三年湖南中考数学模拟题分类汇总之反比例函数

这是一份三年湖南中考数学模拟题分类汇总之反比例函数，共37页。


A．5B．6C．7D．8
2．（2021•湘潭模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与y=mnx(mn≠0)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022•天心区二模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022•长沙一模）如图，P为反比例函数y=kx的图象上一点，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为6，则k的值是（ ）
A．6B．12C．﹣12D．﹣6
5．（2023•天心区校级三模）若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）在反比例函数y=6x的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞c＞a
6．（2023•岳麓区一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OP1＝P1P2＝P2P3＝⋅⋅⋅＝Pn﹣1Pn＝1，过点P1、P2、P3、…Pn分别作x轴的垂线，与反比例函数y=2x(x＞0)交于点Q1、Q2、Q3、…Qn，连接Q1Q2、Q2Q3、…Qn﹣1Qn，过点Q2、Q3、…Qn分别向P1Q1、P2Q2、…Pn﹣1Qn﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ）
A．2n+1B．2nC．n−1nD．n+22n
7．（2023•怀化二模）如图，已知反比例函数y=2x与一次函数y＝﹣x+3的图象交于A、B两点，P为y轴上一动点，连接PA、PB，当PA+PB取得最小值时，△ABP的面积为（ ）
A．1B．32C．43D．23
二．填空题（共8小题）
8．（2023•沅江市校级模拟）当m 时，函数y=m−2x的图象在第二、四象限内．
9．（2023•荷塘区二模）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），反比例函数y=kx（x＞0）的图象同时经过点B与点D，则k的值为 ．
10．（2023•芙蓉区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=4x（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为 ．
11．（2022•双峰县一模）如图，是反比例函数y=k1x和y=k2x（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为 ．
12．（2022•开福区校级一模）如图，A、B是函数y=2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则S＝ ．
13．（2022•茶陵县模拟）如图，△ABO的顶点A在函数y=kx(x＜0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为 ．
14．（2021•长沙模拟）如图，A为反比例函数y=kx（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB=210，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=kx（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则k＝ ；ADDB= ．
15．（2021•娄底一模）如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=kx（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为 ．
三．解答题（共7小题）
16．（2021•岳阳二模）如图，直线y＝mx+n与双曲线y=kx相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求直线AB与双曲线的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
17．（2021•荷塘区模拟）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y=kx（k≠0）交于一、三象限内的A，B两点与x轴交于点C，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=25．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）点E为坐标轴上一点，以AE为直径的圆恰好经过点B，直接写出点E的坐标．
（3）点P（s，t）（s＞2）在直线AB上运动，PM∥x轴交双曲线于M，PN∥y轴交双曲线于N，直线MN分别交x轴，y轴于F，G，求OFOG+3t的值．
18．（2021•芦淞区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D的坐标为（﹣4，n），且AD＝3．
（1）求反比例函数y=kx的解析式；
（2）求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；
（3）设点E是线段CD上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．
19．（2022•荷塘区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D的坐标为（﹣4，1），且AD＝3．
（1）求k的值；
（2）求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式；
（3）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．
20．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=kx（x＞0）于C，D两点．
（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；
（2）当k＝1时：
①若AC＝BD，求a与b的数量关系；
②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．
21．（2023•平江县模拟）如图，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，AC∥y轴，BC⊥AB．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求ABBC的值．
22．（2023•开福区校级二模）定义：在平面直角坐标系中，将函数x≤h部分的图象记为W1，将图象W1沿x＝h翻折到右侧后得到的图象为W2，我们称图象W1，W2共同构成的图象称为函数的“h阶共生函数”，如函数y＝x的“1阶共生函数”解析式为y=x，x≤1−x+2，x＞1．
（1）直接写出直线l：y＝x﹣3的“4阶共生函数”与x轴的交点坐标；
（2）已知直线y＝kx﹣k﹣3与y=2x的“0阶共生函数”共有三个交点，求此时k的取值范围；
（3）若函数y＝﹣x2+2的“h阶共生函数”与直线y＝x恰有两个不同的交点，求h的取值范围．
湖南三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总--反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2021•岳麓区校级模拟）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y=−8x上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
【解答】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．
∵点A在y=−8x上，
∴A（−4m，2m），
∴AJ=4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DK∥BC，
∴DKBC=EDEC=13，
∴BC＝AD＝3b，AK＝2b，JK＝2b−4m，
∵JF∥DE，
∴JFDE=JKDK，
∴JFm=2b−4mb，
∴JF=2mb−4b，
∴OF＝OJ﹣JF＝2m−2mb−4b=4b，
∴S△BFC=12•BC•OF=12×3b•4b=6，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．（2021•湘潭模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与y=mnx(mn≠0)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；应用意识．
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的图象是否正确．
【解答】解：当m＜0，n＞0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、二、四象限，y=mnx(mn≠0)的图象在第二、四象限，故选项A错误、选项D正确；
当m＞0，n＞0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限，y=mnx(mn≠0)的图象在第一、三象限，故选项B错误；
当m＞0，n＜0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限，y=mnx(mn≠0)的图象在第二、四象限，故选项C错误；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2022•天心区二模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，
即F=600l，是反比例函数，
又∵动力臂l＞0，
故B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．
4．（2022•长沙一模）如图，P为反比例函数y=kx的图象上一点，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为6，则k的值是（ ）
A．6B．12C．﹣12D．﹣6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OAP=12|k|＝6，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，
∴S△OAP=12|k|＝6，
而k＜0，
∴k＝﹣12．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 12|k|，且保持不变．
5．（2023•天心区校级三模）若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）在反比例函数y=6x的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞c＞a
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】由反比例函数的增减性判断即可．
【解答】解：∵k＞0，
∴函数在一，三象限内的函数值y随x的增大而减小，且当x＜0时，y＜0，当x＞0时，y＞0，
∴b＜a＜0＜c，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知反比例函数的性质．
6．（2023•岳麓区一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OP1＝P1P2＝P2P3＝⋅⋅⋅＝Pn﹣1Pn＝1，过点P1、P2、P3、…Pn分别作x轴的垂线，与反比例函数y=2x(x＞0)交于点Q1、Q2、Q3、…Qn，连接Q1Q2、Q2Q3、…Qn﹣1Qn，过点Q2、Q3、…Qn分别向P1Q1、P2Q2、…Pn﹣1Qn﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ）
A．2n+1B．2nC．n−1nD．n+22n
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理；规律型：图形的变化类．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】可知Q1点的坐标为（1，y1），Q2点的坐标为（2，y2），Q3点的坐标为（3，y3）…Qn点的坐标为（n，yn），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn﹣1的值，故可得出结论．
【解答】解：∵OP1＝P1P2＝P2P3＝⋅⋅⋅＝Pn﹣1Pn＝1，
∴Q1点的坐标为（1，y1），Q2点的坐标为（2，y2），Q3点的坐标为（3，y3）…Qn点的坐标为（n，yn），
∵Q1、Q2、Q3、…Qn，在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，
∴y1＝2，y2＝1，y3=23⋯yn=2n，
∴S1=12×1×（y1﹣y2）=12×（2﹣1）；
S2=12×1×（y2﹣y3）=12×（1−23）；
S3=12×1×（y3﹣y4）=12×（23−12）；
…
∴Sn﹣1=12（2n−1−2n），
∴S1+S2+S3+…+Sn﹣1=12（2﹣1+1−23+23−12+⋯+2n−1−2n）=n−1n．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．（2023•怀化二模）如图，已知反比例函数y=2x与一次函数y＝﹣x+3的图象交于A、B两点，P为y轴上一动点，连接PA、PB，当PA+PB取得最小值时，△ABP的面积为（ ）
A．1B．32C．43D．23
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】联立两个函数解析式，求出A、B两点坐标，利用轴对称求出PA+PB取得最小值时点P的坐标，铅锤法求出面积即可．
【解答】解：联立函数解析式得：y=2xy=−x+3，
解得x=2y=1，或x=1y=2，
∴根据图示位置，A（1，2），B（2，1），
找到点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，此时点P就是满足PA+PB取得最小值的位置．
∵点A（1，2），
∴C（﹣1，2），B（2，1），设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵−k+b=2①2k+b=1②，
②﹣①得3k＝﹣1，
∴k=−13，将k=−13代入①得：13+b=2，
∴b=53，
∴k=−13b=53
∴直线BC的解析式为：y=−13x+53，
令x＝0，y=53
∴P（0，53）．
根据解出条件可知：AC＝2，
∴S△PAB＝S△ABC﹣S△APC，
∴S△PAB=12×AC×（yA﹣yB）−12×AC×（yA﹣yP）
=12×2×（2﹣1）−12×2×（2−53）
=23．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，线段和最小值通常作轴对称，利用两点之间线段最短来突破最值问题．
二．填空题（共8小题）
8．（2023•沅江市校级模拟）当m ＜2 时，函数y=m−2x的图象在第二、四象限内．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】＜2．
【分析】由双曲线在第二、四象限，可知k＜0即可解答．
【解答】解：∵函数y=m−2x的图象在第二、四象限内．
∴m﹣2＜0，
∴m＜2．
【点评】本题考查了反比例函数图象与性质，熟记k＜0，图象位于第二、四象限是解题的关键．
9．（2023•荷塘区二模）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），反比例函数y=kx（x＞0）的图象同时经过点B与点D，则k的值为 9 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】9．
【分析】设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），再根据点B与点D在反比例函数数y=kx（x＞0）的图象上求出m的值，进而可得出k的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），
∴设B、D两点的坐标分别为（1，m+6）、（3，m），
∵点B与点D在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝m+6＝3m，
∴m＝3，
∴k＝3×3＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．
10．（2023•芙蓉区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=4x（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为 12 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】12．
【分析】设E点的坐标是（a，b），根据已知得出ab＝4，AE＝a，BE＝2a，求出OA＝b，AB＝3a，再根据矩形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
设E点的坐标是（a，b），
∵双曲线y=4x（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，
∴ab＝4，AE＝a，BE＝2a，
∴OA＝b，AB＝3a，
∴矩形OABC的面积是AO×AB＝b•3a＝3ab＝3×4＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出ab＝4是解此题的关键．
11．（2022•双峰县一模）如图，是反比例函数y=k1x和y=k2x（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为 4 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【答案】见试题解答内容
【分析】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出cd﹣ab＝4，即可得出答案．
【解答】解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝2，
∴12cd−12ab＝2，
∴cd﹣ab＝4，
∴k2﹣k1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd﹣ab＝4是解此题的关键．
12．（2022•开福区校级一模）如图，A、B是函数y=2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则S＝ 4 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】数形结合．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OC，设AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E．首先由反比例函数y=kx的比例系数k的几何意义，可知△AOD的面积等于12|k|，再由A、B两点关于原点对称，BC∥x轴，AC∥y轴，可知S△AOC＝2×S△AOD，S△ABC＝2×S△AOC，从而求出结果．
【解答】解：如图，连接OC，设AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E．
∵A、B两点关于原点对称，BC∥x轴，AC∥y轴，
∴AC⊥x轴，AD＝CD，OA＝OB，
∴S△COD＝S△AOD=12×2＝1，
∴S△AOC＝2，
∴S△BOC＝S△AOC＝2，
∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形一边上的中线将三角形的面积二等分及反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=12|k|．
13．（2022•茶陵县模拟）如图，△ABO的顶点A在函数y=kx(x＜0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为 ﹣18 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】﹣18．
【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
【解答】解：∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴ANAM=12，ANAO=13，
∴S△ANQSAMP=14，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴S△ANQ3+S△ANQ=14，
∴S△ANQ＝1，
∵1S△AOB=（ANAO）2=19，
∴S△AOB＝9，
∴|k|＝2S△AOB＝18，
∴k＝﹣18．
故答案为：﹣18．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确地求出S△ANQ＝1是解题的关键．
14．（2021•长沙模拟）如图，A为反比例函数y=kx（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB=210，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=kx（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则k＝ 12 ；ADDB= 32 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】12，32．
【分析】过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出ADDB的值．
【解答】解：过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH=12OB＝2，
∴AH=OA2−OH2=6，
∴点A的坐标为（2，6）．
∵A为反比例函数y=kx（其中x＞0）图象上的一点，
∴k＝2×6＝12．
∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y=12x上，
∴BC=kOB=3．
∵AH∥BC，OH＝BH，
∴MH=12BC=32，
∴AM＝AH﹣MH=92．
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴ADDB=AMBC=32，
故答案为12，32．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是构建相似三角形．
15．（2021•娄底一模）如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=kx（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为 12 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以表示出点B的坐标，然后根据三角形的相似即可解答本题．
【解答】解：设点A的坐标为（a，4a），则点B的坐标为（ak4，4a），
∵AB∥x轴，AC＝2CD，
∴∠BAC＝∠ODC，
∵∠ACB＝∠DCO，
∴△ACB∽△DCO，
∴ABOD=ACDC，
∴ABOD=21，
∵OD＝a，则AB＝2a，
∴点B的横坐标是3a，
∴3a=ak4，
解得，k＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和三角形相似的知识解答．
三．解答题（共7小题）
16．（2021•岳阳二模）如图，直线y＝mx+n与双曲线y=kx相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求直线AB与双曲线的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】(1)双曲线解析式为y=−3x,直线AB的解析式为：y＝﹣x+2；
(2)△ABD的面积为8．
【分析】(1)将A（﹣1，3）和B（3，b）分别代入y=kx 中，即可得k＝﹣3，b＝﹣1,即可算出点B的坐标及反比例函数解析式，再把A（﹣1，3）和B（3，﹣1）分别代入y＝mx+n中，列出二元一次方程组，求解m、n即可得出一次函数解析式；
（2）将x＝0代入y＝﹣x+2中，即可得出点C的坐标，根据题意即可得出点D的坐标，根据S△ABD＝S△ACD+S△BCD,代入数值即可得出答案．
【解答】解：(1）将A（﹣1，3）和B（3，b）分别代入y=kx 中，
得k＝﹣3，b＝﹣1,
∴双曲线解析式为y=−3x,
将A（﹣1，3）和B（3，﹣1）分别代入y＝mx+n中，
得3=−m+n−1=3m+n
解得：m=−1n=2
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2；
（2）将x＝0代入y＝﹣x+2中，
得y＝2，
∴C（0，2），
∴点D（0，﹣2，
S△ABD＝S△ACD+S△BCD=12×4×1+12×4×3＝8．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识进行求解是解决本题的关键．
17．（2021•荷塘区模拟）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y=kx（k≠0）交于一、三象限内的A，B两点与x轴交于点C，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=25．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）点E为坐标轴上一点，以AE为直径的圆恰好经过点B，直接写出点E的坐标．
（3）点P（s，t）（s＞2）在直线AB上运动，PM∥x轴交双曲线于M，PN∥y轴交双曲线于N，直线MN分别交x轴，y轴于F，G，求OFOG+3t的值．
【考点】反比例函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先利用tan∠BOC=25分别求出A和B两点的坐标，再利用待定系数法求两个函数的解析式；
（2）如图2，因为以AE为直径的圆恰好经过点B，所以∠ABE＝90°，过B作AB的垂线，与坐标的两个交点就是符合条件的E点，构建直角三角形，利用三角形相似或等腰直角三角形的定义列等式可得结论；
（3）如图3，作辅助线，根据P（s，t），表示M（10t，t），N（s，10s），利用等角的三角函数列式可得：OFOG=PNPM=s−10tt−10s=st，代入所求式子可得结果．
【解答】解：（1）如图1，过B作BD⊥x轴于D，
∵点B的坐标为（n，﹣2），
∴BD＝2，
在Rt△OBD中，tan∠BOC=25，
∴BDOD=25，
∴2OD=25，
∴OD＝5，
∴n＝﹣5，
即B（﹣5，﹣2），
∴k＝﹣5×（﹣2）＝10，
∴该反比例函数的解析式为：y=10x，
当x＝2时，m＝5，
∴A（2，5），
把A（2，5）和B（﹣5，﹣2）代入得：2a+b=5−5a+b=−2，
解得：a=1b=3，
∴一次函数的解析式为：y＝x+3；
（2）如图2，过B作BE1⊥AB，交x轴于E1，交y轴于E2，即符合条件的点E有两个，构建直角△ABQ和直角△BE2K，
∴AQ＝BQ＝7，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∵∠ABE2＝90°，
∴△BKE2也是等腰直角三角形，
设E2（0，y），
∴BK＝KE2，
∴5＝﹣y﹣2，
y＝﹣7，
∴E2（0，﹣7），
同理可得：E1（﹣7，0），
综上所述，点E的坐标为（0，﹣7）或（﹣7，0）；
（3）如图3，过N作NR∥PM，过M作MR∥PN，交于R，
则四边形MRNP是矩形，
∵P（s，t），且PM∥x轴，PN∥y轴，
∴M（10t，t），N（s，10s），
∴RN＝s−10t，MR＝t−10s，
∵MR∥OG，
∴∠OGF＝∠RMN，
∴tan∠OGF＝tan∠RMN，
∴OFOG=PNPM=s−10tt−10s=st，
∵点P（s，t）（s＞2）在直线AB上运动，
∴t＝s+3，
∴OFOG+3t=st+3t=s+3t=1．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、三角函数、等腰直角三角形的性质和判定、圆周角定理，在函数中，常利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，从而得出线段的比，本题难度适中，是一道不错的函数与圆的综合问题．
18．（2021•芦淞区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D的坐标为（﹣4，n），且AD＝3．
（1）求反比例函数y=kx的解析式；
（2）求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；
（3）设点E是线段CD上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=−4x；
（2）y=12x+3；
（3）14．
【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；
（2）由n＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD＝3，D（﹣4，n），
∴A（﹣4，n+3），
∵点C是OA的中点，
∴C（﹣2，n+32），
∵点C，D（﹣4，n）在双曲线y=kx上，
∴k=−2×n+32k=−4n，
∴k=−4n=1，
∴反比例函数解析式为y=−4x；
（2）由①知，n＝1，
∴C（﹣2，2），D（﹣4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
∴−2a+b=2−4a+b=1，
∴a=12b=3，
∴直线CD的解析式为y=12x+3；
（3）如图，由（2）知，直线CD的解析式为y=12x+3，
设点E（m，12m+3），
由（2）知，C（﹣2，2），D（﹣4，1），
∴﹣4＜m＜﹣2，
∵EF∥y轴交双曲线y=−4x于F，
∴F（m，−4m），
∴EF=12m+3+4m，
∴S△OEF=12（12m+3+4m）×（﹣m）=−12（12m2+3m+4）=−14（m+3）2+14，
∵﹣4＜m＜﹣2，
∴m＝﹣3时，S△OEF最大，最大值为14．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立S△OEF与m的函数关系式．
19．（2022•荷塘区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D的坐标为（﹣4，1），且AD＝3．
（1）求k的值；
（2）求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式；
（3）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】待定系数法；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）k的值为﹣4；
（2）直线CD对应的函数解析式为y=12x+3；
（3）△OEF面积的最大值是14．
【分析】（1）把D（﹣4，1）代入y=kx可得k的值为﹣4；
（2）由D（﹣4，1），AD＝3，C为AO中点，知C（﹣2，2），再用待定系数法可得直线CD对应的函数解析式为y=12x+3；
（3）设E（m，12m+3），即可得EF=12m+3+4m，S△OEF=12EF•|xE|=12×（12m+3+4m）×（﹣m）=−14（m+3）2+14，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）把D（﹣4，1）代入y=kx得；
1=k−4，
解得k＝﹣4，
∴k的值为﹣4；
（2）∵D（﹣4，1），AD＝3，
∴A（﹣4，4），
∵C为AO中点，
∴C（﹣2，2），
设直线CD对应的函数解析式为y＝tx+b，把C（﹣2，2），D（﹣4，1）代入得：
−2t+b=2−4t+b=1，
解得t=12b=3，
∴直线CD对应的函数解析式为y=12x+3；
（3）设E（m，12m+3），则F（m，−4m），
∴EF=12m+3+4m，
∴S△OEF=12EF•|xE|=12×（12m+3+4m）×（﹣m）=−14（m+3）2+14，
∵−14＜0，
∴当m＝﹣3时，S△OEF取最大值，最大值为14，
∴△OEF面积的最大值是14．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
20．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=kx（x＞0）于C，D两点．
（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；
（2）当k＝1时：
①若AC＝BD，求a与b的数量关系；
②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）k＝2；
（2）①ab＝1；②4OD2﹣OC2＝6．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）①根据图象上点的坐标特征，则C（a，1a），D（b，1b），由AC＝BD即可得到1a−a＝b−1b，通过变形得到ab＝1'
②根据AC＝2BD即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．
【解答】解：（1）当b＝2，BD＝1时，则D（2，1），
∵双曲线y=kx（x＞0）过D点，
∴k＝2×1＝2；
（2）当k＝1时，则反比例函数为y=1x，
①∵点A（a，a），B（b，b），BD∥AC∥y轴，
∴C（a，1a），D（b，1b），
∵AC＝BD，
∴1a−a＝b−1b，
∴1a+1b=a+b，
∴a+bab=a+b，
∴ab＝1；
②∵AC=1a−a，BD＝b−1b，
又∵AC＝2BD，
∴1a−a＝2（b−1b），
两边平方得：a2+1a2−2＝4（b2+1b2−2），即a2+1a2=4（b2+1b2）﹣6．
∵OC2＝a2+1a2，OD2＝b2+1b2，
∴4OD2﹣OC2＝4（b2+1b2）﹣（a2+1a2）＝6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的综合应用，正确表示出C、D的坐标是解题是关键．
21．（2023•平江县模拟）如图，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，AC∥y轴，BC⊥AB．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求ABBC的值．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；解直角三角形及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）y=2x；（2）2．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）作BD⊥AC于D，如图，利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，进而求解．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）在y＝2x上，
∴a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数表达式得：k＝2×1＝2，
∴反比例函数的解析式为：y=2x；
（2）∵A、B两点关于原点成中心对称，
∴B（﹣1，﹣2）；
如图所示，作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵∠ABC＝90°，∠BHC＝90°
∴∠C＝∠ABH
∵CA∥y轴，BH∥x轴
∴∠AOD＝∠ABH＝∠C，
∴tanC＝tan∠AOD=ADOD=2=ABBC，
即ABBC=2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形等，证得∠C＝∠ABD是解题的关键．
22．（2023•开福区校级二模）定义：在平面直角坐标系中，将函数x≤h部分的图象记为W1，将图象W1沿x＝h翻折到右侧后得到的图象为W2，我们称图象W1，W2共同构成的图象称为函数的“h阶共生函数”，如函数y＝x的“1阶共生函数”解析式为y=x，x≤1−x+2，x＞1．
（1）直接写出直线l：y＝x﹣3的“4阶共生函数”与x轴的交点坐标；
（2）已知直线y＝kx﹣k﹣3与y=2x的“0阶共生函数”共有三个交点，求此时k的取值范围；
（3）若函数y＝﹣x2+2的“h阶共生函数”与直线y＝x恰有两个不同的交点，求h的取值范围．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换；反比例函数的性质．
【专题】函数思想；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）．（3，0），（5，0）．
（2）．k＜0或k＞210−7
（3）﹣2＜h＜1．
【分析】（1）直线l：y＝x﹣3与x轴交点坐标（3，0），根据对称性直线l：y＝x﹣3关于直线x＝4对称的直线与x轴交点为（5，0）得出答案．
（2）图如解答过程：直线y＝kx﹣k﹣3与y=2x的“0阶共生函数”y=−2x(x＜0)2x(x＞0)交点情况有三种，一个交点或两个交点或三个交点，分类讨论：①k＜0时，求出直线y＝kx﹣k﹣3与y=−2x(x＜0)有唯一交点时k的取值，从而确定题意有三个交点k的取值范围；②k＞0时，求出直线y＝kx﹣k﹣3与y=2x(x＞0)有唯一交点时k的取值，从而确定题意有三个交点k的取值范围．
（3）求得直线y＝x与抛物线的交点坐标，根据h阶共生函数的定义，结合图象即可求得．
【解答】解：（1）根据“h阶共生函数”定义得：
直线l：y＝x﹣3的“4阶共生函数”与x轴的交点坐标为（3，0），（5，0）．
（2）如图：
①当k＜0时，直线y＝kx﹣k﹣3与y=−2x(x＜0)有唯一交点时得：
−2x=kx﹣k﹣3．
则kx2﹣（k+3）x+2＝0．
∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×2＞0，直线y＝kx﹣k﹣3与y=−2x(x＜0)有两个交点．
∴（k﹣1）2+8＞0
∴k为任意实数．
∴k＜0．
∵直线y＝kx﹣k﹣3与y=−2x(x＜0)有两个交点时，与y=2x(x＞0)有一个交点．
∴k＜0时，直线y＝kx﹣k﹣3与y=2x的“0阶共生函数”共有三个交点．
②k＞0时，直线y＝kx﹣k﹣3与y=2x(x＞0)有唯一交点时得：
kx﹣k﹣3=2x．
则kx2﹣（k+3）x﹣2＝0．
∴Δ＝[﹣（k+3）]2+4×k×2＞0，直线y＝kx﹣k﹣3与y=2x(x＞0)有两个交点．
∴（k+7）2﹣40＞0．
∴k＞210−7或k＜﹣210−7．
∵k＞0．
∴k＞210−7．
∴k＞210−7时，直线y＝kx﹣k﹣3与y=2x的“0阶共生函数”共有三个交点．
∴k＜0或k＞210−7时，直线y＝kx﹣k﹣3与y=2x的“0阶共生函数”共有三个交点．
（3）由y=−x2+2y=x，消去y整理得x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1，
∴抛物线y＝﹣x2+2与直线y＝x的交点为（﹣2，﹣2），（1，1），
∵函数y＝﹣x2+2的“h阶共生函数”与直线y＝x恰有两个不同的交点，
∴﹣2＜h＜1．
【点评】本题考查了一次函数，反比例函数及二次函数知识，解决本题关键点是理解“h阶共生函数”定义