资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩3页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题01 二次根式的概念及性质（知识精讲+综合训练）（习题及答案） 试卷 0 次下载
- 【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题03 二次根式的综合（知识精讲+综合训练）（习题及答案） 试卷 0 次下载
- 【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题04 一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法（知识精讲+综合训练）（习题及答案） 试卷 0 次下载
- 【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题05 一般一元二次方程的解法及韦达定理（知识精讲+综合训练）（习题及答案） 试卷 0 次下载
- 【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题06 一元二次方程的判别式及应用（知识精讲+综合训练）（习题及答案） 试卷 0 次下载
【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题02 二次根式的运算（知识精讲+综合训练）（习题及答案）
展开
这是一份【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题02 二次根式的运算（知识精讲+综合训练）（习题及答案），文件包含专题02二次根式的运算知识精讲+综合训练原卷版docx、专题02二次根式的运算知识精讲+综合训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
知识精讲
知识点01 最简二次根式与同类二次根式
1、最简二次根式的概念：
（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2、同类二次根式的概念：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
【典例分析】
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．C
【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．
【详解】解：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
【答案】．A
【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．
【详解】，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
3．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．D
【分析】同类二次根式的定义：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．
【详解】解：A、=，不是同类二次根式，故错误；
B、=，不是根式，故错误；
C、=，不是同类二次根式，故错误；
D、=，符合同类二次根式的定义，本选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．
4．把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A．B．C．D．
【答案】．D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数，分母.
∴，∴.
∴原式．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
5．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．A
【分析】根据最简二次根式的特征逐一判断即可，最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A、是最简二次根式，故A符合题意．
B、的被开方数含有分母，原式，故B不符合题意．
C、的被开方数中含有开得尽方的因数，原式＝3，故C不符合题意．
D、的被开方数中含有开得尽方的因数，原式＝3，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
知识点02 二次根式的运算
1、二次根式的加减运算：
把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项（加或者减）．
2、二次根式的乘除运算：
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；即：
（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．即：
【典例分析】
6．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算进行判断即可得到结论．
【详解】解：A．无法合并，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．无法合并，故此选项不合题意；
D．，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算的相关法则．
7．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．A
【分析】使用二次根式的计算法则，逐个答案进行计算，即可得到正确答案．
【详解】A，故正确；
B，故错误；
C和不是同类二次根式，无法进行加减运算，故错误；
D，故错误；
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握知识并在注意在计算过程中需注意的问题，仔细计算是本题的解题关键．
8．若，则化简（ ）
A．mB．-mC．nD．-n
【答案】．B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．D
【分析】根据二次根式的计算法则，以及二次根式的化简方法进行计算．
【详解】解：A、，所以A选项不符合题意；
B、，所以B选项不符合题意；
C、 与合并，所以C选项不符合题意；
D、，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的计算法则，以及二次根式的化简，掌握二次根式的计算法则是解决本题的关键．
10．若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】．C
【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高．
【详解】直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h）的乘积，即，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键．
综合训练
一、单选题
1．估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
2．的一个有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．当时，多项式的值为（ ）
A．3B．C．1D．
7．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，则代数式的值为（ ）
A．1B．95C．96D．97
二、填空题
9．不等式的解集是______．
10．若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是___________．
11．当时，代数式的值是______．
12．计算：______．
13．比较大小：___________；____________ ；___________.
14．不等式的解集是______．
15．比较大小：______．
16．对于任意两个正数m、n，定义运算※为： 计算的结果为 _____．
17．已知，则的值为___________．
三、解答题
18．计算：
(1)
(2)
19．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
20．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值；
(2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值．
21．计算：
(1)；
(2)解方程组：．
22．（1）计算：；
（2）计算：
23．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
参考答案：
1．B
【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算出的范围，即可得出结果．
【详解】解：
=
=；
∵，
即，
∴．
∴的值应在4和5之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及估算无理数的范围，正确估算出的范围是解决问题的关键．
2．A
【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．
【详解】解：A．∵，
∴就是的一个有理化因式，故A符合题意；
B．∵，
∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意；
C．∵，
∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意；
D．∵，
∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．
3．D
【分析】根据二次根式的性质及相关运算法则逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质及二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
4．D
【分析】根据二次根式的运算，算术平方根，立方根计算即可．
【详解】因为不是同类二次根式，无法计算，
故A错误，不符合题意；
因为，
故B错误，不符合题意；
因为不是同类二次根式，无法计算，
故C错误，不符合题意；
因为，
故D正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
5．D
【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A． ，故A项错误；
B．， 故B项错误；
C． ，故C项错误；
D．， 故D项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质是解题的关键．
6．D
【分析】根据可得，然后将多项式转化为，然后代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
多项式
，
故选：D．
【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学中一种很重要的思想．
7．B
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．
【详解】解：．，选项不正确，不符合题意；
B．，选项正确，符合题意；
C．，选项不正确，不符合题意；
D．，选项不正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．D
【分析】结合所给已知条件，易得m+n=10、mn=1，此时观察所给代数式，对代数式进行变形，可得到，此时直接将m+n、mn的值代入计算，问题便可得解．
【详解】解：由，，可得：
，．
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，需先将已知和待求式变形，然后再计算．
9．##
【分析】通过移项，合并，系数化1，根据不等式的性质即可求出的解集．
【详解】解：
∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断与0的大小关系，本题属于基础题型．
10．##
【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可．
【详解】解：由题意可得：的“互为友好因式”为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方法．
11．5
【分析】把已知条件进行分母有理化的运算，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12．##
【分析】先将原式转换为，运用积的乘方以及平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、积的乘方逆运算、同底数幂逆运算以及平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
13．
【分析】根据二次根式性质比较大小即可得到结论．
【详解】解：①，
；
②，
；
③，
，
，
，即；
故答案为：；；．
【点睛】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键．
14．
【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可．
【详解】解：，
移项，得，
合并同类项，得，
∵，
∴系数化为1，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，二次根式的除法运算，易错点是不等式的两边都除以一个数时，不注意这个数是正数还是负数.
15．＞
【分析】先求出与的倒数，然后进行大小比较．
【详解】∵
而，
∴．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．
16．##
【分析】利用新定义先列式，再把二次根式化为最简二次根式，然后计算即可．
【详解】由题意得：，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
17．
【分析】先将变形为，然后将左边因式分解得到，从而得出或，再选择符合题意的等式代入求解即可．
【详解】解：根据题意,得，，，
∵，
∴，，
∴，
∴（不符合题意，舍去）或，
当时，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是求出．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）根据乘法公式和二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，乘法公式，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
19．(1)6
(2)
(3)24
(4)
【分析】（1）先根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方进行计算，再算加减即可；
（2）先算括号内的乘方和乘方，再合并同类项，最后算除法即可；
（3）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（4）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，能正确根据整式的运算法则和二次根式的运算法则进行化简是解题的关键，注意运算顺序．
20．(1)
(2)-2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；
（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．
【详解】（1）∵a与是关于4的共轭二次根式，
∴．
∴．
（2）∵与是关于2的共轭二次根式，
∴．
∴．
∴．
【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
由得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算以及二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及二次一次方程组的解法，本题属于基础题型．
22．（1）8；（2）0
【分析】（1）原式先计算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；
（2）原式先计算二次根式的除法，再合并即可得到答案．
【详解】解：（1）计算：
=
=
=8；
（2）
=
=0．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式相关的运算法则．
23．(1)
(2)1
(3)
(4)1
【分析】（1）先用乘法分配律，再利用二次根式的乘法法则，最后合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式计算即可；
（3）先算二次根式的乘除法，再算加减法即可；
（4）先算乘方和绝对值，再化简各个二次根式最后算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握二次根式混合运算法则是关键．
知识精讲
知识点01 最简二次根式与同类二次根式
1、最简二次根式的概念：
（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2、同类二次根式的概念：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
【典例分析】
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．C
【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．
【详解】解：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
【答案】．A
【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．
【详解】，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
3．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．D
【分析】同类二次根式的定义：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．
【详解】解：A、=，不是同类二次根式，故错误；
B、=，不是根式，故错误；
C、=，不是同类二次根式，故错误；
D、=，符合同类二次根式的定义，本选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．
4．把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A．B．C．D．
【答案】．D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数，分母.
∴，∴.
∴原式．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
5．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．A
【分析】根据最简二次根式的特征逐一判断即可，最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A、是最简二次根式，故A符合题意．
B、的被开方数含有分母，原式，故B不符合题意．
C、的被开方数中含有开得尽方的因数，原式＝3，故C不符合题意．
D、的被开方数中含有开得尽方的因数，原式＝3，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
知识点02 二次根式的运算
1、二次根式的加减运算：
把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项（加或者减）．
2、二次根式的乘除运算：
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；即：
（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．即：
【典例分析】
6．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算进行判断即可得到结论．
【详解】解：A．无法合并，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．无法合并，故此选项不合题意；
D．，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算的相关法则．
7．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．A
【分析】使用二次根式的计算法则，逐个答案进行计算，即可得到正确答案．
【详解】A，故正确；
B，故错误；
C和不是同类二次根式，无法进行加减运算，故错误；
D，故错误；
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握知识并在注意在计算过程中需注意的问题，仔细计算是本题的解题关键．
8．若，则化简（ ）
A．mB．-mC．nD．-n
【答案】．B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．D
【分析】根据二次根式的计算法则，以及二次根式的化简方法进行计算．
【详解】解：A、，所以A选项不符合题意；
B、，所以B选项不符合题意；
C、 与合并，所以C选项不符合题意；
D、，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的计算法则，以及二次根式的化简，掌握二次根式的计算法则是解决本题的关键．
10．若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】．C
【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高．
【详解】直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h）的乘积，即，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键．
综合训练
一、单选题
1．估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
2．的一个有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．当时，多项式的值为（ ）
A．3B．C．1D．
7．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，则代数式的值为（ ）
A．1B．95C．96D．97
二、填空题
9．不等式的解集是______．
10．若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是___________．
11．当时，代数式的值是______．
12．计算：______．
13．比较大小：___________；____________ ；___________.
14．不等式的解集是______．
15．比较大小：______．
16．对于任意两个正数m、n，定义运算※为： 计算的结果为 _____．
17．已知，则的值为___________．
三、解答题
18．计算：
(1)
(2)
19．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
20．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值；
(2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值．
21．计算：
(1)；
(2)解方程组：．
22．（1）计算：；
（2）计算：
23．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
参考答案：
1．B
【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算出的范围，即可得出结果．
【详解】解：
=
=；
∵，
即，
∴．
∴的值应在4和5之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及估算无理数的范围，正确估算出的范围是解决问题的关键．
2．A
【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．
【详解】解：A．∵，
∴就是的一个有理化因式，故A符合题意；
B．∵，
∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意；
C．∵，
∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意；
D．∵，
∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．
3．D
【分析】根据二次根式的性质及相关运算法则逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质及二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
4．D
【分析】根据二次根式的运算，算术平方根，立方根计算即可．
【详解】因为不是同类二次根式，无法计算，
故A错误，不符合题意；
因为，
故B错误，不符合题意；
因为不是同类二次根式，无法计算，
故C错误，不符合题意；
因为，
故D正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
5．D
【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A． ，故A项错误；
B．， 故B项错误；
C． ，故C项错误；
D．， 故D项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质是解题的关键．
6．D
【分析】根据可得，然后将多项式转化为，然后代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
多项式
，
故选：D．
【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学中一种很重要的思想．
7．B
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．
【详解】解：．，选项不正确，不符合题意；
B．，选项正确，符合题意；
C．，选项不正确，不符合题意；
D．，选项不正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．D
【分析】结合所给已知条件，易得m+n=10、mn=1，此时观察所给代数式，对代数式进行变形，可得到，此时直接将m+n、mn的值代入计算，问题便可得解．
【详解】解：由，，可得：
，．
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，需先将已知和待求式变形，然后再计算．
9．##
【分析】通过移项，合并，系数化1，根据不等式的性质即可求出的解集．
【详解】解：
∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断与0的大小关系，本题属于基础题型．
10．##
【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可．
【详解】解：由题意可得：的“互为友好因式”为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方法．
11．5
【分析】把已知条件进行分母有理化的运算，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12．##
【分析】先将原式转换为，运用积的乘方以及平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、积的乘方逆运算、同底数幂逆运算以及平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
13．
【分析】根据二次根式性质比较大小即可得到结论．
【详解】解：①，
；
②，
；
③，
，
，
，即；
故答案为：；；．
【点睛】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键．
14．
【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可．
【详解】解：，
移项，得，
合并同类项，得，
∵，
∴系数化为1，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，二次根式的除法运算，易错点是不等式的两边都除以一个数时，不注意这个数是正数还是负数.
15．＞
【分析】先求出与的倒数，然后进行大小比较．
【详解】∵
而，
∴．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．
16．##
【分析】利用新定义先列式，再把二次根式化为最简二次根式，然后计算即可．
【详解】由题意得：，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
17．
【分析】先将变形为，然后将左边因式分解得到，从而得出或，再选择符合题意的等式代入求解即可．
【详解】解：根据题意,得，，，
∵，
∴，，
∴，
∴（不符合题意，舍去）或，
当时，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是求出．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）根据乘法公式和二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，乘法公式，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
19．(1)6
(2)
(3)24
(4)
【分析】（1）先根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方进行计算，再算加减即可；
（2）先算括号内的乘方和乘方，再合并同类项，最后算除法即可；
（3）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（4）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，能正确根据整式的运算法则和二次根式的运算法则进行化简是解题的关键，注意运算顺序．
20．(1)
(2)-2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；
（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．
【详解】（1）∵a与是关于4的共轭二次根式，
∴．
∴．
（2）∵与是关于2的共轭二次根式，
∴．
∴．
∴．
【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
由得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算以及二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及二次一次方程组的解法，本题属于基础题型．
22．（1）8；（2）0
【分析】（1）原式先计算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；
（2）原式先计算二次根式的除法，再合并即可得到答案．
【详解】解：（1）计算：
=
=
=8；
（2）
=
=0．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式相关的运算法则．
23．(1)
(2)1
(3)
(4)1
【分析】（1）先用乘法分配律，再利用二次根式的乘法法则，最后合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式计算即可；
（3）先算二次根式的乘除法，再算加减法即可；
（4）先算乘方和绝对值，再化简各个二次根式最后算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握二次根式混合运算法则是关键．
相关试卷
【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题15 勾股定理及两点间的距离公式（知识精讲+综合训练）（习题及答案）： 这是一份【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题15 勾股定理及两点间的距离公式（知识精讲+综合训练）（习题及答案），文件包含专题15勾股定理及两点间的距离公式知识精讲+综合训练原卷版docx、专题15勾股定理及两点间的距离公式知识精讲+综合训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题13 添加辅助线（知识精讲+综合训练）（习题及答案）： 这是一份【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题13 添加辅助线（知识精讲+综合训练）（习题及答案），文件包含专题13添加辅助线知识精讲+综合训练原卷版docx、专题13添加辅助线知识精讲+综合训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题12 函数的表示法（知识精讲+综合训练）（习题及答案）： 这是一份【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题12 函数的表示法（知识精讲+综合训练）（习题及答案），文件包含专题12函数的表示法知识精讲+综合训练原卷版docx、专题12函数的表示法知识精讲+综合训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
