山东省济南市长清区第三初级中学2021-2022学年八年级下学期第四次月考数学试题（解析版）

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一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1. 已知，则下列不等式中不正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析判断即可．
【详解】解：∵，
∴A. ，正确，该选项下不符合题意；
B. ，正确，该选项下不符合题意；
C. ，故该选项不正确，符合题意；
D. ，正确，该选项下不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．
2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式的积，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
D、是把一个多项式转化成几个整式的积，属于因式分解，故此选项符合题意．
故选：D．更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【点睛】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是把这个多项式因式分解．
3. 下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
【详解】解：A．左右对称是轴对称图形，旋转后不重合不是中心对称图形，不符合题意；
B．左右对称是轴对称图形，旋转后不重合不是中心对称图形，不符合题意；
C．没有对称轴不是轴对称图形，旋转后重合是中心对称图形，不符合题意；
D．左右对称轴对称图形，旋转后重合是中心对称图形，符合题意；
故选： D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别；掌握其判断依据是解题关键．
4. 分式的值为0，则（ ）
A. x＝0B. x＝﹣2C. x＝2D. x＝±2
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，准确计算是解题的关键．
5. 如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点．若OE=1cm，则AD的长是（ ）cm．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【详解】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD=2OE，
∵OE=1cm，
∴AD=2cm.
故选A.
“点睛”本题考查 平行四边形的性质、三角形的中位线定理，是基础知识比较简单.
6. 如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M，N，①中的图形M平移后位置如②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是 （ ）
A. 向右平移2个单位，向下平移3个单位B. 向右平移1个单位，向下平移3个单位
C. 向右平移1个单位，向下平移4个单位D. 向右平移2个单位，向下平移4个单位
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移前后图形M中某一个对应顶点的位置变化情况进行判断．
【详解】解：根据图形M平移前后对应点的位置变化可知，需要向右平移1个单位，向下平移3个单位．
故应选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，解答关键是确定平移前后图形中点的对应点．
7. 在数轴上表示不等式x≥-2的解集 正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
【详解】∵不等式x⩾−2中包含等于号
∴必须用实心圆点
∴可排除A. C
∵不等式x⩾−2中是大于等于
∴折线应向右折
∴可排除B
故选D.
【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握数轴的表示方法.
8. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是（ ）
A. 5条B. 6条C. 7条D. 8条
【答案】C
【解析】
【分析】多边形的内角和可以表示成，外角和都等于，故可列方程求解．
【详解】解：设所求多边形边数为n，
则，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是根据多边形的内角和和外角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
9. 下列多项式中能用完全平方公式分解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可.
【详解】A. 中-x不是积的2倍，故不符合题意；
B. =(1-x)2，符合题意；
C. 中只有1个平方项，故不符合题意；
D. 两个平方项的符号不一致，故不符合题意；
故选B.
【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍，是易错点．
10. 如图所示，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到，若，则图中阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设B′C′与AB交点为D，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC＝45°，再根据旋转的性质求出∠CAC′＝15°，AC′＝AC，然后求出∠C′AD＝30°，再根据直角三角形30°角所得到直角边等于斜边的一半可得AD＝2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】如图，设B′C′与AB交点为D，
∵△ABC等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，
∴∠CAC′＝15°，AC′＝AC＝1，
∴∠C′AD＝∠BAC−∠CAC′＝45°−15°＝30°，
∵AD＝2C′D，
∴AD2＝AC′2＋C′D2，
即（2C′D）2＝12＋C′D2，
解得C′D＝
故阴影部分的面积＝
故选B
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键．
11. 如图，边长2的菱形ABCD中，，点M是AD边的中点，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点M作于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，，M为AD中点，得到，从而得到，，进而利用锐角三角函数关系求出FM的长，利用勾股定理求得CM的长，即可得出EC的长．
【详解】如图所示：过点M作于点F，
在边长为2的菱形ABCD中，，M为AD中点，
，，
，
，
，
，
∵AM=ME=1,
．
故选D．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及折叠的性质等知识，翻折变换折叠问题实质上就是轴对称变换，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解．
12. 如图，在直角中，，将 绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连核，若，，则线段的最大值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】连接，由30°直角三角形的边长关系可得斜边长，再由旋转的性质可得直角的斜边长，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得长，根据构成三角形的三边关系可得的取值范围，进而可得、、三点共线时的值最大；
【详解】解：如图连接，
直角中，，是的中点，则，，
由旋转的性质可得，是含角的直角三角形，
∵是的中点，
∴是直角的斜边中线，
∴，
∵，
∴的最大值为，此时、、三点共线，
故选： B．
【点睛】本题考查了在30°直角三角形的边长关系，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，构成三角形的三边关系等知识；通过构造三角形找出的取值范围是解题关键．
二、填空题(共6小题，每小题4分，满分24分)
13. 分解因式：a2﹣4b2=_____．
【答案】（a+2b）（a﹣2b）
【解析】
【详解】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可．
解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b），
故答案为（a+2b）（a－2b）．
14. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则的大小为________.
【答案】40°
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
【详解】根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°−100°）＝40°．
故填：40°.
【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．
15. 如图，，要使四边形成为平行四边形还需要添加的条件是______．（只需写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】已知，可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来判定，（也可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定，还可通过平行线的判定定理添加角相等的条件），进而即可添加条件．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴可添加的条件是：，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
故答案为：．（答案不唯一，只要符合题意即可）
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
16. 若分式的值为零，则x的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】由题意根据分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．
【详解】解：，
则x﹣1＝0，x+1≠0，
解得x＝1．
故若分式的值为零，则x的值为1．
故答案为：1.
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，注意掌握分式为0，分母不能为0这一条件．
17. 如图，直线与的交点坐标为，则关于x的不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】在图中找到两函数图象的交点，根据一次函数图象的交点坐标与不等式组解集的关系即可作出判断．
【详解】解：∵直线l1：y1=k1x+a与直线l2：y2=k2x+b的交点坐标是（1，2），
∴当x=1时，y1=y2=2.
而当时，即时，．
故答案为：．
【点睛】此题考查了直线交点坐标与一次函数组成的不等式组的解的关系，利用图象即可直接解答，体现了数形结合思想在解题中的应用．
18. 如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，AB与CG交于点下列结论：；；；；其中正确的有______；
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定正确；根据全等三角形对应角相等可得，再求出，然后求出，判定正确；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，判定正确；求出点D、E、G、M四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等可得，判定正确；得出，判定GE错误．
【详解】四边形ABCD、DEFG都是正方形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，
，
，
，故正确；
是正方形DEFG对角线的交点，
，
，故正确；
，
点D、E、G、M四点共圆，
，故正确；
，
，
不成立，故错误；
综上所述，正确的有．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及四点共圆，熟练掌握各性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算骤)
19. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为1，2
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
【详解】解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是，
∴整数解为1，2．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，；
【解析】
【分析】将除法化为乘法，结合因式分解约分化简，再代入求值即可；
【详解】解：原式=，
将代入得：；
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．
21. 如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】见解析．
【解析】
【分析】由SAS证得△ADE≌△CBF，得出AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，证得AD∥BC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形．
【详解】证明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
∵DE＝BF ，∠AED＝∠CFB ，AE＝CF ，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
22. 如图，三个顶点的坐标分别为、、．
（1）请画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请画出关于轴对称三个顶点、、的坐标；
（3）在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，，，
（3）画图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）依据关于轴对称点的坐标特点求解即可；
（3）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接并根据图象写出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示；
【小问2详解】
解：如图所示，，，；
【小问3详解】
解：如图所示，．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23. 某中学计划购进甲、乙两种学具，已知一件甲种学具的进价与一件乙种学具的进价的和为40元，用90元购进甲种学具的件数与用150元购进乙种学具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种学具的进价分别是多少元？
（2）该学校计划购进甲、乙两种学具共100件，此次进货的总资金不超过2000元，求最少购进甲种学具多少？
【答案】（1）甲，乙两种学具分别是15元件，25元件
（2）甲种学具最少购进50个
【解析】
【分析】（1）设甲种学具进价x元/件，则乙种学具进价为元件，根据题意可列出关于x的分式方程，解之即得答案；
（2）设购进甲种学具y件，则购进乙种学具件，根据题意可列出关于y的一元一次不等式，解出y的解集即得出答案．
【小问1详解】
设甲种学具进价x元件，则乙种学具进价为元件，
由题意可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
则乙种学具进价为元件，
答：甲，乙两种学具分别是15元件，25元件；
【小问2详解】
设购进甲种学具y件，则购进乙种学具件，
由题意可得：，
解得：．
答：甲种学具最少购进50个；
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
24. 探索发现：，，…… 根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝___________，＝___________，
（2）利用你发现的规律计算
（3）灵活利用规律解方程：＋＋……＋＝
【答案】（1），；
（2）；
（3）50；
【解析】
【分析】（1）根据题目中分母的规律计算求值即可；
（2）将式子中的每项进行拆分，正负项抵消合并即可；
（3）由可得，然后将方程左边的每项进行拆分，正负项抵消后再解分式方程解即可；
【小问1详解】
解：，
；
【小问2详解】
解：原式===；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
同理可得，…，，
∴原方程可化为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验是方程的解；
【点睛】本题考查了分式的通分，解分式方程等知识；根据已知条件对所求式子变形化简是解题关键．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）能，；（3）或4时，△DEF为直角三角形.
【解析】
【分析】在中，，，根据30°角直角三角形的性质及已知条件即可证得结论；
先证得四边形AEFD为平行四边形，使▱AEFD为菱形则需要满足的条件为AE=AD，由此即可解答；
时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中求可得，由此即可解答；时，由知，则得，求得，由此列方程求解即可；时，此种情况不存在．
【详解】在中，，，，
．
又，
．
能，
，，
．
又，
四边形AEFD为平行四边形．
，
．
．
若使▱AEFD为菱形，则需，
即，．
即当时，四边形AEFD为菱形．
时，四边形EBFD为矩形．
在中，，
．
即，．
时，由四边形AEFD为平行四边形知，
．
，
．
即，．
时，此种情况不存在．
综上所述，当秒或4秒时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了菱形的性质和的判定定理，矩形的判定和性质，第三小问中涉及到需要进行分类讨论，注意不要漏解．
26. 先阅读下面的村料，再分解因式．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，
把它的后两项分成组，并提出b，从而得．
这时，由于中又有公困式，于是可提公因式，
从而得到，
因此有
．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，
它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
请用上面材料中提供的方法因式分解：
（1）（请你完成分解因式下面的过程）
＝
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．依此即可求解．
【小问1详解】
解：
；
故答案为．
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
【点睛】考查了因式分解-提公因式法，因式分解-分组分解法，本题采用两两分组的方式，解题关键是正确分组并提公因式．
27. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且OC＝3．

图1 图2
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图1，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，请求出点M的坐标；
（3）如图2，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标；
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）求出点B，C坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）结合图形，由S△AMB＝S△AOB 分析出直线OM平行于直线AB，再利用两直线相交建立方程组求得交点M的坐标；
（3）分两种情形：①当n＞2时，如图2-1中，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M，N．求出Q（n-2，n-1）．②当n＜2时，如图2-2中，同法可得Q（2-n，n+1），代入直线BC的解析式解方程即可解决问题．
【详解】解：（1）∵直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-2，0），B（0，4），，
又∵OC=3，
∴C（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为；
（2）连接OM，
∵S△AMB＝S△AOB ，
∴直线OM平行于直线AB，故设直线OM解析式为：,
将直线OM的解析式与直线BC的解析式联立得方程组
，
解得：
故点；
（3）∵FA=FB，A（-2，0），B（0，4），
∴F（-1，2），设G（0，n），
①当n＞2时，如图2-1中，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M，N．
∵四边形FGQP是正方形，易证△FMG≌△GNQ，
∴MG=NQ=1，FM=GN=n-2，
∴Q（n-2，n-1），
∵点Q在直线上，
∴，
∴,
∴．
②当n＜2时，如图2-2中，同法可得Q（2-n，n+1），
∵点Q在直线上，
∴，
∴n=-1，
∴．
综上所述，满足条件的点G坐标为或
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．