数学15.1 二次根式单元测试达标测试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·黑龙江·绥化市第五中学校九年级期中）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
且
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
2．（2022·福建宁德·八年级期中）以下各数是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意；
B．，此选项不是最简二次根式，则此项不符合题意；
C．，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
D．，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件：1．被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．（2021·河南·新乡市第一中学八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A．无意义；选项错误，不符合题意；
B．；选项错误，不符合题意；
C．与无法合并；选项错误，不符合题意；
D．；选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4．（2022·河南·郑州市第七十三中学八年级期中）根式运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化简二次根式及求立方根，然后计算加减法即可．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简及运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
5．（2022·安徽·定远县民族中学八年级期中）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，如图所示，它的面积是128，AE＝5，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的面积为（ ）
A．6B．8C．24D．27
【答案】B
【分析】首先由正方形的面积是128，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽得出正方形的长，即可得出答案．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】此题考查二次根式的运用，解题的关键是看清图形，搞清小长方形的长和宽之间的关系．
6．（2022·山东淄博·八年级期末）若，则代数式的值为（ ）
A．2005B．－2005C．2022D．－2022
【答案】A
【分析】根据完全平方公式得出，再代入求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
7．（2021·广西百色·二模）将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，，；
，，4，，；
…
若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
【详解】解：这组数据可表示为：,…
∵，
∴为第4行，第3个数字．
故选：C．
【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．
8．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（ ）
A．甲同学说的对B．乙同学说的对C．甲、乙两名同学说的都对D．无法判断
【答案】B
【分析】先利用算术平方根求出每个正方形的边长，求出两个小正方形的边长之和，与长方形的长比较即可．
【详解】解: ∵两个面积分别是和的正方形木板，
边长分别为，，
∵两个正方形边长之和为＞7dm，
∴乙同学说法想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出正确．
故选择B．
【点睛】本题考查正方形面积求边长，二次根式的和，比较无理数的大小，掌握以上知识是解题关键．
9．（2021·海南·乐东黎族自治县教育研究培训学校八年级期中）把式子根号外的移到根号内，所得结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，按照二次根式的性质，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，则
则
故选：D
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的有关性质．
10．（2021·浙江台州·八年级期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（ ）
A．b＜c＜aB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．a＜b＜c
【答案】D
【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】解：a=2021×2023-2021×2022
=2021（2023-2022）
=2021；
∵20242-4×2023
=（2023+1）2-4×2023
=20232+2×2023+1-4×2023
=20232-2×2023+1
=（2023-1）2
=20222，
∴b=2022；
∵，
∴c＞b＞a．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022·广西崇左·八年级期末）比较大小：______（填“”，“”或“”）
【答案】
【分析】先求出这两个数的平方，然后再进行比较即可．
【详解】解：，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方运算比较大小．
12．（2022·四川省蒲江县蒲江中学八年级期中）化简后是正整数，则整数m的最小值为_____．
【答案】2
【分析】把18分解质因数，然后根据二次根式的性质解答．
【详解】解：∵且化简后是正整数，
∴是正整数，
∴是一个非0完全平方数，且m是整数，
∴的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
13．（2022·山东临沂·三模）已知a，b都是实数，，则的值为___________．
【答案】4
【分析】直接利用二次根式有意义条件求出a，b的值代入求解即可．
【详解】解：由题意可得，
，，
解得，
∴ ，
∴ ，
故答案为4．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，正确得出a的值，再代入求出b的值是解题的关键．
14．（2022·四川省蒲江县蒲江中学八年级期中）如果，那么下列各式，①；②；③，④，正确的有______．
【答案】②③##③②
【分析】根据已知条件，二次根式的性质，二次根式的乘除法进行计算即可求解．
【详解】解：∵，则，
∴①，故①错误；
②，故②正确；
③，故③正确，
④，故④错误，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质是解题的关键．
15．（2022·湖北孝感·八年级期中）观察下列各式：
当n＝3时，，
当n＝4时，，
当n＝5时，，
根据以上规律，写出当n＝7时的等式是______．
【答案】
【分析】根据题意得出相关规律，然后计算即可．
【详解】解：当n＝3时，，
当n＝4时，，
当n＝5时，，
∴当n＝n时，，
∴当n＝7时，，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次根式的计算及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键．
16．（2022·上海宝山·八年级期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______．
【答案】
【分析】根据题意，先求出，然后求出，再根据二次根式比较大小的方法，即可．
【详解】∵三角形的三边长为、、，记，面积，
∴当三角形的三边长分别为，，时，，
∴面积，
∵，，
∴，
∴，
∵介于整数和之间，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是理解题意，求出，；掌握二次根式比较大小的方法．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022·辽宁·沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）八年级期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先化简，再算二次根式的加减法即可；
（2）先化简，再算括号里的加减法，最后算除法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是掌握二次根式的运算法则和性质．
18．（2023·上海·八年级专题练习）已知的整数部分是a，小数部分是b，那么的值是多少？
【答案】5
【分析】先估算出的取值范围，进而可得出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
19．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学三模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据分式的四则运算进行化简，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
将，代入得，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，涉及了分式的四则运算，完全平方公式，平方差公式，二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
20．（2022·重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】(1)
(2)6600元
【分析】（1）根据矩形周长公式列式计算即可；
（2）用绿地面积减花坛面积差乘以50元，列式计算即可．
【详解】（1）解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【点睛】本题考查二次根式的应用，根据题意列出版算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键．
21．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，数轴的正半轴上有、、三点，点、表示数和．点点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为．
(1)请你求出数的值．
(2)若为的相反数，为的绝对值，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式求出，点点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为，建立等式求解即可得到答案；
（2）由（1）中求得的的值，求出，根据相反数及绝对值定义求出和的值，代入求解即可得到的值．
【详解】（1）解：∵点、表示数和，
∴，
点点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为
∴，即，
∴点C表示的数；
（2）解：由（1）知，
∴，，
为的相反数，为的绝对值，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查数轴上两点之间距离公式、代数式求值，涉及相反数、绝对值和二次根式等知识，熟练掌握数轴上两点之间距离求法，把握相反数及绝对值定义是解决问题的关键．
22．（2022·河南濮阳·八年级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式” ．解答下列问题：如图，在中，，，．
(1)的面积；
(2)过点A作，垂足为D，求线段AD的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得三角形周长的一半，即的值，然后代入公式进行计算即可求解；
（2）根据三角形面积进行计算即可求解．
（1）
∵，，，∴，
∴的面积；
（2）
如图，∵的面积，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形面积公式，二次根式的应用，正确的计算是解题的关键．
23．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学八年级期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴即
∴
∴．
珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)______．
(2)化简；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用分母有理化计算；
(2)先分母有理化，然后合并即可；
(3)先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）解：
；
（3），
，
∴，即．
∴．
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式．