湖北省荆门市钟祥市第二中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 若一个三角形的两边长分别为，，则它的第三边的长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，再解不等式即可．
【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系可得：
，
解得：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（ ）
A. 15B. 18C. 20D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，于是.
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证得，
∴，
即的周长为20，
故选：C．
4. 如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】因为是的角平分线，所以，由，得，则，在中，，即可作答
【详解】解：因为是的角平分线，
所以，
由，得，
在中，，
因为在中，，
把，代入，
得
那么，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和为以及角平分线的定义，难度较小．
5. 在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（ ）
A. 2B. 19C. 2或19D. 2或12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线的性质，分类讨论：①当的周长大于的周长时，②当的周长比的周长大时，根据三角形中线的性质及与的周长差即可求解，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】①当的周长大于的周长时，
为边的中线，
，
与的周长差，
与的周长差为5，，
，
解得；
②当的周长比的周长大时，
为边的中线，
，
与的周长差，
与的周长差为5，，
，
解得，
综上或12，
故选D．
6. 如图，，点MN分别在，上运动（不与点O重合），ME平分，ME的反向延长线与的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，的度数（ ）
A. 变大B. 变小C. 等于D. 等于
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的性质可知，，根据根据外角的定义：即，，可得的度数．
【详解】解：∵ME平分，NF平分，
∴，，
∵根据外角的定义：，
∴，
∵，
∴，
又∵根据外角的定义：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练应用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答本题的关键．
7. 如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确．
【详解】解：，
，
，，
，故①正确；
若，
由①得，
，
，故②正确；
若，则可得，
，
D为中点，故③正确；
根据三角形外角的性质，可得，
故，
当时，
；
当，
，故④不正确，
所以正确的为①②③，为3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
8. 如图，在正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰△ABC的腰两种情况分别解答即可．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①为等腰直角底边时，符合条件的C点有0个；
②为等腰直角的腰时，符合条件的C点有8个；
故共有8个点．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
9. 如图，已知，平分，，若，，则的长是( )
A. 4.5B. 5C. 5.5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】在延长线上取点E，使，连接，则可证得为等边三角形，再结合条件可证明，可得，再利用线段的和差可求得，则可求得．
【详解】解：在延长线上取点E，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，构造等边三角形再证是解题的关键．
10. 如图，在等边中，点A为上一动点（不与P，Q重合），再以为边作等边，连接．有以下结论：①平分；②；③；④；⑤当时，的周长最小．其中一定正确的有（ ）

A. ①②③B. ②③④C. ③④⑤D. ②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；证明出，可得，，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当时，最小，即可判断⑤．
【详解】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），，
∴与不一定相等，故①不正确；
∵和都为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，最小，
∴当时，的周长最小，故⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和最短路线问题，判断出是解本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则∠C等于________度．
【答案】36
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理得出，把代入得出，求出∠C即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为36．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，三角形内角和定理的应用，能得出关于∠C的方程是解此题的关键．
12. 如图所示，，则______°．
【答案】200
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答．
【详解】如图，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴
故答案为200．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理．掌握三角形的三个内角的和为是解题关键．
13. 如图，是的中线，G是上的一点，且，连接，若的面积为6，则图中阴影部分的面积是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据是的中线，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解： ∵是的中线，的面积为6，
∴，
∵，
∴，
∴，
即图中阴影部分面积是2．
故答案为：2
【点睛】本题考查三角形的面积问题．其中根据三角形的中线的性质进行解答是解决本题的关键．
14. 在△ABC中，∠A=36°．当∠C=______________°，△ABC为等腰三角形．
【答案】72°、36°、108°
【解析】
【分析】在等腰三角形中，当不确定∠A为顶角还是底角时，分类处理：（1）当∠A=36°为顶角，可得底角∠C的值.（2）当∠A=36°为底角时，∠C为顶角或底角，根据内角和性质代入求解即可得出结论.
【详解】解：（1）当∠A=36°为顶角时，；
（2）当∠A=36°为底角时，∠C若为底角，则∠C=∠A=36°，
∠C若为顶角，，
故答案为72°、36°、108°
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，本题关键在于不确定等腰三角形的顶角与底角的情况下，要注意分类讨论.
15. 一张纸片，点M、N分别是上的点，若沿直线折叠后，点A落在边的下面的位置，如图所示，则之间的数量关系式是 ___________．

【答案】
【解析】
【分析】如图，记与的交点为，由折叠得：，由三角形外角的性质可知，同理：，则，即：．
【详解】解：如图，记与的交点为，

由折叠得：，
由题意知，，
同理：，
∴，即：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
16. 在△ABC中，，AD是△ABC的角平分线，E在AB的垂直平分线上，，F为AD上的动点，则的最小值为___．
【答案】6
【解析】
【分析】如图，连接BE，BF，首先证明EF＋CF的最小值为AE的长，然后求出AE的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BE，BF．
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴FC＝FB，
∵E在AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
∴EF＋CF＝EF＋BF≥BE，
∴EF＋CF的最小值为BE，即AE的长，
∵AE：EC＝3：2，
∴设AE＝3k，EC＝2k，
∵AE＋EC≥AC，
∴5k≥10，
∴k≥2，
∴AE的最小值为6，
∴EF＋CF的值的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
三、解答题（共8小题，17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题10分， 23题10分，24题12分，共72分．）
17. 如图，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据可证得，再利用证得进而可求证结论，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
【详解】证明：，
，即：，
在和中，
，
，
．
18. 在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，，请按要求解答下列问题：
（1）画出关于x轴对称的，并写出点A的对应点的坐标为（ ， ）；
（2）平行于y轴的直线l经过，画出关于直线l对称的图形，并直接写出（ ， ），（ ， ），（ ， ）；
（3）仅用无刻度直尺作出的角平分线BD，保留画图痕迹（不写画法）．
【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，，，；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可；
（2）根据网格特点和对称的性质，分别作出A、B、C关于直线l的对称点、、，然后写出它们的坐标；
（3）把AB绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接BE交AC于D．
【详解】解：（1）如图，为所作，；
（2）如图，为所作，，，；
（3）如图，BD为所作．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，画轴对称图形，解题的关键是正确写出点的坐标．
19. 已知，如图，于点，于点
（1）求证：
（2）试问：和相等吗?说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）相等，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接，证明，即可得出；
（2）根据，可得，进而根据角平分线的性质即可证明和相等．
【小问1详解】
证明：连接，如图，

在和中，
，
，
；
【小问2详解】
即
，，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
20. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证即可求证；
（2）根据，结合全等三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵
，
∴是等腰三角形
【小问2详解】
解：∵
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推导是解题关键．
21. 在等边中，D为边的中点，点N在边的延长线上，且．

（1）如图1，点M在边上，求证：；
（2）如图2，点M在边的延长线上，试探究，与等边边长的数量关系：
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行线的性质：
（1）作交于，根据等边三角形的判定及性质可证得是等边三角形，再利用证得即可求证结论；
（2）作交于，由（1）同理可证，得出，进而可求得，即可求解；
根据相关知识证明是解题的关键．
【小问1详解】
证明：作交于，如图：

是等边三角形，
，，
D为边的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【小问2详解】
解：，理由如下：
作交于，如图：

由（1）同理可证，
，
．
22. 如图，在等边中，P为边上的一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点E．
（1）若，求的度数；
（2）若，．求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，设，从而可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得的度数，最后根据三角形的内角和定理、以及即可得；
（2）先同（1）的方法可得，过点作于点，根据含度角的直角三角形的性质求得，根据，然后根据等腰三角形的性质即可得．
【小问1详解】
解：是等边三角形，
，
设，则，
由轴对称的性质得：，
，
又，
，
，
当，即时，
则，
，
；
【小问2详解】
设，
由（1）已得：，
，
如图，过点作于点，
在中，，
，
,
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
23. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解；
（3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
在△BAC和△DAE中，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
小问3详解】
证明：延长BF到G，使得，
∵，
∴，
在△AFB和△AFG中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴在△CGA和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键．
24. 已知：在平面直角坐标系中，A（a，0）为x轴负半轴上一点，B（0，b）为y轴负半轴上一点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）如图1，若点A的坐标为（，0），以B为顶点，AB为腰向右作等腰，点C纵坐标为c，求的值；
（3）如图2，若A、B分别在x、y轴负半轴上运动，且，于点D，以OB为边向右作等边△OBE，连接交OD于点F，试问：在A、B两点的运动过程中，式子的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用绝对值与二次根式的非负性求出a和b，确定，即可求出；
（2）作，证明，，，再由即可求出结果；
（3）在线段上截取，根据等腰三角形的性质可得，由三角形的中位线定理可得，得到，进而得出，易求，可证明，得出，，结合，从而问题得解．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，作，
则，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在与中，
，，
，
，
；
故答案为：；
【小问3详解】
解：不变；
如图，在线段上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，又
∴，
在与中，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查了绝对值与二次根式的非负性，等腰三角形等边对等角、三线合一，截长补短，三角形全等的判定，等边三角形的性质，转化线段是解题的关键．