三年广东中考数学模拟题分类汇总之反比例函数

这是一份三年广东中考数学模拟题分类汇总之反比例函数，共36页。试卷主要包含了m3等内容，欢迎下载使用。

1．（2021•嘉善县一模）如图，过点C（1，0）作两条直线，分别交函数y=4x（x＞0），y=−2x（x＜0）的图象于点A，点B，连接AB．若AB∥x轴，则△ABC的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2021•西湖区一模）已知点P（1，m），Q（2，n）是反比例函数y=6x图象上的两点，则（ ）
A．m＜n＜0B．n＜m＜0C．0＜m＜nD．0＜n＜m
3．（2021•金华模拟）如图，一块含有30°的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，30°角的顶点A在反比例函数y=kx的图象上，顶点B在反比例函数y=4x的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣8B．8C．﹣12D．12
4．（2021•杭州二模）已知反比例函数y1=k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象交于（1，4）和（4，1）两点，则使y1＞y2的x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜4B．x＜1或x＞4C．0＜x＜1或x＞4D．1＜x＜4或x＜0
5．（2022•丽水模拟）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变．在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近（ ）
A．302NB．300NC．150ND．120N
6．（2022•柯城区二模）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y=12x﹣4，则反比例函数表达式为（ ）
A．y=6xB．y=12xC．y=16xD．y=24x
7．（2023•丽水模拟）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，如图，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球体积V应（ ）m3．
A．V≥45B．V＜54C．V＜45D．V≥54
8．（2023•长兴县二模）运用你学习函数的经验，判断下列哪个函数的图象如图所示 （ ）
A．y=3x+1B．y=3|x+1|C．y=3x2+1D．y=3(x+1)2
9．（2023•南湖区二模）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点，若点D（1，1），AB=25，则k的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣9D．9
10．（2023•义乌市模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上一点，点B是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上一点，△OBA是面积为33的等边三角形，将△OBA向右平移a个单位后，AB的中点恰好落在反比例函数的图象上，则a的值为（ ）
​
A．32B．3C．323D．23
二．填空题（共6小题）
11．（2021•新昌县模拟）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～4的整数），函数y=kx（x＞0）的图象为曲线L．若曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是 ．
12．（2021•临海市模拟）已知反比例函数y=6x，若x≥2，则y的取值范围为 ．
13．（2022•宁波模拟）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x．y），我们把点B（3x，8y）称为点A的“关爱点”．如图，▱CODE的顶点C在x轴的负半轴上，点D，E在第二象限，点E的纵坐标为2，反比例函数y=−26x（x＜0）的图象与OD交于点A．若点B是点A的“关爱点“，且点B在∠ODE的边上，则OB的长为 ．
14．（2022•常山县模拟）将一副三角板按如图方式放置在平面直角坐标系中，已知AB＝2，反比例函数y=kx(k＞0）的图象恰好经过顶点C，D，DB⊥x轴，则k的值为 ．
15．（2023•江山市模拟）如图，点A，B在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，延长AB交x轴于点C，若△AOC的面积为12，且ACBC=2，则k＝ ．
​
16．（2023•衢江区三模）如图，在平面直角坐标系中，O点为坐标原点，菱形OABC的边OA落在x轴上，点C的坐标为（3，4），反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)经过OB、AC的交点E，则k的值是 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2021•杭州模拟）已知反比例函数y=2k+1x．
（1）若图象在第二、四象限，求k的取值范围；
（2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？
18．（2021•东阳市模拟）已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，b），满足b﹣a＝2则称点P为函数图象上“梦幻点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“梦幻点”P（1，3）
（1）求直线y=12x+3上的“梦幻点”的坐标；
（2）求双曲线y=3x上的“梦幻点”之间的距离；
（3）若二次函数y=14x2+（3−t）x+n+t的图象上存在唯一的梦幻点，求此时n的最小值．
19．（2022•拱墅区模拟）如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点30cm处挂一个重9.8牛的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位：牛，精确到0.1牛）有什么变化．小慧在做此《数学活动》时，得到下表的数据：
结果老师发现其中有一个数据明显有错误．
（1）你认为当L＝ cm时所对应的F数据是明显错误的；
（2）在已学过的函数中选择合适的模型求出F与L的函数关系式；
（3）若弹簧秤的最大量程是60牛，求L的取值范围．
20．（2022•上城区校级模拟）设函数y1=kx（k是常数，k≠0），点M（3，a）在该函数图象上，将点M先关于y轴对称，再向下平移4个单位，得点N，点N恰好又落在该函数图象上．
（1）求函数y1的表达式；
（2）若函数y2＝x+1与函数y1图象相交，当y2＞y1时，求自变量x的取值范围．
21．（2023•东阳市三模）
22．（2023•金东区三模）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
​（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，请求出点P的坐标．
（3）对于反比例函数y2=kx(k≠0)，当y≤3时，直接写出x的取值范围．
三年广东中考数学模拟题分类汇总之反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•嘉善县一模）如图，过点C（1，0）作两条直线，分别交函数y=4x（x＞0），y=−2x（x＜0）的图象于点A，点B，连接AB．若AB∥x轴，则△ABC的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】连接OA、OB，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOD=12×4=2，S△BOD=12×|﹣2|＝1，即可求得S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝2+1＝3，根据同底等高的三角形面积相等，得出S△AOB＝S△ABC，即可求得△ABC的面积．
【解答】解：连接OA、OB，
∵AB∥x轴，C（1，0），
∴S△AOB＝S△ABC，
∵S△AOD=12×4=2，S△BOD=12×|﹣2|＝1，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝2+1＝3，
∴S△ABC＝3，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数中比例系数k的几何意义，关键是掌握y=kx（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
2．（2021•西湖区一模）已知点P（1，m），Q（2，n）是反比例函数y=6x图象上的两点，则（ ）
A．m＜n＜0B．n＜m＜0C．0＜m＜nD．0＜n＜m
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由P、Q两点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵y=6x中k＝6＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵1＜2，
∴0＜n＜m，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
3．（2021•金华模拟）如图，一块含有30°的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，30°角的顶点A在反比例函数y=kx的图象上，顶点B在反比例函数y=4x的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣8B．8C．﹣12D．12
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力；模型思想；应用意识．
【答案】C
【分析】根据特殊锐角的三角函数值可得OBOA=tan30°=33，再利用相似三角形的性质，可得S△OBDS△AOC=（33）2=13，由反比例函数k的几何意义可得S△OBD＝2，
进而得出S△AOC＝3S△OBD＝6，再由反比例函数k的几何意义可得出k的值．
【解答】解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
在Rt△ABO中，∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，
∴OBOA=tan30°=33，
∵∠BOD+∠OBD＝90°，∠BOD+∠AOC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠OBD＝∠AOC，
又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△OBDS△AOC=（33）2=13，
∵点B在y=4x的图象上，
∴S△OBD=12|k|＝2，
∴S△AOC＝3S△OBD＝3×2＝6=12|k|，
∴k＝±12，
又∵点A在第二象限，
∴k＝﹣12，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，特殊锐角的三角函数值，相似三角形的性质等知识，理解相似三角形的性质和锐角三角函数之间的关系是解决问题的关键．
4．（2021•杭州二模）已知反比例函数y1=k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象交于（1，4）和（4，1）两点，则使y1＞y2的x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜4B．x＜1或x＞4C．0＜x＜1或x＞4D．1＜x＜4或x＜0
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．
【解答】解：根据图形，当0＜x＜1或x＞4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，y1＞y2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．
5．（2022•丽水模拟）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变．在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近（ ）
A．302NB．300NC．150ND．120N
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】C
【分析】根据表中信息可知动力臂与动力成反比关系，选择利用反比例函数来解答．
【解答】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，
设方程为：L=KF，
从表中取一个有序数对，
不妨取（0.5，600）代入L=KF，
解得：K＝300，
∴L=300F，
把L＝2代入上式，
解得：F＝150，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是能从表中信息确定出动力臂与动力成反比的关系．
6．（2022•柯城区二模）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y=12x﹣4，则反比例函数表达式为（ ）
A．y=6xB．y=12xC．y=16xD．y=24x
【考点】反比例函数综合题．
【专题】函数的综合应用；图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】解方程求得B（8，0），G（0，﹣4），得到OB＝8，OG＝4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到AE＝BF，BE＝CF，根据相似三角形的性质得到CFBF=OGOB=12，设CF＝a，BF＝2a，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
【解答】解：在y=12x﹣4中，令y＝0，则x＝8，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（8，0），G（0，﹣4），
∴OB＝8，OG＝4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
∠AEB=∠BFC=90°∠BAE=∠FBCAB=BC，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF，BE＝CF，
∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴CFBF=OGOB=12，
∴设CF＝a，BF＝2a，
∴AE＝2a，BE＝a，
∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a），
∵点A，点C在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上，
∴2a（8﹣a）＝a（8+2a），
∴a＝2，a＝0（不合题意舍去），
∴A（6，4），
∴k＝4×6＝24，
∴反比例函数表达式为y=24x，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2023•丽水模拟）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，如图，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球体积V应（ ）m3．
A．V≥45B．V＜54C．V＜45D．V≥54
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】由题意得P与V成反比例，设气球内气体的气压P和气体的体积V之间的函数关系式为P=kV（k＞0），代入（1.6，），求出解析式，由P≤120，求出V的范围即可．
【解答】解：设气球内气体的气压P和气体的体积V之间的函数关系式为P=kV（k＞0），
∵图象过（1.6，60），
∴60=k1.6，
解得，k＝96，
∴P=96V，
∵在第一象限内P随V的增大而减小，
∴当P≤120时，V≥45，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
8．（2023•长兴县二模）运用你学习函数的经验，判断下列哪个函数的图象如图所示 （ ）
A．y=3x+1B．y=3|x+1|C．y=3x2+1D．y=3(x+1)2
【考点】反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断哪个选项中的图象与题干中的图象相符，从而可以解答本题．
【解答】解：选项A中的函数y=3x+1的x不能等于﹣1，与题干中的图象不符，故选项A不符合题意；
选项B中的函数y=3|x+1|的x不能等于﹣1，与题干中的图象不符，故选项B不符合题意；
选项C中的函数y=3x2+1的图象与题干中的图象相符，故选项C符合题意；
选项D中的函数y=3(x+1)2的x不能等于﹣1，与题干中的图象不符，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的图象，解答本题的关键是明确反比例函数自变量的取值范围．
9．（2023•南湖区二模）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点，若点D（1，1），AB=25，则k的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣9D．9
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OA=2，AD＝5，求得直线AC的解析式为y＝x，求得BD的解析式为y＝x，设A（a，﹣a），根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点D（1，1），
∴OA=2，
∵菱形的边长AB为25，
∴AD＝5，
∴OA=AD2−OD2=(25)2−(2)2=32，
∵对角线AC与BD相交于坐标原点O，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x，
∴BD的解析式为y＝x，
设A（a，﹣a），
∴a2+（﹣a）2＝18，
∴a＝﹣3或3（正值舍去），
∴A（﹣3，3），
∵A在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，
∴k＝﹣3×3＝﹣9，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
10．（2023•义乌市模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上一点，点B是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上一点，△OBA是面积为33的等边三角形，将△OBA向右平移a个单位后，AB的中点恰好落在反比例函数的图象上，则a的值为（ ）
​
A．32B．3C．323D．23
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的面积求得边长，即可求得A（23，0），B（3，3），进一步求得AB的中点为（332，32），利用待定系数法求得函数y=33x，把中点的纵坐标代入求得横坐标，与中点比较即可求得a的值．
【解答】解：∵△OBA是面积为33的等边三角形，
∴等边三角形的边长为23，
∴A（23，0），B（3，3），
∴AB的中点为（332，32），
∵点B是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上一点，
∴k=3×3=33，
∴y=33x，
代入y=32，解得x＝23，
∴a＝23−332=32，
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求得点的坐标是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2021•新昌县模拟）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～4的整数），函数y=kx（x＞0）的图象为曲线L．若曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是 8＜k＜12 ．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】8＜k＜12．
【分析】分别求出函数y=kx（x＞0）过点时k的值，可得结果．
【解答】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），
∴当函数y=kx（x＞0）过点T1（8，1），T4（2，4）时，k＝8，
当函数y=kx（x＞0）过点T2（6，2），T3（4，3）时，k＝12，
∴若曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是：8＜k＜12．
故答案为：8＜k＜12．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出各点的坐标是本题解题关键．
12．（2021•临海市模拟）已知反比例函数y=6x，若x≥2，则y的取值范围为 0＜y≤3 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】0＜y≤3．
【分析】求得x＝2时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可得到y的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y=6x中，k＝6＞0，
∴图象在第一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
∵当x＝2时，y＝3，
∴当x≥2时，0＜y≤3．
故答案为：0＜y≤3．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答此题的关键．
13．（2022•宁波模拟）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x．y），我们把点B（3x，8y）称为点A的“关爱点”．如图，▱CODE的顶点C在x轴的负半轴上，点D，E在第二象限，点E的纵坐标为2，反比例函数y=−26x（x＜0）的图象与OD交于点A．若点B是点A的“关爱点“，且点B在∠ODE的边上，则OB的长为 10 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】10．
【分析】设A（m，−26m），则B（3m，−263m），当B点在ED上时，由−263m＝2，可求B（−6，2），则OB=10；当B点在OD上时，OA的解析式为y=−26m2x，由3m•（−26m2）=−263m，可求B（−3，22）不合题意舍去．
【解答】解：设A（m，−26m），
∵点B是点A的“关爱点“，
∴B（3m，−263m），
当B点在ED上时，−263m＝2，
解得m=−62，
∴B（−6，2），
∴OB=10；
当B点在OD上时，
设OA的解析式为y＝kx，
∴mk=−26m，
解得k=−26m2，
∴y=−26m2x，
∴3m•（−26m2）=−263m，
解得m＝±3，
∴m＜0，
∴m=−3，
∴B（−3，22）（不合题意舍去），
综上所述：OB的长为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
14．（2022•常山县模拟）将一副三角板按如图方式放置在平面直角坐标系中，已知AB＝2，反比例函数y=kx(k＞0）的图象恰好经过顶点C，D，DB⊥x轴，则k的值为 6 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】6．
【分析】如图，过点C作CF⊥x轴于F，CE⊥DB于E．根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得AD＝2AB＝4，BD=23．再根据等腰三角形的性质“三线合一”求得BE=3，∠CEB＝90°，∠BCE＝45°，进而求得CE＝BE=3，那么BF＝CF=3．最后根据反比例函数图象上的点的坐标特点列出等式OB•BD＝（OB+BE）•CE，从而解决此题．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥x轴于F，CE⊥DB于E．
由题意得，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，CD＝CB，∠DCB＝90°，∠CBD＝45°．
∵AB＝2，
∴AD＝2AB＝4．
∴BD=BD2=AD2−AB2=42−22=23．
∵CD＝CB，CE⊥BD，
∴BE=12BD=3，∠CEB＝90°，∠BCE=12∠BCD=45°．
∴∠EBC＝∠ECB．
∴CE＝BE=3．
∴BF＝CF=3．
设OB＝a．
∴OB•BD＝（OB+BE）•CE．
∴23a＝（a+3）⋅3．
∴a=3．
∴k＝OB•BD=3×23=6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、反比例函数图象上的点的坐标特征是解决本题的关键．
15．（2023•江山市模拟）如图，点A，B在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，延长AB交x轴于点C，若△AOC的面积为12，且ACBC=2，则k＝ 8 ．
​
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】8．
【分析】设OM的长度为a，利用反比例函数解析式表示出AM的长度，再表示出OC的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算表示面积即可得解．
【解答】解：作AM⊥OC，BN⊥OC，
设OM＝a，
∵点A在反比例函数y=kx，
∴AM=ka，
∵B是AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AM⊥OC，BN⊥OC，
∴BN∥AM，
∴NCMN=BCAB=1，BNAM=BCAC=12，
∴NM＝NC，BN=12⋅AM=k2a，
∵点B在反比例函数y=kx，
∴ON＝2a，
又∵OM＝a，
∴OM＝MN＝NC＝a，
∴OC＝3a，
∴S△AOC=12•OC•AM=12×3a×ka=32k＝12，
解得k＝8；
故答案为：8．
【点评】本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用OM的长度表示出AM、OC的长度是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题．
16．（2023•衢江区三模）如图，在平面直角坐标系中，O点为坐标原点，菱形OABC的边OA落在x轴上，点C的坐标为（3，4），反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)经过OB、AC的交点E，则k的值是 8 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】依据题意，由C（3，4）可得OC＝OA＝5，从而可得A（5，0），故E（4，2），进而可以得解．
【解答】解：由题意，OA＝OC=32+42=5，
∴A（5，0）．
又菱形的对角线互相平分，由中点坐标公式，
∴E（4，2）．
又E在反比例函数y=kx上，
∴k＝4×2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质及菱形的性质，解题时要能熟悉并灵活运用．
三．解答题（共6小题）
17．（2021•杭州模拟）已知反比例函数y=2k+1x．
（1）若图象在第二、四象限，求k的取值范围；
（2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）k＜−12；
（2）k＞−12．
【分析】（1）根据反比例函数y=2k+1x的图象在第二、四象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可；
（2）根据反比例函数的增减性列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可得出结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=2k+1x的图象在第二、四象限，
∴2k+1＜0，
解得：k＜−12；
（2）∵反比例函数y=2k+1x的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
∴2k+1＞0，
∴k＞−12．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
18．（2021•东阳市模拟）已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，b），满足b﹣a＝2则称点P为函数图象上“梦幻点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“梦幻点”P（1，3）
（1）求直线y=12x+3上的“梦幻点”的坐标；
（2）求双曲线y=3x上的“梦幻点”之间的距离；
（3）若二次函数y=14x2+（3−t）x+n+t的图象上存在唯一的梦幻点，求此时n的最小值．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（2，4）；
（2）42；
（3）−14．
【分析】（1）将梦幻点P（a，a+2）代入解析式即可求解；
（2）将梦幻点P（a，a+2）代入y=3x求得a＝﹣3或1，从而得出P1（﹣3，﹣1），P2（1，3），再利用两点间距离公式建立方程求解即可；
（3）把点P的坐标代入二次函数表达式，化简得：14a2+（3﹣t）a+n+t﹣2＝0，由于图象上存在唯一的梦幻点，故Δ＝0，得出n＝t2﹣5t+6，该函数图象开口向上，求n最小值即可．
【解答】解：（1）设梦幻点P（a，a+2），
∵点P是直线y=12x+3上的“梦幻点”，
∴a+2=12a+3，
∴a＝2，
∴点P（2，4）；
（2）若点P（a，a+2）在双曲线y=3x上，
∴3＝a（a+2），
∴a＝﹣3或1，
∴P1（﹣3，﹣1），P2（1，3），
∴两个“梦幻点”之间的距离为42+42=42；
（3）∵点P是二次函数y=14x2+（3−t）x+n+t的图象上唯一的梦幻点，
∴a+2=14a2+（3﹣t）a+n+t，
∴14a2+（2﹣t）a+n+t﹣2＝0，
∵图象上存在唯一的梦幻点，
∴Δ＝0，
∴（2﹣t）2﹣4×14×（n+t﹣2）＝0，
∴t2﹣5t+6＝n，
∴n最小=4ac−b24a=−14．
【点评】本题是二次函数综合题，属于新定义类题目，需要理解新定义，按要求逐次求解，该题涉及的字母多，一定要思路清晰，分清字母代表的含义细心求解．
19．（2022•拱墅区模拟）如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点30cm处挂一个重9.8牛的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位：牛，精确到0.1牛）有什么变化．小慧在做此《数学活动》时，得到下表的数据：
结果老师发现其中有一个数据明显有错误．
（1）你认为当L＝ 10 cm时所对应的F数据是明显错误的；
（2）在已学过的函数中选择合适的模型求出F与L的函数关系式；
（3）若弹簧秤的最大量程是60牛，求L的取值范围．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）10；
（2）F=294L；
（3）L的取值范围是4.9cm≤L≤50cm．
【分析】（1）根据表格数据，可发现L与F的乘积为定值294，从而可得答案；
（2）根据FL＝294，可得F与L的函数解析式；
（3）根据弹簧秤的最大量程是60牛，即可得到结论．
【解答】解：（1）根据杠杆原理知 F•L＝30×9.8．
当L＝10cm时，F＝29.4牛顿．所以表格中数据错了；
（2）根据杠杆原理知F•L＝30×9.8．
∴F与L的函数关系式为：F=294L；
（3）当F＝60牛时，由F=294L得L＝4.9，
根据反比例函数的图象与性质可得L≥4.9，
∵由题意可知L≤50，
∴L的取值范围是4.9cm≤L≤50cm．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出F与l的积为定值，从而得出函数关系式．
20．（2022•上城区校级模拟）设函数y1=kx（k是常数，k≠0），点M（3，a）在该函数图象上，将点M先关于y轴对称，再向下平移4个单位，得点N，点N恰好又落在该函数图象上．
（1）求函数y1的表达式；
（2）若函数y2＝x+1与函数y1图象相交，当y2＞y1时，求自变量x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）函数y1的表达式为y1=6x；
（2）﹣3＜x＜0或x＞2．
【分析】（1）求得点N的坐标，然后把M、N的坐标代入即可得到k＝3a＝﹣3（a﹣4），解得a＝2，即可求得k＝6；
（2）求得两函数的交点坐标，观察图象即可求得．
【解答】解：（1）∵将点M（3，a）先关于y轴对称，再向下平移4个单位，得点N，
∴N（﹣3，a﹣4），
∵点M、N在函数y1=kx（k是常数，k≠0）图象上，
∴k＝3a＝﹣3（a﹣4），
解得a＝2，
∴k＝3a＝6，
∴函数y1的表达式为y1=6x；
（2）由y=x+1y=6x，解得x=2y=3或x=−3y=−2，
∴函数y2＝x+1与函数y1图象的交点为（2，3），（﹣3，﹣2），如图，
观察图象，当y2＞y1时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞2．
【点评】本题了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
21．（2023•东阳市三模）
【考点】反比例函数的应用；角平分线的性质；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】任务1：（102，22），y=32x，乙正确；
任务2：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加52吨货物此货船能通过该桥洞．
【分析】任务1：设曲线AB的解析式为y=kx，把点C（42，42）代入，可得曲线AB的解析式为y=32x，再由反比例函数图象的对称性可得：点D是AB的中点，OD⊥AB，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，可得△CDE、△ADF是等腰直角三角形，进而可得D（62，62），A（102，22），点A（102，22）在双曲线y=40x上与点C在双曲线y=32x上矛盾；
任务2：设A（a，ka），B（b，kb），其中a＞b，则D（a+b2，ka+kb2ab），可得k＝ab，由CD＝4，AB＝16，可得（a﹣b）2＝128，C（a+b2−22，a+b2−22），可得k＝18，再根据矩形的性质可得E（524，2324），即可判断此时货船不能通过；运用待定系数法可得直线EF的解析式为y＝x+922，进而可得直线EF与双曲线的交点E′（322，62），即可求得答案．
【解答】解：任务1：设曲线AB的解析式为y=kx，把点C（42，42）代入，得：42=k42，
解得：k＝32，
∴曲线AB的解析式为y=32x，
∵CD落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于CD对称，即A、B关于第一象限角平分线y＝x对称，
∴点D是AB的中点，OD⊥AB，
过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，如图，
则△CDE、△ADF是等腰直角三角形，
∵CD＝4，
∴CE＝DE＝22，
∴D（62，62），
∵AB＝16，
∴AD＝8，AF＝DF＝42，
∴A（102，22），
∵102×22=40，
∴点A（102，22）在双曲线y=40x上，
∴点C所在双曲线的函数表达式为y=32x显然不符合题意．
故答案为：（102，22），y=32x，乙正确；
任务2：设A（a，ka），B（b，kb），其中a＞b，则D（a+b2，ka+kb2ab），如图，
∵点D在直线y＝x上，
∴a+b2=ka+kb2ab，即k＝ab，
∵CD＝4，AB＝16，
∴（a﹣b）2＝128，C（a+b2−22，a+b2−22），
∵（a+b2−22）2＝ab，
∴a+b＝102，
∴k＝ab=(a+b)2−(a−b)24=18，
∴A（92，2），B（2，92），C（32，32），D（52，52），
∵四边形EFGH是矩形，
∴FG＝EH，GH＝EF，
∵EF＝3，EH＝9，
∴F（1124，2924），E（524，2324），
∵524×2324=1158＜18，
∴此时货船不能通过该桥洞；
设直线EF的解析式为y＝x+n，把F（1124，2924）代入，得1124+n=2924，
解得：n=922，
∴直线EF的解析式为y＝x+922，
联立得x+922=18x，
解得：x1＝﹣62（舍去），x2=322，
∴E′（322，62），
∴EE′=12，即h=12，
∵h=15t，
∴t＝5h=52，
故要至少增加52吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加52吨货物此货船能通过该桥洞．
【点评】本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题关键是关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
22．（2023•金东区三模）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
​（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，请求出点P的坐标．
（3）对于反比例函数y2=kx(k≠0)，当y≤3时，直接写出x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）一次函数的解析式y1＝﹣x+2，反比例函数解析式y2=−3x；（2）P的坐标为（34，﹣4）；（3）当y≤3时，x的取值范围是x≤﹣1或x＞0．
【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，最后将A点的坐标代入解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得S△OBD＝1，进一步根据题意得到S△OCP=12OC•|yP|＝4，即12×2×|yP|＝4，求得P的纵坐标，进而求得横坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当y≤3时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵比例函数y2=kx(k≠0)的图象过点B（﹣1，3），
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴y2=−3x，
∵A（a，﹣1）在双曲线上．
∴﹣1=−3a，
∴a＝3，
∴A（3，﹣1），
∵一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象经过A、B两点，
∴−m+n=33m+n=−1，解得m=−1n=2，
∴一次函数的解析式y1＝﹣x+2；
（2）在y＝﹣x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，则x＝2，
∴D（0，2），C（2，0），
∴OD＝OC＝2，
∴S△OBD=12×2×1=1，
∵S△OCP＝4S△OBD，
∴S△OCP=12OC•|yP|＝4，即12×2×|yP|＝4，
∴yp＝﹣4，
代入y2=−3x得，﹣4=−3x，解得x=34，
∴P的坐标为（34，﹣4）；
（3）观察图象可知，对于反比例函数y2=kx，当y≤3时，x的取值范围是x≤﹣1或x＞0．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，数形结合是解题的关键动力臂L（m）
动力F（N）
0.5
600
1.0
302
1.5
200
2.0
a
2.5
120
L/cm
5
10
15
20
25
30
35
40
F/牛
58.8
60.2
19.6
14.7
11.8
9.8
8.4
7.4
设计货船通过双曲线桥的方案
素材1
一座曲线桥如图1所示，当水面宽AB＝16米时，桥洞顶部离水面距离CD＝4米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．
素材2
如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3米，EH＝9米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式h=15t．
问题解决
任务1
确定桥洞的形状
①建立平面直角坐标系如图3所示，显然，CD落在第一象限的角平分线上．
甲说：点C可以在第一象限角平分线的任意位置．
乙说：不对吧？当点C落在（42，42）时，点A的坐标为 ，此时过点A的双曲线的函数表达式为 ，而点C所在双曲线的函数表达式为y=32x显然不符合题意．
任务2
拟定方案
此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？
动力臂L（m）
动力F（N）
0.5
600
1.0
302
1.5
200
2.0
a
2.5
120
L/cm
5
10
15
20
25
30
35
40
F/牛
58.8
60.2
19.6
14.7
11.8
9.8
8.4
7.4
设计货船通过双曲线桥的方案
素材1
一座曲线桥如图1所示，当水面宽AB＝16米时，桥洞顶部离水面距离CD＝4米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．
素材2
如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3米，EH＝9米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式h=15t．
问题解决
任务1
确定桥洞的形状
①建立平面直角坐标系如图3所示，显然，CD落在第一象限的角平分线上．
甲说：点C可以在第一象限角平分线的任意位置．
乙说：不对吧？当点C落在（42，42）时，点A的坐标为 （102，22） ，此时过点A的双曲线的函数表达式为 y=40x ，而点C所在双曲线的函数表达式为y=32x显然不符合题意．
任务2
拟定方案
此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？