集合专题：集合中常见的五种参数问题-高一数学上学期同步高分突破(人教A版必修第一册)

集合专题：集合中常见的五种参数问题一、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．二、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 由集合间关系求解参数的三部曲第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集;[来源:][来源:学.科.网Z.X.X.K]第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[三、根据集合运算的结果确定参数的取值范围 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来方法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。题型一 根据元素与集合的关系求参数【例1】已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________．【答案】【解析】因为集合，且 所以或（1）当时，此时，符合题意.（2）当时，解得或当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；当时，符合题意.综上可知实数的值构成的集合为【变式1-1】已知，则实数______．【答案】，或【解析】因为， （1），解得或，当时，与集合的互异性矛盾，舍去；（2），解得或；（3），解得，与集合的互异性矛盾，舍去；综上可知，实数a的取值可以为或或.【变式1-2】设集合，已知且，则实数的取值集合为__________.【答案】【解析】当时，可得或，若时，则，不合题意；若时，则，符合题意；当，可得或，若，则，不合题意；若，则，不合题意.综上所述：.【变式1-3】已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（ ）A．－2 B．2 C．4 D．2或4【答案】A【解析】依题意，若，则，不满足集合元素的互异性，所以；若，则或（舍去），此时，符合题意；若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以.综上所述，的值为.故选：A题型二 根据元素个数求参数【例2】已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，可得.故选：D【变式2-1】若为单元素集，则实数a的取值的集合为______．【答案】【解析】由题意方程只有一解或两个相等的实根，(*)，，，此时，方程的解为，满足题意，；若方程(*)有一个根是，则另一根是，，；若方程(*)有一个根是，则另一根是，，．综上，的取值集合为．【变式2-2】已知集合.（1）若A是空集，求的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围.【答案】（1）；（2）当时集合，当时集合；；（3）【解析】（1）是空集，且，，解得，的取值范围为：；（2）①当时，集合，②当时，，，解得，此时集合，综上所求，当时集合，当时集合；（3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；当中有2个元素时，则且，即，解得且；综上可得时中至少有一个元素，即【变式2-3】设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）.【解析】（1）证明：若x∈A，则 又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴中另外两个元素为，；（2），，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．∴x∈A，，，，，，∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：1，∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1，∴，∵，∴2∈A，∴，∴∈A，设m＝a，同理得∈A，∈A，∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，∴、3、，【变式2-4】已知集合，其中为常数，且．（1）若中至少有一个元素，求的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1），由，解得，满足题意，因此．时，中至少有一个元素，，解得，．综上可得：的取值范围是．（2），由，解得，满足题意，因此．时，中至多有一个元素，，解得．综上可得：的取值范围是．【变式2-5】数集M满足条件：若，则.（1）若，求集合M中一定存在的元素；（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）见解析.【解析】（1）由，令，则由题意关系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.（2）不，理由如下：假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，所以M中不可能只有一个元素.（3）M中的元素个数为，理由如下：由已知条件，则，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，由(2)得，若，化简得，无解，故；若，化简得，无解，故；若，化简得，无解，故；若，化简得，无解，故；若，化简得，无解，故；综上可得：，所以集合M一定存在的元素有，当取不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为.题型三 根据集合相等求参数【例3】已知集合，，若，则等于（ ）A．或3 B．0或 C．3 D．【答案】C【解析】由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.故选：C【变式3-1】若集合，则________．【答案】【解析】由题意得：集合显然，，【变式3-2】已知集合与集合{a2，a+b，0}是两个相等的集合，求a2 020+b2 020的值.【答案】a2 020+b2 020=1【解析】由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a，0，1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1 (a＝1不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋0＝1.【变式3-3】设集合，则（ ）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】①当时，，则或，当时，该方程组无解，当时，解得②当时，，则或.当时，该方程组无解，当时，解得③当，即时，显然，则，此时，当时，该方程组无解，当时，该方程组无解.综上所述，，或，，故，故选：C题型四 根据集合间包含关系求参数【例4】集合，则m＝___．【答案】【解析】∵集合，∴，解得．【变式4-1】已知集合，，且，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，且，所以，即的取值范围是，故选：A∴．【变式4-2】已知.（1）若是的子集，求实数的值；（2）若是的子集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由题得.若是的子集，则，所以.（2）若是的子集，则.①若为空集，则，解得；②若为单元素集合，则，解得.将代入方程，得，即，符合要求；③若为双元素集合，，则.综上所述，或.【变式4-3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．【答案】{m|m≤3}【解析】(1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.(2)当B≠∅时，如图所示．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解这两个不等式组，得2≤m≤3.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．[题型五 根据集合的运算求参数【例5】设集合．若，则实数的值为（ ）A．1 B． C．1或 D．0或1或【答案】D【解析】由题可得，，当时，，满足；当时， ，则或，即.综上所述，或.故选：D.【变式5-1】已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.（1）求A∪B，；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围.【答案】（1）A∪B＝{x|18}，∴∩B＝{x|1