点A，点B坐标代入解析式，可求y1，y2，由y1＞y2，可求m的取值范围．
【解答】解：∵A（﹣1，y1），B（3，y2）两点在双曲线y=3+2mx上，
∴y1＝﹣3﹣2m，y2=3+2m3，
∵y1＞y2，
∴﹣3﹣2m＞3+2m3，
∴m＜−32，
故选：D．
方法二：
解：由题意可知双曲线位于第二，四象限，
所以3+2m＜0，解得m＜−32，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
二．填空题（共7小题）
9．（2023•沭阳县三模）请写出一个图象经过点（1，2）的函数的关系式 y＝2x（答案不唯一） ．
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】y＝2x（答案不唯一）．
【分析】让x＝1时，函数值y＝2写出一个正比例函数即可．
【解答】解：函数y＝2x经过点（1，2）．
故答案为：y＝2x（答案不唯一）．
【点评】本题考查了函数关系式，正确掌握函数的性质是解题关键．
10．（2023•沭阳县三模）如图，反比例函数y=kx(x＞0)图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为16，BD＝2CD，则k的值为 245 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】245．
【分析】过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，通过证得△AOM≌△COE，△COE≌△BCN，得出CN＝OE＝OM，BN＝CE＝AM，由BD＝2CD，根据平行线分线段成比例定理求得CE：CN＝CE：OE＝AM：OM＝1：3，利用勾股定理以及正方形的面积即可求得A的坐标，进而求得k的值．
【解答】解：过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠COE+∠AOE＝∠AOE+∠AOM＝90°，
∴∠COE＝∠AOM，
在△COE与△AOM中，
∠COE=∠AOM∠CEO=∠AMO=90°OC=OA，
∴△AOM≌△COE（AAS），
∴OM＝OE，AM＝CE，
同理，△COE≌△BCN，
∴CN＝OE，BN＝CE，
∵BH∥y轴，
∴CDBC=CECN，
∴BD＝2CD，
∴CECN=13，
∴CEOE=AMOM=13，
∵OA2＝OM2+AM2，正方形OABC的面积为16，
∴16＝9AM2+AM2，
∴AM=2105，
∴OM=6105，
∴A（6105，2105），
∵反比例函数y=kx（x＞0）图象经过正方形OABC的顶点A，
∴k=6105×2105=245，
故答案为：245．
【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．（2023•沭阳县二模）已知点A（﹣1，﹣2）在反比例函数y=kx 的图象上，则当x＞1时，y的取值范围是 0＜y＜2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数y=kx，求出k的值，再由反比例函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，﹣2）在反比例函数y=kx 的图象上，
∴k＝（﹣1）×（﹣2）＝2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵当x＝1时，y＝2，
∴当x＞1时，0＜y＜2．
故答案为：0＜y＜2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．（2022•江都区校级三模）已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A（4，1），当y＜1时，x的取值范围是 x＜0或x＞4 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】x＜0或x＞4．
【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，画出函数的图象，再根据图象得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点A（4，1），
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，图象如图所示．
由图可知，当y＜1时，x＜0或x＞4．
故答案为：x＜0或x＞4．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键．
13．（2022•射阳县校级二模）如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上且∠BAO＝30°，AB＝43，将△AOB沿AB翻折得△ADB，反比例函数y=kx（k≠0）的图象恰好经过D点，则k的值是 93 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；翻折变换（折叠问题）．
【专题】反比例函数及其应用；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】93．
【分析】根据直角三角形的性质得到AO＝ABcs30°＝43×32=6，根据折叠的性质得到∠DAB＝∠OAB＝30°，AD＝AO＝6，求得∠DAO＝60°，过D作DC⊥OA于C，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，AB＝43，
∴AO＝ABcs30°＝43×32=6，
∵将△AOB沿AB翻折得△ADB，
∴∠DAB＝∠OAB＝30°，AD＝AO＝6，
∴∠DAO＝60°，
过D作DC⊥OA于C，
∴∠ACD＝90°，
∴AC=12AD＝3，CD=32AD＝33，
∴D（3，33），
∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象恰好经过D点，
∴k＝3×33=93，
故答案为：93．
【点评】本题考查了反比例函数点的坐标特征，翻折变换（折叠问题），直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．（2022•泉山区校级三模）如图，▱OABC的顶点C在反比例函数y=kx的图象上，且点A坐标为（1，﹣3），点B坐标为（5，﹣1），则k的值为 8 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】作CD⊥x轴于D，BF∥x轴，交y轴于F，作AG⊥x轴，交BF于E，交x轴于G，通过证得△COD≌△ABE得出OD＝BE＝4，CD＝AE＝2，从而得出C（4，2），代入反比例函数y=kx，即可求得k的值．
【解答】解：作CD⊥x轴于D，BF∥x轴，交y轴于F，作AG⊥x轴，交BF于E，交x轴于G，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，∠AOC＝∠ABC，OC＝AB，
∴∠FBC＝∠AFB，
∵BF∥x轴，
∴∠AFB＝∠AOD，
∴∠FBC＝∠AOD，
∴∠DOC＝∠ABE，
在△COD和△ABE中，
∠DOC=∠ABE∠ODC=∠AEB=90°OC=AB，
∴△COD≌△ABE（AAS），
∴OD＝BE，CD＝AE，
∵点A坐标为（1，﹣3），点B坐标为（5，﹣1）．
∴EF＝1，AG＝3，BF＝5，EG＝1，
∴AE＝3﹣1＝2，BE＝5﹣1＝4，
∴OD＝4，CD＝2，
∴C（4，2），
∵顶点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝4×2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，通过证得三角形全等求得C的坐标是解题的关键．
15．（2021•射阳县三模）如图，直线y=12x﹣1与x轴交于点B，与双曲线y=kx（x＞0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线y=kx交于点C．且AB＝AC，则k的值为 4 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中的信息，可以用含k的式子表示点C的坐标，由AB＝AC，可知点A在线段BC的垂直平分线上，从而可以得到点A的纵坐标，从而可以表示出点A的坐标，又由点A在直线y=12x﹣1上，可以得到k的值，本题得以解决．
【解答】解：∵直线y=12x﹣1与x轴交于点B，
∴当y＝0时，x＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
又∵过点B作x轴的垂线，与双曲线y=kx交于点C，
∴点C的坐标为（2，k2），
∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴点A的纵坐标为k4，
∵点A在双曲线y=kx上，
∴k4=kx，得x＝4，
又∵点A（4，k4）在直线y=12x﹣1上，
∴k4=12×4−1
解得k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，灵活变化，认真推导．
三．解答题（共7小题）
16．（2023•天宁区模拟）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A、B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，AB⊥l2，线段AB的长度称为点A与直线l2之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．
【应用】：
（1）如图2，在等腰直角三角形BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝12，AD＝8，则DE与BC之间的距离是 22 ．
（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+8与双曲线C1：y=kx（x＞0）交于A（2，m）与B两点，点A与点B之间的距离是 42 ，点O与双曲线C1之间的距离是 26 ；
【拓展】：
（3）按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过80m时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y=3000x（x＞0），那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）22；
（2）42，26；
（3）需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是402米．
【分析】（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形性质即可求得答案；
（2）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数解析式，联立方程组求得点A、B的坐标，再运用两点间距离公式求得AB；作FG∥AB，且FG与双曲线y=12x只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，则﹣x+b=12x，整理得x2﹣bx+3＝0，利用根的判别式求得b，进而得出点K的坐标，即可求得OK；
（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y=3000x（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，可得△WOF和△SWG是等腰直角三角形，故SW=2SG，WF=22OW，推出OE=22（b﹣a）+400−12(b−a)2，设b﹣a＝m（m＞0），则OE=22m+400−12m2≤2(12m2+400−12m2)=202，即可求得答案．
【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝45°，
∵DH⊥BC，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=22BD，
∵AB＝12，AD＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4，
∴DH=22×4＝22；
故答案为：22；
（2）把A（2，m）代入y＝﹣x+8中，得：m＝﹣2+8＝6，
∴A（2，6），
把A（2，6）代入y=kx，得：6=k2，
∴k＝12，
∴双曲线C1的解析式为y=12x，
联立，得：﹣x+8=12x，
即x2﹣8x+12＝0，
解得：x1＝2，x2＝6，
∴B（6，2），
∴AB=(2−6)2+(6−2)2=42；
如图，作FG∥AB，且FG与双曲线y=12x只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，
则﹣x+b=12x，
整理得：x2﹣bx+12＝0，
∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×12＝b2﹣48＝0，
∴b＝43或b＝﹣43（不符合题意，舍去），
∴直线FG的解析式为y＝﹣x+43，
由﹣x+43=12x，
解得：x1＝x2＝23，
∴K（23，23），
∴OK=(23)2+(23)=26．
故答案为：42，26；
（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y=3000x（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，
则SG＝a，SH＝b，ab＝3000，
∵直线y＝﹣x平分第二、四象限角，
∴∠FOW＝45°，
∵∠OFW＝∠SGW＝90°，
∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠SWG＝∠OWF＝45°，
∴△WOF和△SWG是等腰直角三角形，
∴SW=2SG，WF=22OW，
∴SF＝SW+WF=2SG+22OW=2a+22（b﹣a）=22（a+b），
∵EF=802−SF2=6400−12(a+b)2=6400−2ab−12(b−a)2=400−12(b−a)2，
∵OF=22OW=22（b﹣a），
∴OE=22（b﹣a）+400−12(b−a)2，
设b﹣a＝m（m＞0），
则OE=22m+400−12m2≤2(12m2+400−12m2)=202，
∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度＝2OE＝2×202=402．
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是402米．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，新定义“图形M与图形N之间的距离”，等腰直角三角形性质，两点间距离公式，待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
17．（2023•丹徒区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线y=kx在第一象限的一支交于点C，且AB＝3BC．
​（1）求k的值；
（2）设点D是x轴上的一个动点，线段CD与双曲线交于另一点E，连接AE，当AE平分△ACD的面积时，直接写出点D的坐标是 （4，0） ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）163；（2）（4，0）．
【分析】（1）根据直线解析式求出A、B两点的坐标，由AB＝3BC，得出ABAC=34．过C点作CF⊥x轴于点F，则OB∥CF，得出△AOB∽△AFC，根据相似三角形对应边的比相等求出AF=163，FC＝4，进而得出C（43，4），然后利用待定系数法求出k的值；
（2）设点D的坐标是（x，0）．由AE平分△ACD的面积，得出E为CD的中点，根据中点坐标公式得出E（43+x2，2），由点E在双曲线y=163x上，列出方程43+x2×2=163，求出x即可．
【解答】解：（1）∵直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3．
∵AB＝3BC，
∴ABAC=34．
如图，过C点作CF⊥x轴于点F，则OB∥CF，
∴△AOB∽△AFC，
∴AOAF=OBFC=ABAC=34，
∴4AF=3FC=ABAC=34，
∴AF=163，FC＝4，
∴OF＝AF﹣OA=163−4=43，
∴C（43，4），
∵双曲线y=kx过点C，
∴k=43×4=163；
（2）设点D的坐标是（x，0）．
∵AE平分△ACD的面积，
∴E为CD的中点，
∴E（43+x2，2），
∵点E在双曲线y=163x上，
∴43+x2×2=163，
解得x＝4，
∴点D的坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，三角形中线的性质，线段中点坐标公式，待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征等知识，综合性较强，难度适中．
18．（2023•盐都区一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝4，AC⊥x轴，垂足为C，AB边与y轴交于点D，反比例函数y=kx(x＞0），的图象经过点A．
（1）若BDAB=14，求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）若k＝8，将AB边沿AC边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E，交x轴于点F，求点E的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）直线AB为y＝2x+2，反比例函数的表达式为y=24x；
（2）点E的坐标为（4，2）．
【分析】（1）根据题意求得A（3，8），B（﹣1，0），然后利用待定系数法即可求得线AB和反比例函数的表达式；
（2）作EH⊥x轴于H，由题意可知CF＝BC＝4，进而求出OF，CF，设点E的坐标为（x，8x），利用平行线分线段成比例定理得求出x即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝4，AC⊥x轴，垂足为C，
∴AC∥OD，
∴BDAB=BOBC=14，
∴BO4=14，
∴BO＝1，
∴OC＝3，
∴A（3，8），B（﹣1，0），
设直线AB为y＝ax+b，
∴3a+b=8−a+b=0，
解得a=2b=2，
∴直线AB为y＝2x+2，
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A，
∴k＝3×8＝24，
∴反比例函数的表达式为y=24x；
（2）作EH⊥x轴于H，
由题意可知CF＝BC＝4，AC＝8，
∴设A（a，8），
∵点A在反比例函数y=8x的图象上，
∴A（1，8），
∴OC＝1，
∴OF＝5，
设点E的坐标为（x，8x），
∴OH＝x，
∴FH＝5﹣x
∵EH∥AC，
∴EHAC=HFFC，
即8x8=5−x4，
解得x1＝1，x2＝4，
∴点E的坐标为（4，2）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，求得交点坐标是解决问题的关键．
19．（2022•亭湖区校级模拟）如图，正比例函数y＝kx（k为常数）的图象与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于点A（a，3）．点B为x轴正半轴上一动点，过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点 D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若CD=92，求线段OB的长．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】函数的综合应用；运算能力．
【答案】（1）y=32x；
（2）4或1．
【分析】（1）把点A（a，3）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；
（2）设点B的坐标为（b，0），代入函数表达式中，得到C和D的坐标，根据CD的长度列出方程，求出b值即可．
【解答】解：（1）把点A（a，3）代入反比例函数y=6x（x＞0）得，
a＝2，
∴点A（2，3），代入y＝kx得，k=32，
∴正比例函数的关系式为y=32x；
（2）设点B的坐标为（b，0），
将x＝b代入y=6x和y=32x中，
得y=6b，y=32b，
∴C（b，6b），D（b，32b），
∵CD=92，
DC线段在点A右侧时，
∴32b−6b=92，
解得：b＝﹣1（舍）或b＝4，
DC线段在点A左侧时
6b−32b=92
解得：b＝1或b＝﹣4，
∴OB的长度为4或1．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是关键．
20．（2022•武进区一模）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6−kx＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y=8x；（2）x＞1；（3）3，．
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的x的取值范围；
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（m，8），
∴2×m+6＝8，
解得m＝1，
∴A（1，8），
∴m＝2×1+6＝8，
∴反比例函数的解析式为y=8x．
（2）不等式2x+6−kx＞0的解集为x＞1．
（3）由题意，点M，N的坐标为M（8n，n），N（n−62，n），
∵0＜n＜6，
∴n−62＜0，
∴8n−n−62＞0
∴S△BMN=12|MN|×|yM|=12×（8n−n−62）×n=−14（n﹣3）2+254，
∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为254．
【点评】本题考查反比例函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型．
21．（2021•武进区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出−12x＞kx的解集；
（3）将直线l1：y=−12x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y=kx在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直线l1经过点A，且A点的纵坐标是2，可得A（﹣4，2），代入反比例函数解析式可得k的值；
（2）依据直线l1：y=−12x与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，即可得到不等式−12x＞kx的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，依据CD∥AB，即可得出△ABC的面积与△ABD的面积相等，求得D（15，0），即可得出平移后的直线l2的函数表达式．
【解答】解：（1）∵直线l1：y=−12x经过点A，A点的纵坐标是2，
∴当y＝2时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
∵反比例函数y=kx的图象经过点A，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y=−8x；
（2）∵直线l1：y=−12x与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，
∴B（4，﹣2），
∴不等式−12x＞kx的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，
∵CD∥AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∵△ABC的面积为30，
∴S△ABD＝S△AOD+S△BOD＝30，即12OD（|yA|+|yB|）＝30，
∴12×OD×4＝30，
∴OD＝15，
∴D（15，0），
设平移后的直线l2的函数表达式为y=−12x+b，
把D（15，0）代入，可得0=−12×15+b，
解得b=152，
∴平移后的直线l2的函数表达式为y=−12x+152．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据△ABC的面积与△ABD的面积相等，得到D点的坐标为（15，0）．
22．（2021•姑苏区校级一模）如图，函数y=43x与函数y=mx（x＞0）的图象相交于点A（n，4）．点B在函数y=mx（x＞0）的图象上，过点B作BC∥x轴，BC与y轴相交于点C，且AB＝AC．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AB的函数表达式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而即可求出反比例函数系数m的值；
（2）过点A作AD⊥BC于D，由AC＝AB可得出BC＝2CD，由点A的坐标可得出CD、BC的长度，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式．
【解答】解：（1）∵函数y=43x与函数y=mx（x＞0）的图象相交于点A（n，4），
∴43n＝4，解得：n＝3，
∴m＝4n＝12．
（2）过点A作AD⊥BC于D，如图所示．
∵AB＝AC，
∴BC＝2CD．
∵BC∥x轴，
∴AD⊥x轴．
∵A（3，4），
∴CD＝3，BC＝6．
当x＝6时，y=126=2，
∴B（6，2）．
设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将A（3，4）、B（6，2）代入y＝kx+b中，
4=3k+b2=6k+b，解得：k=−23b=6，
∴直线AB的函数表达式为y=−23x+6．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及待定系数法求一次（反比例）函数解析式，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征找出点A的坐标；（2）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的函数表达式。V（立方米）
64
48
38.4
32
24
…
p（千帕）
1.5
2
2.5
3
4
…
V（立方米）
64
48
38.4
32
24
…
p（千帕）
1.5
2
2.5
3
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…