山东省济宁市邹城十一中2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份山东省济宁市邹城十一中2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了【答案】C，【答案】B，【答案】A等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（本题共10小题，共30分）
下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. 13B. 20C. 15D. 0.4
若二次根式3x−6有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥0B. x≥2C. x≥−2D. x≤2
若(x−2)2=2−x成立，则x的取值范围是( )
A. x≤2B. x≥2C. 0≤x≤2D. 任意实数
如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是( )
A. 18cm2 B. 36cm2C. 72cm2D. 108cm2
如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m，若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的( )
A. 北偏东75°的方向上
B. 北偏东65°的方向上
C. 北偏东55°的方向上
D. 无法确定
(易错题)把−a1a根号外的因式移到根号内的结果是( )
A. aB. −aC. −aD. −−a
下列各式计算正确的是( )
A. 27÷3=9B. 48÷16=3
C. 20÷4=4D. 43÷19=32
(3+2)2022(3−2)2023的值等于( )
A. 2B. −2C. 3−2D. 2−3
如图，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条边是分别是a，b，则a+b和的平方的值( )
A. 13
B. 19
C. 25
D. 169
如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为( )
101313
B. 91313
C. 81313
D. 71313
二．填空题（本题共8小题，共24分）
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC：AC=3：4，则BC=______．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，则斜边AB上的高为______．
已知最简二次根式a+b−4和2a−b能够合并，则a−2b= ______ ．
如图，学校有一块长方形花圈，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了______步路．(假设2步为1米)
如图，已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积=______．
如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是______尺．
如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积______ ．
一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE= ______ 米时，有DC2=AE2+BC2．
三．解答题（本题共6小题，共46分）
计算：
(1)(6−215)×3−612；
(2)12−9÷3；
(3)3(3−6)；
(4)(25−3)(25+3)−(2−10)2．
如图1，在6×6网格中，正方形ABCD是格点正方形(顶点是网格线的交点)．
(1)求正方形ABCD的面积；
(2)求正方形ABCD的边长；
(3)在数轴上，以点O为圆心，以AB的长为半径画弧，交负半轴于点P，如图2，则点P表示的实数是______．
已知x=2−3，y=2+3，求代数式的值：
(1)x2−y2；
(2)x2+xy+y2．
如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且∠ABC=90°，连接AC．
(1)求AC的长度；
(2)试判断三角形ACD的形状．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
24.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE=CF=250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、13=33，故此选项不符合题意；
B、20=25，故此选项不符合题意；
C、15是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、0.4=105，故此选项不符合题意；
故选：C．
利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵3x−6≥0，
∴x≥2，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵(x−2)2=|x−2|=2−x，
∴x−2≤0，
∴x≤2，
故选：A．
根据二次根式的性质，利用a2=|a|以及绝对值的意义进行解答即可．
本题考查二次根式的性质与化简，掌握a2=|a|以及绝对值的意义是正确解答的前提．
4.【答案】D
【解析】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．
即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．
∵G的面积是62=36cm2，
∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3=108cm2．
故选：D．
根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：正方形A，B，C，D的面积之和等于正方形E，F的面积之和，正方形E，F的面积之和等于最大正方形G的面积．
本题主要考查了勾股定理，注意在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了方向角．
首先根据勾股定理逆定理证明∠AOB=90°，再计算出∠AOC的度数，进而得到∠AOD的度数．
【解答】
解：如图，
∵3002+4002=5002，
∴∠AOB=90°，
∵超市在医院的南偏东25°的方向，
∴∠COB=90°−25°=65°，
∴∠AOC=90°−65°=25°，
∴∠AOD=90°−25°=65°，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：由二次根式的意义可知a>0，
∴−a1a=−a2a=−a．
故选：C．
如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算．从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
7.【答案】B
【解析】解：A．27÷3=9=3，故A不符合题意；
B.48÷16=3，故B符合题意；
C.20÷4=5，故C不符合题意；
D.43÷19=43×9=12=23，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的除法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：原式=[(3+2)(3−2)]2022×(3−2)
=(−1)2022×(3−2)
=3−2，
故选：C．
逆用积的乘方公式，将原式变形后可算得答案．
本题考查实数的运算，解题的关键是能逆用积的乘方公式．
9.【答案】C
【解析】解：由图可知，直角三角形两直角边a、b符合a−b=1，
且正方形面积为13，则边长为13，
∴a2+b2=13，
解得a=3，b=2，
∴(a+b)2=25．
故选：C．
由图可知直角三角形的两直角边a−b=1，且a2+b2=13，解方程可求得a、b，计算(a+b)2即可．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，本题中根据a、b的关系，解a、b的值是解本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由勾股定理得：AC=22+32=13，
∵S△ABC=3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，
∴12AC⋅BD=72，
∴13⋅BD=7，
∴BD=71313，
故选：D．
根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
11.【答案】9
【解析】解：设BC=3x，AC=4x，又其斜边AB=15，
∴9x2+16x2=152，
解得：x=3或−3(舍去)，∴BC=3x=9．
故答案为：9．
设BC=3x，AC=4x，又其斜边AB=15，再根据勾股定理即可得出答案．
本题考查了勾股定理的知识，难度不大，注意细心运算即可．
12.【答案】6013cm
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，
∴AB=AC2+BC2=13cm，
∴S△ABC=12×5×12=12×AB×高，
∴斜边AB上的高ℎ=6013cm．
故答案为：6013cm．
根据勾股定理求得斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求得斜边上的高的长．
考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方以及三角形面积公式的综合运用．
13.【答案】−4
【解析】解：∵最简二次根式a+b−4和2a−b能够合并，
∴a+b−4=2a−b，
∴a−2b=−4．
故答案为．−4．
由于最简二次根式a+b−4和2a−b能够合并，则它们是同类二次根式，于是有a+b−4=2a−b，然后解一次方程即可．
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫同类二次根式；同类二次根式可进行合并．
14.【答案】4
【解析】解：由勾股定理，得
路长=32+42=5(m)，
少走(3+4−5)×2=4步，
故答案为：4．
根据勾股定理，可得答案．
本题考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的长是解题关键．
15.【答案】24cm2
【解析】解：∵直角△ABC的两直角边分别为6，8，
∴AB=62+82=10，
∵以BC为直径的半圆的面积是12π(82)2=8π，
以AC为直径的半圆的面积是 12π(3)2=9π2，
以AB为直径的面积是 12×π(5)2=25π2，
△ABC的面积是12AC⋅BC=24，
∴阴影部分的面积是8π+9π2+24−25π2=24cm2．
故答案为24．
阴影部分的面积等于中间直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的半圆的面积．
本题考查勾股定理的知识，难度一般，注意图中不规则图形的面积可以转化为不规则图形面积的和或差的问题．
16.【答案】13
【解析】解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x−1)尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B′C=5尺
在Rt△AB′C中，52+(x−1)2=x2，
解之得x=13，
即芦苇长13尺．
故答案是：13．
我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B′C=5尺，设出AB=AB′=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
17.【答案】90cm2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=12CM，BC=AD=24CM，AD//BC，∠A=90°，
∴∠EDB=∠CBD．
∵△CBD与△C′BD关于BD对称，
∴△CBD≌△C′BD，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE．
设DE为x，则AE=24−x，BE=x，由勾股定理，得
122+(24−x)2=x2，
解得：x=15，
∴DE=15cm，
∴S△BDE=15×122=90cm2．
故答案为90．
根据轴对称的性质及矩形的性质就可以得出BE=DE，由勾股定理就可以得出DE的值，由三角形的面积公式就可以求出结论．
本题考查了轴对称的性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
18.【答案】143
【解析】解：如图，连接CD，
设AE=x米，
∵坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米，
∴AC=12米，
∴EC=(12−x)米，
∵正方形DEFH的边长为2米，即DE=2米，
∴DC2=DE2+EC2=4+(12−x)2，
AE2+BC2=x2+36，
∵DC2=AE2+BC2，
∴4+(12−x)2=x2+36，
解得：x=143米．
故答案为：143．
根据已知得出设AE=x米，可得EC=(12−x)米，利用勾股定理得出DC2=DE2+EC2=4+(12−x)2，AE2+BC2=x2+36，即可求出x的值．
此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE，AE的长度是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=32−65−32
=−65；
(2)原式=23−3
=3；
(3)原式=3−32；
(4)原式=20−3−(2−45+10)
=20−3−2+45−10
=5+45．
【解析】(1)先用乘法分配律，再把各数化为最简二次根式，合并即可；
(2)先作除法，化为最简二次根式，再合并；
(3)用乘法分配律计算即可；
(4)先用平方差、完全平方公式展开，再去括号，合并即可．
本题考查实数的运算，解题的关键是掌握实数运算的顺序及相关运算的法则．
20.【答案】−10
【解析】解：(1)S正方形ABCD=4×4−1×3×12×4=10；
(2)AB=12+32=10；
(3)由作图可知：OP=AB=10，
∵P点在原点的左边，
∴点P表示的实数为−10．
故答案为：−10．
(1)可利用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可求解；
(2)根据勾股定理可求解；
(3)与数轴上点的坐标的特征可求解P点表示的实数．
本题主要考查勾股定理，实数与数轴，掌握利用勾股定理求解网格中线段长是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵x=2−3，y=2+3，
∴x+y=4，x−y=−23，
∴x2−y2
=(x+y)(x−y)
=4×(−23)
=−83；
(2)∵x=2−3，y=2+3，
∴x+y=4，xy=1，
∴x2+xy+y2
=(x+y)2−xy
=42−1
=16−1
=15．
【解析】(1)根据x、y的值可以求得所求式子的值；
(2)根据x、y的值可以求得所求式子的值．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
22.【答案】解：(1)∵∠B=90°，AB=1，BC=2，
∴AC2=AB2+BC2=1+4=5，
∴AC=AB2+BC2=12+22=5；
(2)∵△ACD中，AC=5，CD=2，AD=2，
∴AC2+CD2=5+4=9，AD2=9，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形．
【解析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
(1)直接根据勾股定理求出AC的长即可；
(2)在△ACD中，由勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状．
23.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=52−32=16，
∴BC=4(cm)；
(2)由题意知BP=tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，即t=4；
②当∠BAP为直角时，BP=tcm，CP=(t−4)cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，
AP2=32+(t−4)2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，
即：52+[32+(t−4)2]=t2，
解得：t=254，
故当△ABP为直角三角形时，t=4或t=254；
(3)①当AB=BP时，t=5；
②当AB=AP时，BP=2BC=8cm，t=8；
③当BP=AP时，AP=BP=tcm，CP=(4−t)cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，
所以t2=32+(4−t)2，
解得：t=258，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t=258．
【解析】(1)直接根据勾股定理求出BC的长度；
(2)当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；
(3)当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③当BP=AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
24.【答案】解：(1)∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
(2)海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=240(km)，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
(3)当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED=EC2−CD2=70(km)，
∴EF=140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20=7(小时)．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
【解析】(1)利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
(2)利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
(3)利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．