三年江苏中考数学模拟题分类汇总之圆

这是一份三年江苏中考数学模拟题分类汇总之圆，共35页。

A．5B．6C．8D．10
2．（2023•沛县校级模拟）如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（ ）
A．Rsin20°B．Rsin40°C．2Rsin20°D．2Rsin40°
3．（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（ ）
A．16°B．24°C．12°D．14°
4．（2022•吴中区模拟）如图所示，A、B、C、D是一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD的度数为（ ）
A．14°B．40°C．30°D．15°
5．（2022•镇江模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．50°
6．（2021•海安市二模）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则侧面积为（ ）
A．10πB．12πC．15πD．7.5π
7．（2021•滨海县一模）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25°B．20°C．30°D．35°
8．（2021•高新区校级二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF=13，则点F与点C的最小距离为（ ）
A．310−1B．37C．37−1D．910109
9．（2021•高邮市校级模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
二．填空题（共6小题）
10．（2023•徐州一模）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则该圆锥的侧面积为 ．
11．（2023•沭阳县三模）若一个圆锥的侧面积是50π，其侧面展开图是一个半圆，它的底面半径是 ．
12．（2022•南京二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB=2，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 ．
13．（2022•秦淮区二模）若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 ．
14．（2021•高港区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF=52，则AB＝ ．
15．（2021•姜堰区二模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）
三．解答题（共7小题）
16．（2023•镇江模拟）已知如图，△ABC中AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC＝6，csC=14，求⊙O的直径．
17．（2023•天宁区校级二模）如图1，一次函数y=−43x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，P是射线AO上一点，以BP为直径画圆，圆心为M．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）当⊙M与直线AB相切时，请在图2中作出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹），并求⊙M的半径长；
（3）当⊙M与直线AB相交时，另一个交点记为Q，直线l过点Q且与x轴平行，交⊙M于点Q′．当PB、PA、PQ三条射线中，其中一条是另两条射线所夹角的角平分线时，求点Q′的坐标．
18．（2022•邗江区二模）如图，Rt△ABC中∠ABC＝90°，⊙O与△ABC的边AB、AC边分别相交于点E和点D（圆心O在AB上），连接OD和BD，已知∠CBD＝2∠A．
（1）求证：BD为⊙O的切线；
（2）若已知OD＝1，DE=π3，求CD的长．
19．（2022•建湖县一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且BE＝DE．
（1）证明：BE为⊙O的切线；
（2）若AM＝4，tanA＝2，求DE的长．
20．（2021•常熟市一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．
（1）求证：∠ABD＝2∠CAB；
（2）连接AD，若sin∠BAD=35，且BF＝2，求⊙O的半径．
21．（2021•玄武区一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的点，过点D作DE⊥BC交AC边于点E，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接EF，经过点D，E，F的⊙O与边BC另一个公共点为G．
（1）连接GF，求证△BGF∽△DEF；
（2）若AB＝AC，BC＝4，tanC＝2，
①当CD＝1.5时，求⊙O的半径；
②当点D在BC边上运动时，⊙O半径的最小值为 ．
22．（2021•江都区校级模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=45，AC＝6，求⊙O的直径．
江苏三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总---圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2023•宜兴市二模）已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】A
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
2．（2023•沛县校级模拟）如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（ ）
A．Rsin20°B．Rsin40°C．2Rsin20°D．2Rsin40°
【考点】正多边形和圆；解直角三角形．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】过O作OC⊥AB于点C，则AC＝BC=12AB，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图所示，
过O作OC⊥AB于点C，则AC＝BC=12AB，
∵此多边形是正九边形，
∴∠AOB=360°9=40°，
∴∠AOC=40°2=20°，
在Rt△AOC中，AC＝OAsin∠AOC＝R×sin20°，
∴AB＝2AC＝2Rsin20°．
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用及正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
3．（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（ ）
A．16°B．24°C．12°D．14°
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】由圆周角定理推出∠DAF＝∠BAF＝32°，∠ABF＝90，得到∠BAD＝64°，由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，即可求出∠CBF的．
【解答】解：∵AF为圆的直径，
∴∠ABF＝90°，ABF=ADF，
∵AB=AD，
∴BF=DF，
∴∠DAF＝∠BAF＝32°，
∴∠BAD＝64°，
∵∠E＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，
∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，关键是由圆周角定理求出∠BAD的度数．
4．（2022•吴中区模拟）如图所示，A、B、C、D是一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD的度数为（ ）
A．14°B．40°C．30°D．15°
【考点】正多边形和圆；多边形内角与外角．
【专题】正多边形与圆；几何直观．
【答案】C
【分析】连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：连接OB、OC，
多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：360°40°=9，
∴∠AOB=360°9=40°，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．
∴∠OAD=180°−∠AOD2=180°−120°2=30°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．
5．（2022•镇江模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．50°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；几何直观．
【答案】A
【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠A＝∠OCA＝40°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（2021•海安市二模）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则侧面积为（ ）
A．10πB．12πC．15πD．7.5π
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
7．（2021•滨海县一模）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25°B．20°C．30°D．35°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．
故选：C．
【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
8．（2021•高新区校级二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF=13，则点F与点C的最小距离为（ ）
A．310−1B．37C．37−1D．910109
【考点】圆周角定理；解直角三角形；矩形的性质．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】A
【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝3，可得FG＝1，推出点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF=13，
∴AFAE=13，
∵AB＝6，AG＝GB，
∴AG＝GB＝3，
∵AD＝9，
∴AGAD=39=13，
∴AFAE=AGAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝3，
∴FG＝1，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，
∵GC=BC2+BG2=310，
∴FC≥GC﹣FG，
∴FC≥310−1，
∴CF的最小值为310−1．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．（2021•高邮市校级模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】先利用圆周角定理得到∠A=12∠BOC＝30°，然后根据等腰三角形的性质得到∠C的度数．
【解答】解：∠A=12∠BOC=12×60°＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠A＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理,解答此题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
二．填空题（共6小题）
10．（2023•徐州一模）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则该圆锥的侧面积为 24πcm2 ．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】24πcm2．
【分析】先求出圆锥底面圆的周长为6πcm，再根据扇形面积公式12lr即可求解．
【解答】解：∵圆锥底面圆的直径6cm，
∴圆锥底面圆的周长为6πcm，
∴该圆锥的侧面积为12×6π×8=24πcm2．
故答案为：24πcm2．
【点评】本题考查圆锥的侧面积．熟知圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为底面圆周长是解题的关键．
11．（2023•沭阳县三模）若一个圆锥的侧面积是50π，其侧面展开图是一个半圆，它的底面半径是 5 ．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】5．
【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面积为侧面展开图中扇形的面积得出180π×l2360=50π，求出l＝10，再设圆锥的底面半径是r，根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长得出2πr=180π×10180，解方程即可求出半径．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，则180π×l2360=50π，
解得：l＝10，
设圆锥的底面半径是r，则2πr=180π×10180，
解得：r＝5．
即这个圆锥的底面半径为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
12．（2022•南京二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB=2，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 π4 ．
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】π4．
【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，AB＝AE=2，利用勾股定理求出DE，即可证得∠DAE＝45°，进而求得∠BAE＝45°，再求出扇形ABE的面积，即可得出答案．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝1，AB=2，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∵AE＝AB，
∴DE=AE2−AD2=2−1=1，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝45°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABE
=45π×(2)2360
=π4．
故答案为：π4．
【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和勾股定理等知识点，能求出∠EAB的度数是解此题的关键．
13．（2022•秦淮区二模）若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 4 ．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；空间观念．
【答案】4．
【分析】该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×2=180×π×l180，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×2=180×π×l180，
解得l＝4，
即该圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（2021•高港区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF=52，则AB＝ 5 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】5．
【分析】作直径DG，连接CG，如图，利用圆周角定理得到∠DCG＝90°，再证明∠ADB＝∠CDG，则AB＝CG，接着根据垂径定理得到DF＝CF，则OF为△DCG的中位线，所以CG＝2OF＝5，从而得到AB的长．
【解答】解：作直径DG，连接CG，如图，
∵DG为直径，
∴∠DCG＝90°，
∴∠CDG+∠G＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠DAC+∠ADB＝90°，
∵∠DAC＝∠G，
∴∠ADB＝∠CDG，
∴AB=CG，
∴AB＝CG，
∵OF⊥CD，
∴DF＝CF，
∵OD＝OG，
∴OF为△DCG的中位线，
∴CG＝2OF＝2×52=5，
∴AB＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
15．（2021•姜堰区二模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 12π cm2．（结果保留π）
【考点】圆锥的计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，侧面面积=12×6π×4＝12πcm2．
故答案为：12π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
三．解答题（共7小题）
16．（2023•镇江模拟）已知如图，△ABC中AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC＝6，csC=14，求⊙O的直径．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OM．根据OB＝OM，得∠1＝∠3，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠1＝∠2，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；
（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE＝CE＝3，再根据解直角三角形的知识求得AB＝12，则OA＝12﹣r，从而根据平行线分线段成比例定理求解．
【解答】（1）证明：连接OM．
∵OB＝OM，
∴∠1＝∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴OM∥BE．
∵AB＝AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；
（2）解：设圆的半径是r．
∵AB＝AC，AE是角平分线，
∴BE＝CE＝3，∠ABC＝∠C，
又csC=14，
∴AB＝BE÷csB＝12，则OA＝12﹣r．
∵OM∥BE，
∴OMBE=OAAB，
即r3=12−r12，
解得r＝2.4．
则圆的直径是4.8．
【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的知识．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．
17．（2023•天宁区校级二模）如图1，一次函数y=−43x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，P是射线AO上一点，以BP为直径画圆，圆心为M．
（1）点A的坐标为 （3，0） ，点B的坐标为 （0，4） ；
（2）当⊙M与直线AB相切时，请在图2中作出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹），并求⊙M的半径长；
（3）当⊙M与直线AB相交时，另一个交点记为Q，直线l过点Q且与x轴平行，交⊙M于点Q′．当PB、PA、PQ三条射线中，其中一条是另两条射线所夹角的角平分线时，求点Q′的坐标．
【考点】圆的综合题．
【专题】数形结合；分类讨论；一次函数及其应用；圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】（1）（3，0），（0，4）；
（2）作图见解答过程，⊙M的半径长为103；
（3）Q'的坐标为（−83，2）或（−485，365）．
【分析】（1）在y=−43x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝3，即得A（3，0），B（0，4）；
（2）过B作BP⊥AB，交x轴于P，则点P即为所求；由tan∠BAO＝tan∠PBO，得43=OP4，即有OP=163，BP=OB2+OP2=203，故⊙M的半径长为103；
（3）分三种情况：①当PQ平分∠APB时，证明△BPQ≌△APQ（ASA），得BP＝AP，BQ＝AQ，可知Q为AB的中点，坐标为（32，2），设P（m，0），有m2+16＝（3﹣m）2，解答P（−76，0），故M（−712，2），从而QM=32−（−712）=2512，且QM∥x轴，即得Q'（−83，2）；②当PB平分∠APQ时，过Q作QK⊥x轴于K，过M作MT⊥QQ'于T，证明△QPB≌△OPB（AAS），得BQ＝BO＝4，PQ＝OP，AQ＝AB+BQ＝9，由tan∠BAO=OBOA=PQAQ，得43=PQ9，可得P（﹣12，0），而△AOB∽△AKQ，可得3AK=4QK=59，可求出Q（−125，365），TQ=−125−（﹣6）=185，即可求得Q'（−485，365）；③由P是射线AO上一点，可知PA不能平分∠QPB．
【解答】解：（1）在y=−43x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，4），
故答案为：（3，0），（0，4）；
（2）过B作BP⊥AB，交x轴于P，如图：
点P即为所求；
∵∠BAO＝90°﹣∠ABO＝∠PBO，
∴tan∠BAO＝tan∠PBO，
∴OBOA=OPOB，
∵A（3，0），B（0，4），
∴43=OP4，
∴OP=163，
∵∠BOP＝90°，
∴BP=OB2+OP2=42+(163)2=203，
∴⊙M的半径长为103；
（3）①当PQ平分∠APB时，如图：
∵BP为⊙M直径，
∴∠BQP＝90°＝∠AQP，
∵∠BPQ＝∠APQ，PQ＝PQ，
∴△BPQ≌△APQ（ASA），
∴BP＝AP，BQ＝AQ，
∵A（3，0），B（0，4），
∴Q为AB的中点，坐标为（32，2），
设P（m，0），
由BP＝AP得m2+16＝（3﹣m）2，
解得m=−76，
∴P（−76，0），
∵M为BP中点，
∴M（−712，2），
∴QM=32−（−712）=2512，且QM∥x轴，
∴Q'在直线QM上，
∵−712−2512=−83，
∴Q'（−83，2）；
②当PB平分∠APQ时，过Q作QK⊥x轴于K，过M作MT⊥QQ'于T，如图；
∵BP为⊙M的直径，
∴∠PQB＝90°＝∠POB，
∵∠QPB＝∠OPB，PB＝PB，
∴△QPB≌△OPB（AAS），
∴BQ＝BO＝4，PQ＝OP，
∵AB=OA2+OB2=5，
∴AQ＝AB+BQ＝9，
∵tan∠BAO=OBOA=PQAQ，
∴43=PQ9，
∴PQ＝12，
∴OP＝12，
∴P（﹣12，0），
∴M（﹣6，2），
∵OB∥QK，
∴△AOB∽△AKQ，
∴OAAK=OBQK=ABAQ，即3AK=4QK=59，
∴AK=275，QK=365，
∴OK=275−3=125，
∴Q（−125，365），
∴TQ=−125−（﹣6）=185，
由垂径定理可知TQ＝TQ'，
∴TQ'=185，
∵﹣6−185=−485，
∴Q'（−485，365）；
③∵P是射线AO上一点，
∴PA不能平分∠QPB；
综上所述，Q'的坐标为（−83，2）或（−485，365）．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，尺规作图等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
18．（2022•邗江区二模）如图，Rt△ABC中∠ABC＝90°，⊙O与△ABC的边AB、AC边分别相交于点E和点D（圆心O在AB上），连接OD和BD，已知∠CBD＝2∠A．
（1）求证：BD为⊙O的切线；
（2）若已知OD＝1，DE=π3，求CD的长．
【考点】切线的判定与性质；弧长的计算；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）CD=3．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ODA，根据三角形外角的性质得到∠DOB＝2∠A，推出∠CBD＝∠DOB，根据∠ABC＝90°即可证得∠ODB＝90°，则可得BD为⊙O的切线；
（2）根据弧长公式求出∠DOE＝60°，根据含30°角的直角三角形三边关系，得到BD=3，推出∠C＝∠CBD，即可求出CD的长．
【解答】（1）证明：∵∠DOB＝2∠A，∠CBD＝2∠A，
∴∠CBD＝∠DOB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠DOB+∠DBO＝90°，
∴∠ODB＝180°﹣（∠DOB+∠BDO）＝90°，
即：OD⊥BD，
∵OD为半径，
∴BD与⊙O相切；
（2）解：设∠DOE＝n°，
∵DE=π3，OD＝1，
∴nπ×1180=π3，
解得：n＝60，
∴∠DOE＝60°，
∴∠DBC＝∠DOE＝60°．
∵∠A=12∠DOE，
∴∠A＝30°．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝30°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ODA﹣∠ODB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴△CDB为等边三角形，
∴CD＝DB．
在Rt△ODB中，
∵tan∠DOB=BDOD，
∴BD＝OD•tan60°＝1×3=3，
∴CD＝BD=3．
【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、弧长公式、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点；弧长公式：l=nπr180要牢记，切线的判定分知道切点和不知道切点，知道切点：连半径，证垂直；不知道切点：作垂直，证半径．牢记知识点是解答本题的关键．
19．（2022•建湖县一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且BE＝DE．
（1）证明：BE为⊙O的切线；
（2）若AM＝4，tanA＝2，求DE的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）152．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ACD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ABC，∠D＝∠DBE，推出CB⊥BE，于是得到结论；
（2）连接BM，根据圆周角定理得到BM⊥AC，根据三角函数的定义得到BM＝16，BC＝20，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，
∵AC＝BC，BE＝DE，
∴∠A＝∠ABC，∠D＝∠DBE，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠CBE＝180°﹣90°＝90°，
∴CB⊥BE，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：连接BM，
∵BC为⊙O的直径，
∴BM⊥AC，
∵AM＝4，tanA=BMAM=2，
∴BM＝2AM＝8，
∵AC＝BC，
∴CM＝BC﹣AM＝BC﹣4，
∵BC2＝BM2+CM2，
∴BC2＝82+（BC﹣4）2，
∴BC＝10，
∴AC＝BC＝10，
∵BM⊥AC，AC⊥CD，
∴BM∥CD，
∴∠MBC＝∠BCE，
∵∠BMC＝∠CBM＝90°，
∴△BMC∽△CBE，
∴CMBE=BMBC，
∴6BE=810，
∴BE=152，
∴DE＝BE=152，
故DE的长为152．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．（2021•常熟市一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．
（1）求证：∠ABD＝2∠CAB；
（2）连接AD，若sin∠BAD=35，且BF＝2，求⊙O的半径．
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质和外角的性质得出∠2＝2∠CAB，根据切线的性质得出OC⊥CF，即可证得OC∥DB，根据平行线的性质得出∠ABD＝∠2，即可证得∠ABD＝2∠CAB；
（2）首先证得AD∥CF，得到∠BAD＝∠F，在RT△BEF中，根据三角函数的定义求出BE，再根据相似三角形的判定证得△FBE∽△FOC，根据相似三角形的性质即可求得⊙O的半径为r．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠1，
∴∠2＝∠CAB+∠1＝2∠CAB，
∵CF切⊙O于C，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CF，
∵DB⊥CF，
∴OC∥DB，
∴∠ABD＝∠2，
∴∠ABD＝2∠CAB；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥DE，
∵DE⊥CF，
∴AD∥CF，
∴∠BAD＝∠F，
在Rt△BEF中，
∵∠BEF＝90°，BF＝2，sin∠F＝sin∠BAD=35，
∴BE＝BF•sin∠F＝2×35=65，
∵OC∥BE，
∴△FBE∽△FOC，
∴FBFO=BEOC，
设⊙O的半径为r，则22+r=65r，
解得r＝3，
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，正确作出辅助线，根据相似三角形的性质列出关于半径的方程是解决问题的关键．
21．（2021•玄武区一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的点，过点D作DE⊥BC交AC边于点E，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接EF，经过点D，E，F的⊙O与边BC另一个公共点为G．
（1）连接GF，求证△BGF∽△DEF；
（2）若AB＝AC，BC＝4，tanC＝2，
①当CD＝1.5时，求⊙O的半径；
②当点D在BC边上运动时，⊙O半径的最小值为 2 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】与圆有关的计算；推理能力；应用意识．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①102；
②2．
【分析】（1）证明∠BDF的两个余角∠B和∠EDF相等，⊙O的内接四边形的一个外角∠FGB等于内对角FED，即可得证；
（2）①由tanC＝2，CD＝1.5可得DE，结合tanB＝tanC＝2和△BGF∽△DEF，可得BG=32，GD＝1，Rt△GED中用勾股定理即可得答案；
②设DC＝x，同①可得GE2＝（4﹣2x）2+（2x）2＝8x2﹣18x+16＝8（x﹣1）2+8，即可得GE的最小值，从而得半径的最小值．
【解答】解：（1）如图：
∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠EDB＝∠BFD＝90°，
在Rt△BFD中，∠B+∠BDF＝90°，
∵∠EDF+∠BDF＝∠EDB＝90°，
∴∠B＝∠EDF，
∵四边形EFGD是⊙O的内接四边形，
∴∠FGB＝∠FED，
∴△BGF∽△DEF；
（2）①连接EG，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴tanB＝tanC＝2，
Rt△EDC中，∠EDC＝90°，
∴tanC=DEDC=2，
∵DC＝1.5，
∴DE＝2DC＝3，
Rt△BFD中，∠BFD＝90°，
∴tanB=DFBF=2，
∵△BGF∽△DEF，
∴DEBG=DFBF，
∴3BG=2，
∴BG=32，
∴GD＝BC﹣BG﹣DC＝1，
Rt△GED中，∠GDE＝90°，
∴GD2+DE2＝GE2，
∴GE=12+32=10，
∵D在⊙O上，且∠GDE＝90°，
∴GE是⊙O的直径，
∴r=12GE=102；
②如图：
设DC＝x，同①的道理，
∵tanC=DEDC=2，
∴DE＝2x，
∵tanB=DFBF=tanC＝2，且△BGF∽△DEF，有DEBG=DFBF，
∴BG＝x，
∴GD＝4﹣2x，
Rt△GDE中，GD2+DE2＝GE2，
∴GE2＝（4﹣2x）2+（2x）2
＝8x2﹣18x+16
＝8（x﹣1）2+8，
∴当x＝1时，GE2有最小值，最小值为8，
∴GE的最小值为22，半径最小值是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查圆性质的综合运用，涉及相似三角形、三角函数、二次函数等知识，解题的关键是由△BGF∽△DEF得到DEBG=DFBF，从而得到BG．
22．（2021•江都区校级模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=45，AC＝6，求⊙O的直径．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AB＝AC，AD＝DC得∠C＝∠B，∠1＝∠C，则∠1＝∠B，根据圆周角定理得∠E＝∠B，∠ADE＝90°，所以∠1+∠EAD＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=12AC＝3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC=DFDC=45，则设DF＝4x，DC＝5x，利用勾股定理得CF＝3x，所以3x＝3，解得x＝1，于是得到DC＝AD＝5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝DC，
∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，
∴∠1＝∠B，
又∵∠E＝∠B，
∴∠1＝∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E+∠EAD＝90°，
∴∠1+∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA＝DC，
∴CF=12AC＝3，
在Rt△CDF中，∵sinC=DFDC=45，
设DF＝4x，DC＝5x，
∴CF=CD2−DF2=3x，
∴3x＝3，解得x＝1，
∴DC＝5，
∴AD＝5，
∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴AEDC=ADDF，即AE5=54，解得AE=254，
即⊙O的直径为254．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质。