2021-2022学年山东省济宁市邹城四中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济宁市邹城四中八年级（下）第一次月考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 若成立，则的取值范围为

A.  B.  C.  D. 或

2. 下列表示的是四位同学的运算过程，其中正确的是

A.
B.
C.
D.

3. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是
    

A.  B.  C.  D.

4. 若，则代数式的值为

A.  B.  C.  D.

5. 在一个直角三角形中，若斜边的长是，周长为，那么这个直角三角形的面积是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则长为

A.
B.
C.
D.

8. 如图所示，有一个由传感器控制的灯，要装在门上方离地高的墙上，任何东西只要移至该灯及以内时，灯就会自动发光．请问一个身高的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 如图，方格纸中小正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，点到边的距离为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，一个梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端下落了米．

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11. 已知：，则的值为______ ．
12. 已知、、是的三边长，且满足关系式，则的形状为______．
13. 由个直角边分别是、的全等的直角三角形拼接而成的图形如图所示，如果图中大小正方形的面积分别为和，则______．
    
     

14. 已知：如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为______．
     

15. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，则小巷的宽度为______
16. 如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______．
17. 如图，在中，，垂足为，，，，的长为______．
    
     

三、解答题（本大题共6小题，共49.0分）

18. 先化简，再求值：
    ，．
    已知，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知、、是的三边长，，，，为大于的整数，求证是直角三角形．
    
    
    
    
    
    
     
20. 八年级班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据：
    测得的长度为米：注：
    根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
    牵线放风筝的松松身高米．
    求风筝的高度．
    若松松同学想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
    
     

21. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点．
    
    在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形；
    在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、、；
    如图，、、是小正方形的顶点，求．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，长方形中，，，将长方形沿折叠，点落在处．
    求证：；
    求的面积是多少？
    
     

23. 已知，如图，在中，是的中点，，垂足为，交于点，且．
    判断的形状并说明理由；
    若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：由题意知，
解得：，
故选：．
由二次根式有意义的条件和分母不为零得出关于的不等式组，解之可得．
本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数及分母不为零．
 

2.【答案】

【解析】

解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的相应的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．
直接利用数轴上，的位置，得出，，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】
解：由图可知：，，
则

．
故选：．  

4.【答案】

【解析】

解：，
，
则原式．
故选：．
由已知等式求出的值，原式配方变形后代入计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：设两条直角边分别为，，
根据题意得，，
解得，，
这个直角三角形的面积是，
故选：．
设两条直角边分别为，，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：如图，连接，则，
由勾股定理可得，中，，
又，
，
故选：．
连接，由勾股定理求出，即可得出的长．
本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出是解决问题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：根据折叠可得，，
设，则，
在中，，，，
，
，
在中，由勾股定理得，，
解得，
，
故选：．
根据折叠得到，，设，则，根据勾股定理求得的值，再由勾股定理可得方程，解方程即可算出答案．
本题考查的是翻转变换的性质，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，能熟练运用勾股定理列方程解决问题．
 

8.【答案】

【解析】

解：由题意可知．，，
由勾股定理得
故离门米远的地方，灯刚好打开，
故选：．
根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理解答．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：，，
点到边的距离．
故选：．
利用分割图形求面积法求出的面积，利用勾股定理求出线段的长，再利用三角形的面积公式可求出点到边的距离．
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，利用面积法求出点到边的距离是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得和的长，即可计算下滑的长度．
在直角三角形中，根据勾股定理，得：米，由于梯子的长度不变，在直角三角形中，根据勾股定理，得米，所以米，即梯子的顶端下滑了米．
【解答】
解：在中，米，米，故AC米，
在中，米，米，故EC米，
故AE米．
故选：．  

11.【答案】

【解析】

解：，
，
，
则原式



，
故答案为：．
先根据、的值计算出、的值，再将其代入到原式计算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

12.【答案】

等腰直角三角形
 

【解析】

解：，
，且，
，且，
则为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形
已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负数之和为，两非负数同时为，可得出，且，利用勾股定理的逆定理可得出为直角，进而确定出三角形为等腰直角三角形．
此题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质：绝对值及算术平方根，以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握非负数的性质及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：根据勾股定理可得，
四个直角三角形的面积之和是：，
即，
．
负值舍去，
故答案为：．
根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式展开后，代入计算即可求出其值．
本题主要考查了勾股定理，以及完全平方公式的应用，根据图形的面积关系，求得和的值是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：连接，

，
，
，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，，
四边形的面积


，
故答案为：．
连接，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，根据图形得出四边形的面积，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论．
【解答】
解：如图所示，在中，

，米，米，
．
在中，
，米，，
，
，
，
米，
米．
故答案为．  

16.【答案】

【解析】

解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，关键是找出最短路线．
 

17.【答案】

【解析】

解：，垂足为，，，
是等腰直角三角形，
，即，
解得，
，，
，
，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得．
先根据勾股定理求出的长，结合含角的性质利用勾股定理求出的长即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键
 

18.【答案】

解：原式

，
当时，原式

；
，，
，，，
．
 

【解析】

利用乘法公式展开，然后合并同类项，再把的值代入计算；
先计算出、和的值，再通分和平方差公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
 

19.【答案】

证明：，，



，

，
，
是直角三角形．
 

【解析】

先分别求出、的平方和和的平方，根据求出的结果得出，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

20.【答案】

解：在中，
由勾股定理得，，
所以，负值舍去，
所以，米，
答：风筝的高度为米；
由题意得，，
，
，
，
他应该往回收线米．
 

【解析】

利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】

解：如图所示：

连接，
由勾股定理得：，，
，
为等腰直角三角形
．
 

【解析】

面积为的正方形的边长为，画出正方形即可；
以直角边为和构造斜边为，再以和为直角边构造斜边为就得到三角形三边长分别为、、；
连接，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可得到的度数．
本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，在格点三角形中利用勾股定理．
 

22.【答案】

证明：由折叠可得，，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：≌，
，
设，则，
，
在中，，
即，
解得，
；
，
，，
．
 

【解析】

根据翻折的性质证明≌，可得，进而可以解决问题；
设，则，根据勾股定理求出的值，进而可以求的面积．
本题考查的是图形翻折变换的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
 

23.【答案】

解：是直角三角形，理由如下：
连接，如图，

是的中点，，
，
，
，
，
是直角三角形，即，
是直角三角形；
，，，
，
，
是的中点，，
，
在中：，
，解得．
 

【解析】

连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合条件可求得，可证得结论；
在中可求得，则可求得，在中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于的方程，可求得．
本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．