高中人教A版 (2019)5.3 诱导公式第4课时随堂练习题

这是一份高中人教A版 (2019)5.3 诱导公式第4课时随堂练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=x+cs x的零点所在的区间为( )
A.-π2,0B.0,π3 C.π3,π2 D.π2,π
2.函数f(x)=ln x-14x2的大致图象是( )

A B CD
3.设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时的底面边长为( )
A.3VB.32V C.34VD.23V
4.现做一个容积为256的方底无盖水箱,则所用材料最省时,它的高为( )
A.4 B.6 C.4.5 D.8
5.若函数f(x)=2x3-3ax2+1在区间(0,+∞)上有两个零点,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,1)B.(1,+∞) C.(0,1) D.(1,2)
6.已知函数f(x)=2ex与g(x)=2x+2,则它们的图象交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.不确定
7.已知函数f(x)=e2x-e-2x-ln x-x-1x的零点是x0,则ln x0x0=( )
A.-2B.-ln 2 C.ln 2D.2
8.(多选题)设函数f(x)=x·ln x,则关于x的方程|f(x)|-m=0的实数根的个数可能为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
9.(多选题)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R),则下列说法正确的是( )
A.当a>e时,f(x)有两个零点 B.当a>0时,f(x)有极小值点
C.当a<0时,f(x)没有零点 D.不论a为何实数,f(x)总存在单调递增区间
二、填空题
10.已知方程ex-x-m=0有且只有1个实数根,则m= .
11.若函数f(x)=13x3-x2-3x-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 .
12.已知圆柱的表面积S为定值,则当圆柱的体积V最大时,圆柱的高h的值为 .
三、解答题
13.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=2x-a+12(x-7)2,其中4(2)若该商品的成本为4元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
14.已知函数f(x)=x2e-x.
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)=k有唯一的实数根,求实数k的取值范围.
15. 已知函数f(x)=2lnx,x>1,x+2,x≤1,若m16.已知函数f(x)=axln x+1, 判断函数f(x)的零点个数.
第4课时 导数与函数的零点与实际应用
1.A [解析] 函数f(x)=x+cs x的图象是一条连续不断的曲线,f'(x)=1-sin x≥0,所以f(x)=x+cs x在定义域R上为增函数.因为f-π2=-π2+cs-π2=-π2<0,f(0)=0+cs 0=1>0,所以f-π2·f(0)<0.由函数零点存在定理可知,函数f(x)=x+cs x的零点所在的区间为-π2,0.
2.A [解析] 由f(x)的解析式易知,f'(x)=1x-12x=2-x22x(x>0),由f'(x)>0得02,故函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,所以当x=2时,函数f(x)取得极大值,同时也是最大值,最大值为f(2)=12ln 2-12<0,故排除B,C,D.故选A.
3.C [解析] 设直三棱柱的底面边长为x(x>0),则表面积S=32x2+43xV,∴S'=3x2(x3-4V),令S'=0,得x=34V,当x<34V时,S'<0,当x>34V 时,S'>0,∴其表面积最小时的底面边长为34V.故选C.
4.A [解析] 设底面边长为x,高为h,则V=x2·h=256,∴h=256x2,∴表面积S=x2+4xh=x2+4x·256x2=x2+4×256x,∴S'=2x-4×256x2.令S'=0,解得x=8,易知当x=8时所用材料最省,此时h=25682=4.
5.B [解析] f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).①当a≤0时,若x∈(0,+∞),则f'(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增,不可能有两个零点;②当a>0时,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增,因为f(0)=1>0,所以要使函数f(x)在区间(0,+∞)上有两个零点,则需f(a)=2a3-3a3+1=1-a3<0,可得a>1.故实数a的取值范围为(1,+∞).故选B.
6.B [解析] 令h(x)=2ex-2x-2,则h'(x)=2ex-2=2(ex-1),由h'(x)=0,得x=0.∴当x<0时,h'(x)<0;当x>0时,h'(x)>0.∴当x=0时,h(x)取得最小值h(0)=0,∴h(x)=2ex-2x-2只有一个零点,即f(x)与g(x)的图象只有1个交点.故选B.
7.A [解析] 由题意可知f(x0)=e2x0-e-2x0-ln x0-x0-1x0=0,所以e2x0-e-2x0-2x0=ln x0-x0+1x0.不妨设g(x)=ln x-x+1x(x>0),故g(e-2x)=e2x-e-2x-2x,从而g(e-2x0)=g(x0),又g'(x)=1x-1-1x2=-x-122-34x2<0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递减,故e-2x0=x0,所以ln e-2x0=ln x0,所以-2x0=ln x0,所以ln x0x0=-2.故选A.
8.BCD [解析] f'(x)=ln x+1,由f'(x)>0得x>1e,由f'(x)<0得09.ABD [解析] f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在R上是增函数.当a>0时,由f'(x)>0可得x>ln a,由f'(x)<0可得xe时,f(x)有两个零点,故A正确.故选ABD.
10.1 [解析] 设f(x)=ex-x,则f'(x)=ex-1.令f'(x)=0,得x=0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,也即最小值f(0)=1.若方程ex-x-m=0有且只有1个实数根,则m=1.
11.-9,53 [解析] f'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),可得f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调递增,在(-1,3)上单调递减,又f(x)有三个不同的零点,可得f(-1)=-13-1+3-a>0,f(3)=9-9-9-a<0,解得-912.6πS3π [解析] 设圆柱的底面半径为r,则圆柱的表面积S=2πr2+2πrh,所以h=S-2πr22πr,所以圆柱的体积V=πr2h=r2(S-2πr2)=rS-2πr32013.解:(1)因为销售价格为6元/千克时,每日可售出该商品13千克,商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=2x-a+12(x-7)2,其中4所以13=26-a+12×(6-7)2,解得a=4.
(2)由(1)知y=2x-4+12(x-7)2,4设商场每日销售该商品的利润为P元,则P=(x-4)y=2+12(x-4)(x-7)2,4因为P'=12(x-4)'(x-7)2+12(x-4)[(x-7)2]'=36(x-5)(x-7),
所以当x∈(4,5)时,P'>0,P单调递增,当x∈(5,7)时,P'<0,P单调递减,
所以当x=5元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
14.解:(1)f'(x)=2xe-x-x2e-x=(-x2+2x)e-x=-x(x-2)e-x,
由f'(x)<0得x<0或x>2,由f'(x)>0得0所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-∞,0),(2,+∞),
所以f(x)的极小值为f(0)=0,极大值为f(2)=4e-2.
(2)方程f(x)=k有唯一的实数根等价于函数y=f(x)的图象与直线y=k有唯一的交点,
画出f(x)的大致图象如图所示,
所以实数k的取值范围为{0}∪(4e-2,+∞).
15.[4-2ln 2,e32-1] [解析] 不妨设f(m)=f(n)=t,由题意可知,函数f(x)的图象与直线y=t有两个交点,作出函数f(x)的图象与直线y=t,如图所示,由图可知00,g(t)在(2ln 2,3]上单调递增.故g(t)min=g(2ln 2)=4-2ln 2.当t=0时,g(0)=3,当t=3时,g(3)=e32-1>g(0),故g(t)max=e32-1.故n-m的取值范围为[4-2ln 2,e32-1].
16.解:(1)当a=0时,f(x)=1,函数f(x)无零点;
(2)当a≠0时,由f(x)=0可得xln x=-1a,则函数h(x)=xln x与y=-1a的图象的交点个数,即为函数f(x)的零点个数.
h'(x)=ln x+1(x>0),由h'(x)=0得x=1e,由h'(x)>0得x>1e,由h'(x)<0得0①当-1a=-1e,即a=e时,函数h(x)=xln x与y=-1a的图象有1个交点,则函数f(x)有1个零点;
②当-1a<-1e,即0③当-1e<-1a<0,即a>e时,函数h(x)=xln x与y=-1a的图象有2个交点,则函数f(x)有2个零点;
④当-1a>0,即a<0时,函数h(x)=xln x与y=-1a的图象有1个交点,则函数f(x)有1个零点.
综上所述,当a∈[0,e)时,函数f(x)无零点;当a∈(-∞,0)∪{e}时,函数f(x)有1个零点;当a∈(e,+∞)时,函数f(x)有2个零点.