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    2024年山东省济南市长清区第三初级中学九年级中考一模通关数学试题(含答案)

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    这是一份2024年山东省济南市长清区第三初级中学九年级中考一模通关数学试题(含答案),共34页。

    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
    如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
    回答非选择题时,用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.
    1. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体,它的俯视图是( )

    A. B. C. D.
    第24届北京冬季奥运会总建筑面积约为平方米,数字用科学记数法表示应为( )
    A.B.C.D.
    3.如图,直线,的直角顶点A落在直线上,点B落在直线上,
    若,,则的大小为( )

    A.B.C.D.
    4.实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论正确的是( )
    A. B. C.D.
    5. 下列新能源汽车标志图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
    A. B. C. D.
    6. 若点A(−1,a),B(1,b),C(2,c)在反比例函数的图象上,则a,b,c的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    7. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动,甲被选中的概率是( )
    A.B.C.D.
    8. 如图,⊙O中,点D,A分别在劣弧BC和优弧BC上,∠BDC=130°,则∠BOC =( )

    A.120°B.110°C.105°D.100°
    如图,在中,,,以为圆心,任意长为半径画弧分别交、于点和,再分别以、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点,连接并延长交于点,
    以下结论错误的是( )
    A.是的平分线B.
    C.点在线段的垂直平分线上D.
    定义:在平面直角坐标系中,对于点,当点满足时,
    称点是点的“倍增点”,已知点,有下列结论:
    ①点,都是点的“倍增点”;
    ②若直线上的点A是点的“倍增点”,则点的坐标为;
    ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”;
    ④若点是点的“倍增点”,则的最小值是.
    其中,正确结论的个数是( )
    A. 1B. 2C. 3D. 4
    二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.直接填写答案.
    11.已知实数a,b,满足,,则的值为____________.
    12. 一个袋子中装有4个黑球和个白球,这些球除颜色外其余完全相同,摇匀后随机摸出一个,
    摸到白球的概率为,则白球的个数为___________
    13. 代数式与代数式的值相等,则x=____________.
    14. 如图,正六边形ABCDEF的边长为2,以顶点A为圆心,AB的长为半径画圆,
    则图中阴影部分的面积为 .

    小泽和小帅两同学分别从甲地出发,骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动,
    如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离(单位:千米)与时间(单位:小时)
    之间函数关系的图象,则当小帅到达乙地时,小泽距甲地的距离为___________千米.
    如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=12,AD=10,点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次;
    如图2,第一次折叠纸片使点A与点E重合,折痕为MN,连接ME、NE;
    如图3,第二次折叠纸片使点N与点E重合,点B落在处,折痕为HG,连接HE,
    则____________.
    三、解答题:本题共10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.计算:.
    18. 解不等式组:,并写出它的所有非负整数解.
    19. 如图,在▱ABCD中,点E是AB边的中点,DE的延长线与CB的延长线交于点F.求证:BC=BF.
    图1是安装在倾斜屋顶上的热水器,图2是安装热水器的侧面示意图.
    已知屋面AE的倾斜角为,长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为,
    安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米.
    (1)真空管上端B到水平线AD的距离.
    (2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度.(结果精确到0.1米)
    参考数据:,,,,,
    某校为加强书法教学,了解学生现有的书写能力,随机抽取了部分学生进行测试,
    测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级,分别用A,B,C,D表示,
    并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

    请根据统计图中的信息解答以下问题;
    本次抽取的学生共有_______人,扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°,
    并把条形统计图补充完整;
    依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分,
    则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分,中位数是_______分,平均数是_______分;
    若该校共有学生2800人,请估计一下,书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人:
    A等级的4名学生中有3名女生和1名男生,现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的
    “中学生书法比赛”,请用列表或画树状图的方法,求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率.
    如图,在中,,点F在上,以为直径的恰好经过点E,
    且边与切于点E,连接.

    (1)求证:平分;
    (2)若,求的长.
    第19届杭州亚运会,吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”,
    如图,某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动,
    拟购买30套吉祥物(“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”)作为竞赛奖品.某商店有甲,乙两种规格,
    其中乙规格比甲规格每套贵20元.

    (1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同,求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格;
    (2)在(1)的条件下,若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍,如何购买才能使总费用最少?
    如图,直线y=﹣x+3与双曲线数y=(k≠0)在第一象限交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.
    (1)求反比例函数的解析式;
    (2)若点P在x轴上,且△APC的面积为5,求点P的坐标;
    (3)若点P在y轴上,是否存在点P,使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形?
    若存在,求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
    25. 如图,抛物线与x轴交于,B两点,与y轴交于点C,连接.
    (1)求抛物线的解析式.
    (2)点P是第三象限抛物线上一点,直线与y轴交于点D,的面积为12,求点P的坐标.
    (3)抛物线上是否存在点Q使得?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
    26 . 在中,,,点D在BC上,且满足,
    将线段DB绕点D顺时针旋转至DE,连接CE,BE,以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF,
    且,,连接AF.

    如图1,当点E落在BC上时,直接写出线段BE与线段AF的数量关系;
    如图2,在线段DB旋转过程中,(1)中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立?
    请利用图2说明理由;
    如图3,连接DF,若,求线段DF长度的最小值.
    2024年山东省济南市长清区第三初级中学中考一模通关数学试题(解析版)
    本试卷共26题,满分150分.考试时间为120分钟.
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
    如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
    回答非选择题时,用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.
    1. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体,它的俯视图是( )

    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答.
    【详解】解:从上面看下边是一个矩形,矩形的上边是一个圆,
    故选:D.
    第24届北京冬季奥运会总建筑面积约为平方米,数字用科学记数法表示应为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】本题考查了科学记数法,根据科学记数法的表示方法:,,为整数,进行表示即可.确定,的值,即可.
    【详解】解:;
    故选:B.
    3.如图,直线,的直角顶点A落在直线上,点B落在直线上,
    若,,则的大小为( )

    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据两直线平行,同旁内角互补,进行求解即可.
    【详解】解:∵,
    ∴,
    ∵,,,
    ∴.
    故选:C
    4.实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论正确的是( )
    A. B. C.D.
    【答案】B
    【分析】根据数轴的位置,可得,,逐项分析判断即可求解.
    【详解】解:根据数轴的位置,可得,,,
    A.,错误,不符合题意;
    B.,正确,符合题意;
    C.,错误,不符合题意;
    D.,错误,不符合题意.
    故选:B.
    5. 下列新能源汽车标志图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;把一个图形绕着某一个点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
    【详解】解:A、既是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;
    B、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
    C、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意;
    D、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
    故选A.
    6. 若点A(−1,a),B(1,b),C(2,c)在反比例函数的图象上,则a,b,c的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】求出a、b、c的值,判断即可;
    【详解】∵点A(−1,a),B(1,b),C(2,c)在反比例函数的图象上,
    ∴,,,
    ∵,

    故选:C.
    7. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动,甲被选中的概率是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】画出树状图,共有6种等可能的结果,其中甲被选中的结果有4种,由概率公式即可得出结果.
    【详解】解:根据题意画图如下:
    共有6种等可能的结果数,其中甲被选中的结果有4种,
    则甲被选中的概率为.
    故选:C.
    8. 如图,⊙O中,点D,A分别在劣弧BC和优弧BC上,∠BDC=130°,则∠BOC =( )

    A.120°B.110°C.105°D.100°
    【答案】D
    【分析】根据圆内接四边形的性质,对角互补可知,∠D+∠BAC=180°,求出∠D,再利用圆周角定理即可得出.
    【详解】解:∵四边形ABDC为圆内接四边形
    ∴∠A+∠BDC=180°
    ∵∠BDC=130°
    ∴∠A=50°
    ∴∠BOC=2∠A=100°
    故选:D.
    如图,在中,,,以为圆心,任意长为半径画弧分别交、于点和,再分别以、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点,连接并延长交于点,
    以下结论错误的是( )
    A.是的平分线B.
    C.点在线段的垂直平分线上D.
    【答案】D
    【分析】由作图可得:平分 可判断A,再求解 可得 可判断B,再证明 可判断C,过作于 再证明 再利用 ,可判断D 从而可得答案.
    【详解】解:

    由作图可得:平分 故A不符合题意;

    故B不符合题意;


    在的垂直平分线上,故C不符合题意;
    过作于
    平分





    故D符合题意;
    故选:D.
    定义:在平面直角坐标系中,对于点,当点满足时,
    称点是点的“倍增点”,已知点,有下列结论:
    ①点,都是点的“倍增点”;
    ②若直线上的点A是点的“倍增点”,则点的坐标为;
    ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”;
    ④若点是点的“倍增点”,则的最小值是.
    其中,正确结论的个数是( )
    A. 1B. 2C. 3D. 4
    【答案】C
    【解析】
    【分析】①根据题目所给“倍增点”定义,分别验证即可;②点,根据“倍增点”定义,列出方程,求出a的值,即可判断;③设抛物线上点是点的“倍增点”,根据“倍增点”定义列出方程,再根据判别式得出该方程根的情况,即可判断;④设点,根据“倍增点”定义可得,根据两点间距离公式可得,把代入化简并配方,即可得出的最小值为,即可判断.
    【详解】解:①∵,,
    ∴,
    ∴,则是点的“倍增点”;
    ∵,,
    ∴,
    ∴,则是点的“倍增点”;
    故①正确,符合题意;
    ②设点,
    ∵点A是点的“倍增点”,
    ∴,
    解得:,
    ∴,
    故②不正确,不符合题意;
    ③设抛物线上点是点的“倍增点”,
    ∴,整理得:,
    ∵,
    ∴方程有两个不相等实根,即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”;
    故③正确,符合题意;
    ④设点,
    ∵点是点的“倍增点”,
    ∴,
    ∵,,


    ∵,
    ∴的最小值为,
    ∴的最小值是,
    故④正确,符合题意;
    综上:正确的有①③④,共3个.
    故选:C.
    二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.直接填写答案.
    11.已知实数a,b,满足,,则的值为____________.
    【答案】42
    【解析】
    【分析】首先提取公因式,将已知整体代入求出即可.
    【详解】

    故答案为:42.
    12. 一个袋子中装有4个黑球和个白球,这些球除颜色外其余完全相同,摇匀后随机摸出一个,
    摸到白球的概率为,则白球的个数为___________
    【答案】6
    【分析】根据白球概率求出黑球概率,黑球共有4个,就可以求出球的总数,再减去黑球个数即可解答.
    【详解】解:∵摇匀后随机摸出一个,摸到白球的概率为,
    ∴摸到黑球的概率为.
    ∵袋子中有4个黑球,
    ∴袋子中共有10个球,
    ∴白球有6个.
    故答案为:6.
    13. 代数式与代数式的值相等,则x=____________.
    【答案】7
    【分析】根据题意列出分式方程,求出方程的解,得到x的值即可.
    【详解】解:∵代数式与代数式的值相等,
    ∴,
    去分母

    去括号号

    解得,
    检验:当时,,
    ∴分式方程的解为.
    故答案为:7.
    14. 如图,正六边形ABCDEF的边长为2,以顶点A为圆心,AB的长为半径画圆,
    则图中阴影部分的面积为 .

    【答案】
    【分析】延长FA交⊙A于G,如图所示:根据六边形ABCDEF是正六边形,AB=2,
    利用外角和求得∠GAB=,再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°,
    利用扇形面积公式代入数值计算即可.
    【详解】解:延长FA交⊙A于G,如图所示:
    ∵六边形ABCDEF是正六边形,AB=2,
    ∴∠GAB=,
    ∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°,
    ∴,
    故答案为.
    小泽和小帅两同学分别从甲地出发,骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动,
    如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离(单位:千米)与时间(单位:小时)
    之间函数关系的图象,则当小帅到达乙地时,小泽距甲地的距离为___________千米.
    【答案】
    【分析】设直线的解析式为:,直线的解析式为:;得到直线和的解析式,求出当时,的值,即可.
    【详解】由图象可知,点和在直线上,
    ∴设直线的解析式为:,
    ∴,
    解得:,
    ∴直线的解析式为:;
    当时,,
    ∴,
    ∵点,点在直线上,
    ∴直线的解析式为:,
    ∴,
    解得:,
    ∴直线的解析式为:;
    ∴当时,,
    ∴小泽距甲地的距离为:(千米).
    故答案为:.
    如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=12,AD=10,点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次;
    如图2,第一次折叠纸片使点A与点E重合,折痕为MN,连接ME、NE;
    如图3,第二次折叠纸片使点N与点E重合,点B落在处,折痕为HG,连接HE,
    则____________.
    【答案】
    【分析】根据折叠的性质可知,是的中点,是斜边上的中线,故有,设,则,在中,由勾股定理得,可求 的值,如图,作,四边形是矩形,,有即,可求的值,进而可求的值,根据,求的值,进而可求的值.
    【详解】解:由折叠的性质可知,,,,是线段的垂直平分线
    ∴,

    ∴是的中点
    ∴是斜边上的中线


    设,则
    在中,由勾股定理得即
    解得

    如图,作

    ∴四边形是矩形



    ∴即
    解得



    故答案为:.
    三、解答题:本题共10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.计算:.
    【答案】2
    【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值即可.
    【详解】解:



    18. 解不等式组:,并写出它的所有非负整数解.
    【答案】;非负整数解为0、1、2、3
    【分析】先求出每个不等式的解集,再找出不等式组的解集,最后找出非负整数解即可.
    【详解】解:,
    解不等式①,得:,
    解不等式②,得:,
    原不等式组的解集是,
    非负整数解为0、1、2、3.
    19. 如图,在▱ABCD中,点E是AB边的中点,DE的延长线与CB的延长线交于点F.求证:BC=BF.
    【答案】证明见解析
    【分析】首先由平行四边形的性质可得AD=BC,再由全等三角形的判定定理AAS可证明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF,进而可证明BC=BF.
    【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴ADBC,AD=BC,
    又∵点F在CB的延长线上,
    ∴ADCF,
    ∴∠1=∠2.
    ∵点E是AB边的中点,
    ∴AE=BE.
    在△ADE与△BFE中,
    ∵∠DEA=∠FEB,∠1=∠2,AE=BE,
    ∴△ADE≌△BFE(AAS),
    ∴AD=BF,
    ∴BC=BF.
    图1是安装在倾斜屋顶上的热水器,图2是安装热水器的侧面示意图.
    已知屋面AE的倾斜角为,长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为,
    安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米.
    (1)真空管上端B到水平线AD的距离.
    (2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度.(结果精确到0.1米)
    参考数据:,,,,,
    【答案】(1)1.8米
    (2)0.9米
    【分析】(1)过B作BF⊥AD于F.构建Rt△ABF中,根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案.
    (2)根据BF的长可求出AF的长,再判定出四边形BFDC是矩形,可求出AD,根据BC=DF=AD−AF计算即可.
    【详解】(1)如图,过B作BF⊥AD于F.
    在Rt△ABF中,
    ∵sin∠BAF=,
    ∴BF=ABsin∠BAF=3sin37°≈1.8.
    ∴真空管上端B到AD的距离约为1.8米.
    (2)在Rt△ABF中,
    ∵cs∠BAF=,
    ∴AF=ABcs∠BAF=3cs37°≈2.4,
    ∵BF⊥AD,CD⊥AD,又BC∥FD,
    ∴四边形BFDC是矩形.
    ∴BF=CD,BC=FD,
    ∵EC=0.5米,
    ∴DE=CD−CE=1.3米,
    在Rt△EAD中,
    ∵tan∠EAD=,
    ∴,
    ∴AD=3.25米,
    ∴BC=DF=AD−AF=3.25−2.4=0.85≈0.9
    ∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米.
    某校为加强书法教学,了解学生现有的书写能力,随机抽取了部分学生进行测试,
    测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级,分别用A,B,C,D表示,
    并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

    请根据统计图中的信息解答以下问题;
    本次抽取的学生共有_______人,扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°,
    并把条形统计图补充完整;
    依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分,
    则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分,中位数是_______分,平均数是_______分;
    若该校共有学生2800人,请估计一下,书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人:
    A等级的4名学生中有3名女生和1名男生,现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的
    “中学生书法比赛”,请用列表或画树状图的方法,求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率.
    【答案】(1)40;36;见解析
    (2)70;70;66.5
    (3)280
    (4)
    【分析】(1)由C等级人数及其所占百分比可得总人数,用360°乘以A等级人数所占比例即可得;
    (2)由中位数,众数,平均数的定义结合数据求解即可;
    (3)利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得;
    (4)列表或画树状图得出所有等可能的情况数,找出刚好抽到一男一女的情况数,即可求出所求的概率.
    【详解】(1)本次抽取的学生人数是(人),
    扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是,
    故答案为40人、36°;
    B等级人数为(人),
    补全条形图如下:
    (2)由条形统计图可知众数为:70
    由A、B、C的人数相加得:4+6+16=26>20,所以中位数为:70
    平均数为:
    (3)等级达到优秀的人数大约有(人);
    (4)画树状图为:
    ∵共有12种等可能情况,1男1女有6种情况,
    ∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为.
    如图,在中,,点F在上,以为直径的恰好经过点E,
    且边与切于点E,连接.

    (1)求证:平分;
    (2)若,求的长.
    【答案】(1)见解析
    (2).
    【分析】(1)根据半径相等以及切线的性质证明,可推出,即可证明平分;
    (2)设的半径为R,在中,由勾股定理列式计算求得,再证明,利用相似三角形的性质求解即可.
    【详解】(1)证明:连接,
    ∵,
    ∴,
    ∵与切于点E,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴平分;
    (2)解:∵,
    ∴,
    设的半径为R,则,
    在中,
    由勾股定理得:,即,
    解得:,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    第19届杭州亚运会,吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”,
    如图,某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动,
    拟购买30套吉祥物(“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”)作为竞赛奖品.某商店有甲,乙两种规格,
    其中乙规格比甲规格每套贵20元.

    (1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同,求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格;
    (2)在(1)的条件下,若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍,如何购买才能使总费用最少?
    (1)解:设甲规格吉祥物每套价格元,则乙规格每套价格为元,
    根据题意,得,
    解得.
    经检验,是所列方程的根,且符合实际意义.

    答:甲规格吉祥物每套价格为70元,乙规格每套为90元.
    (2)解:设乙规格购买套,甲规格购买套,总费用为元
    根据题意,得

    解得,


    随的增大而增大.
    当时,最小值.
    故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少.
    如图,直线y=﹣x+3与双曲线数y=(k≠0)在第一象限交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.
    (1)求反比例函数的解析式;
    (2)若点P在x轴上,且△APC的面积为5,求点P的坐标;
    (3)若点P在y轴上,是否存在点P,使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形?
    若存在,求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1);(2)(﹣2,0)或(8,0);(3)存在,P(0,1)或 P(0,﹣1)
    【分析】(1)将点A坐标代入两个解析式可求a的值,k的值,即可求解;
    (2)设P(x,0),由三角形的面积公式可求解;
    (3)分两种情况讨论,由两点距离公式分别求出AP,AB,BP的长,由勾股定理可求解.
    【详解】(1)把点A(1,a)代入y=﹣x+3,得a=2,
    ∴A(1,2),
    把A(1,2)代入反比例函数y=,
    ∴k=1×2=2;
    ∴反比例函数的表达式为;
    (2)∵一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点C,
    ∴C(3,0),
    设P(x,0),
    ∴PC=|3﹣x|,
    ∴S△APC=|3﹣x|×2=5,
    ∴x=﹣2或x=8,
    ∴P的坐标为(﹣2,0)或(8,0);
    (3)存在,
    理由如下:联立,
    解得:或,
    ∴B点坐标为(2,1),
    ∵点P在y轴上,
    ∴设P(0,m),
    ∴AB=,AP=,PB=,
    若BP为斜边,
    ∴BP2=AB2+AP2 ,
    即 =2+,
    解得:m=1,
    ∴P(0,1);
    若AP为斜边,
    ∴AP2=PB2+AB2 ,
    即 =+2,
    解得:m=﹣1,
    ∴P(0,﹣1);
    综上所述:P(0,1)或 P(0,﹣1).
    25. 如图,抛物线与x轴交于,B两点,与y轴交于点C,连接.
    (1)求抛物线的解析式.
    (2)点P是第三象限抛物线上一点,直线与y轴交于点D,的面积为12,求点P的坐标.
    (3)抛物线上是否存在点Q使得?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)存在,或
    【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可;
    (2)先由的面积求出的长,从而确定点坐标为,再由待定系数法求出直线的解析式,直线与抛物线的交点即为所求;
    (3)根据题意当点Q在第一象限时,利用二次函数的对称性求解;当点Q在第四象限时,设与x轴交于点E,首先根据勾股定理求出点E的坐标,然后求出的解析式,最后联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标.
    【详解】(1)将,代入,

    解得,

    (2)令,则,
    解得或,





    设直线的解析式为,

    解得,

    联立方程组,
    解得或,

    (3)如图所示,当点Q在第一象限抛物线上时,


    ∴点Q和点C关于对称轴对称
    ∵,
    ∴抛物线的对称轴为

    ∴点Q的坐标为;
    如图所示,当点Q在第四象限的抛物线上时,设与x轴交于点E


    ∴设
    ∵,
    ∴,
    ∴在中,,即
    ∴解得


    ∴设直线的解析式为
    将,代入得,
    ∴解得

    ∴联立直线和抛物线得,
    ∴解得
    ∴将代入得,
    ∴点Q的坐标为.
    综上所述,点Q的坐标为或.
    26 . 在中,,,点D在BC上,且满足,
    将线段DB绕点D顺时针旋转至DE,连接CE,BE,以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF,
    且,,连接AF.

    (1)如图1,当点E落在BC上时,直接写出线段BE与线段AF的数量关系;
    (2)如图2,在线段DB旋转过程中,(1)中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立?
    请利用图2说明理由;
    (3)如图3,连接DF,若,求线段DF长度的最小值.
    【答案】(1)
    (2)成立,见解析
    (3)
    【分析】(1)由直角三角形的性质可得AC=BC,由旋转的的性质可得BD=DE=BC,BE=BC,由直角三角形的性质可求CF=CE=CB,即可求解;
    (2)通过证明△CBE∽△CAF,由相似三角形的性质可得,则可得出结论;
    (3)在CA上截取CG,使,连接GF,证明,求得,即点F在以G为圆心,以1为半径的圆上运动,当D,G,F三点共线,且点F在DG之间时,DF取得最小值,最小值为,再证明即可进一步得出结论.
    【详解】(1)解:∵∠BAC=90°,∠ABC=30°,
    ∴AC=BC,
    ∵BD=BC,将线段DB绕点D顺时针旋转至DE,
    ∴BD=DE=BC,BE=CB,
    ∴CE=CB,
    ∵∠CFE=90°,∠ECF=60°,
    ∴∠CEF=30°,
    ∴CF=CE=CB,
    ∴AF=AC-CF=CB,
    ∴BE=2AF;
    故答案为:BE=2AF;
    (2)结论仍然成立,;
    证明:理由如下:
    在中,,,
    ∴,,
    同理可证,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    (3)在CA上截取CG,使,连接GF,
    ∴,
    ∵由(2)知,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,,D,G分别是BC,AC三等分点,,
    ∴,,,
    ∴,即点F在以G为圆心,以1为半径的圆上运动,
    ∴当D,G,F三点共线,且点F在DG之间时,DF取得最小值,最小值为,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴线段DF长度的最小值为.

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