初中数学冀教版八年级上册15.1 二次根式教案及反思

12.1　二次根式

教学目标

1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；

2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；

3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．

教学重点

探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．

教学难点

1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的性质；

2．理解、掌握、运用二次根式性质（）2＝a（a≥0）．

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

观察图片，回答问题．

学生一：正方形的边长是m；

学生二：圆的半径是 m；

学生三：钢索的长度是m．

给学生展现生活中常见的两张图片，让学生感受到数学知识的学习的源动力来自于生活，激发学生探求数学知识与生活中的实际问题联系的欲望，避免知识的机械呈现．

课题引入：

、、、…．这些式子有什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一些例子吗？

积极思考，回答问题．

1．这些式子都含有根号…；

2．符合这些特征的式子有：、、、…．

从由学生熟悉的情景入手得到式子，结合平方根的概念，引导学生理解所给的一些式子的实际意义，从而自然给出二次根式的意义．

思考探索一：

1．例1下列哪些式子是二次根式？为什么？

 （1）；（2）；（3）；

（4）（x、y异号）．

2．说一说，下列各式是二次根式吗？ 为什么？

（1）；（2）；（3）；

（4）（m≤0）

3．（1）当a＜0时，有意义吗？为什么？

（2）当a≥0时，可能为负数吗？为什么？

1．互相讨论，踊跃回答：

参考答案：（1）、（2）是二次根式，（3）、（4）都不是．

2．独立思考，直接回答：

参考答案：（1）、（3）、（4）是二次根式，（2）不是．

3．集体讨论，代表解答：

（1）没有意义，因为负数没有算术平方根；

（2）不可能，即是非负数，当a≥0时，≥0．

通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，问题设置的目的，是使学生充分理解二次根式的意义．

思考探索二：

1．例2　x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？

（1）；（2）；（3）；（4）．

2．练习：课本P149第1题．

1．小组讨论，代表回答：

（1）解：由二次根式的意义知：x＋1≥0，∴x≥－1，

∴当x≥－1时， 式子在实数范围内有意义．

（2）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有x2＋2≥0．

∴x取任何实数时，式子在实数范围内都有意义．

（3）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有－x2≤0，

又∵二次根式的被开方数大于等于零；

∴－x2≥0，∴x2＝0，即x＝0 ，

∴当x＝0时， 式子在实数范围内有意义．

（4）解：由题意知：．

∴3－2x＞0，∴x＜，

∴当x＜时，在实数范围内有意义．

2．独立思考，直接回答．

通过学生相互讨论设置的问题2，侧重巩固对二次根式意义的理解，提高学生分析问题的能力，培养学生善于思考、精益求精的良好思维习惯，培养学生缜密、严谨的逻辑推理能力．

思考探索三：

1．的意义是什么？你会计算（）2吗？类似地，（）2、（）2、（）2、（）2的结果是什么？类比猜想：当a≥0时，（）2的结果是什么？

2．例3　计算：

（1）（）2；（2）（）2；

（3）（）2（a＋b≥0）．

3．例4　计算：

（1）（）2－（）2；

（2）（3）2；（3）（－2）2．

4．如图，长3米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．

5．练习：《课本》P149第2题．

1．小组交流，代表回答：

是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，（）2＝2，同理：（）2＝4，（）2＝9，（）2＝0．01，（）2＝30．

事实上，（a≥0）是a的算术平方根，根据算术平方根的意义，可知：当a≥0时，（）2 ＝ a．

2．解：（1）（）2 ＝ 12；（2）（）2 ＝；

（3）当a＋b≥0时，（）2＝a＋b．

3．解：（1）（）2－（）2 ＝ x 2＋1－x2＝1；

（2）（3）2＝32×（）2＝9×6＝54；

（3）（－2）2＝（－2）2×（）2＝4×＝2．

4．h＝4米．

5．略．

通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳猜想二次根式的性质，再运用算术平方根的意义进行科学的说理验证．

通过问题2的设置，理解二次根式的性质，能直接运用其性质解决问题．

通过问题3、4的设置，理解二次根式的性质，能运用其性质解决一些简单的综合性的问题，提高学生的计算、理解和综合运用能力．

总结：

1．二次根式的意义；

2．二次根式有意义的条件；

3．二次根式的基本性质．

讨论后共同小结．

师生互动，锻炼学生严谨的口头表达能力，培养学生有条理地梳理知识点、有目的地整合知识点之间的能力．

课后作业：

1．《课本》P151第1、2题．

2．思考：若实数x、y满足＋（y＋2）2＝0，求y x 的值．

    独立完成，自查反馈．

进一步理解二次根式的意义与二次根式基本性质的运用．