2023-2024学年湖北省天门外国语学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省天门外国语学校八年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在如图所示绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3，3，6B. 6，7，8C. 5，6，11D. 9，9，19
3.一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的内角和等于( )
A. 360°B. 540°C. 720°D. 1080°
4.在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P一定是△ABC( )
A. 三条角平分线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三条中线的交点
5.打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( )
A. 带①②去
B. 带②③去
C. 带③④去
D. 带②④去
6.能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是( )
A. AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′
B. AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=B′C′
C. AC=A′C′，∠A=∠A′，BC=B′C′
D. AC=A′C′，∠C=∠C′，BC=B′C′
7.如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是( )
A. 9
B. 12
C. 18
D. 20
8.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知∠DAC=α，∠DAB=90°−α2，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC的度数为( )
A. α3B. α2C. 30°−α2D. 45°−α
9.如图，三角形纸片△ABC，AB=8，BC=6，AC=5，沿过点B的直线折叠这个三角形，折痕为BD(点D在线段AC上且不与A、C重合).若点C落在AB边下方的点E处，则△ADE的周长p的取值范围是( )
A. 710.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠AOB=135°；②BD+AG=AB；③BA=BF；④连接DG，则DG//BE.其中正确结论的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.点A(1,−3)关于x轴的对称点B的坐标是______．
12.若等腰三角形的一个角为100°，则其底角的度数为______．
13.如图，△ABC中，D在BC边上，E在AC边上，且DE垂直平分AC.若△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为______．
14.如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC=20°，∠C=38°，则∠BAD=______．
15.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=10cm，BC=6cm，D是AB的中点.点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点C向点A运动，它们运动的时间为t(s)，设点Q的运动速度为x cm/s，若使得△DBP与△QCP全等，则x的值为______．
16.如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=8，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
一根长24cm的铁丝围成三角形．
①若围成等腰三角形且腰长是底边长的2倍，求腰长；
②能否围成一边长为6cm的等腰三角形．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C=70°．
(1)若∠ABC=60°，求∠DAE的度数；
(2)求∠BOE的度数．
19.(本小题7分)
如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．
20.(本小题8分)
如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A(−3,3)，B(−4,−2)，C(0,−1).仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题．

(1)在图1中，画出△ABC关于y轴对称的△DEC(点D与点A对应)，点E的坐标为______；
(2)在图1中，画出△ABC的中线AM，点M的坐标为______；
(3)在图2中，画出△ABC的高BF(保留作图痕迹)．
21.(本小题8分)
如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，AB=3AD，DE⊥BC于点E，AE、CD相交于点F．
(1)求证：△ACD≌△BAE；
(2)请你过点C作CG⊥AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明．
22.(本小题10分)
我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°.回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)取BD的中点P，连接OP，试说明AC=2OP.小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线(点)倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造△BPE，并证明BE=OD．
②求证：AC=2OP．
23.(本小题11分)
在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°．
①则△ABD与△ACE全等吗？请说明理由；
②求∠BCE的度数；
(2)如图2，如果∠BAC=60°，当点D在线段BC上移动，则∠BCE的度数是______°；
(3)如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点(D与B、C均不重合)，当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？
24.(本小题12分)
如图1，OA=3，OB=6，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
(1)求C点的坐标；
(2)如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向y轴负半轴向下运动时，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，且点D在第四象限，过D作DE⊥x轴于E点，求OP−DE的值；
(3)如图3，已知点F坐标为(−6,−6)，点G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负轴交于点G(0,m)，FH与x轴正半轴交于点H(n,0)，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求m+n的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：根据三角形的三边关系，得：
A、3+3=6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、6+7>8，能组成三角形，故此选项符合题意；
C、5+6=11，不能组成三角形，故此选项不合题意；
D、9+9<19，不能组成三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项逐一分析即可．
此题主要考查了三角形三边关系，掌握能否组成三角形的简便方法：较小的两个数的和是否大于第三个数是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵任意多边形的外角和为360°，
∴它的内角和等于360°．
故选：A．
根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，得出答案即可．
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和为360°．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
由在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，可判定点P在AB，BC，AC的垂直平分线上，则可求得答案．
【解答】
解：∵在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，
∴点P一定是△ABC三边垂直平分线的交点．
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：A．
可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定；熟记全等三角形的判定定理的四种情况：AAS，ASA，SSS，SAS.做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．根据全等三角形的判定：AAS，ASA，SSS，SAS，依次排除A，B，C三个选项．
【解答】
解：A、AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′，满足SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；
B、AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=B′C′，满足SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；
C、AC=A′C′，∠A=∠A′，BC=B′C′，满足SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；
D、AC=A′C′，∠C=∠C′，BC=B′C′，符合SAS，能判定△ABC≌△A′B′C′．
故选D．
7.【答案】B
【解析】解：∵BD是△ABC的边AC上的中线，
∴S△ABD=S△BCD=12S△ABC=12×32=16，
∵AE是△ABD的边BD上的中线，
∴S△ABE=S△ADE=12S△ABD=12×16=8，
又∵BF是△ABE的边AE上的中线，则CF是△ACE的边AE上的中线，
∴S△BEF=S△ABF=12S△ABE=12×8=4，S△CEF=S△ACF=S△ADE=S△CED=12S△ACE=8，
则S阴影=S△BEF+S△CEF=4+8=12，
故选：B．
利用中线等分三角形的面积进行求解即可．
本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如图，
∵∠DAC=α，∠DAB=90°−α2，
∴∠EAM=90°−α2，
∴AE平分∠MAD，
∴EM=EN，
∵CE平分∠ACB，
∴EM=EH，
∴EN=EH，
∴DE平分∠ADB，
∴∠1=12∠ADB，
由三角形外角可得：∠1=∠DEC+∠2，
∵∠2=12∠ACB，
∴∠1=∠DEC+12∠ACB，
而∠ADB=∠DAC+∠ACB，
∴∠DEC=12∠DAC=12α，
故选：B．
过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如图，先计算出∠EAM，则AE平分∠MAD，根据角平分线的性质得EM=EN，再由CE平分∠ACB得到EM=EH，则EN=EH，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分∠ADB，再根据三角形外角性质解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分∠ADB．
9.【答案】A
【解析】解：∵折叠这个三角形顶点C落在AB边下方的点E处，
∴DE=CD，BE=BC=6，
∴在△ADE中，AD+DE=AD+CD=AC=5，AE在△ABE中，AE>AB−BE，即AE>2．
所以2∴7<△AED的周长<10．
故选：A．
根据翻折变换的性质可得CE=CD，BE=BC，然后求出AE，再求出AD+DE=AC，最后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵AD，BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=12∠ABC，∠BAD=12∠BAC，
∴∠ABE+∠BAD=12(∠ABC+∠BAC)=45°，
∴∠AOB=180°−(∠ABE+∠BAD)=135°．
∴①的结论正确；
∵AD，BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABO=∠FBO，∠BAO=∠CAD．
∵OF⊥AD，
∴∠F+∠ADC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠F，
∴∠BAO=∠F．
在△ABO和△FBO中，
∠ABO=∠FBO∠BAO=∠FBO=BO，
∴△ABO≌△FBO(AAS)，
∴BA=BF，OA=OF．
∴③的结论正确；
在△AOG和△FOD中，
∠AOF=∠FOD=90°OA=OF∠OAC=∠F，
∴△AOG≌△FOD(ASA)，
∴AG=DF，OG=OD，
∴BD+AG=BD+DF=BF=AB，
∴②的结论正确．
如图，连接DG，
∵OG=OD，∠DOG=90°，
∴∠OGD=45°=∠ODG，
∵∠AOB=135°，
∴∠BOD=45°=∠ODG，
∴BE/​/DG，故④正确，
故选：A．
利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算求得∠AOB的度数，即可判断①的正确；利用全等三角形的判定与性质即可得出③的正确；利用△AOG≌△FOD，通过计算和等量代换即可得出②的正确；利用等腰直角三角形的性质可得∠OGD=45°=∠ODG，由平行线的判定可得DG/​/BE，即可判断④的正确；即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的定义与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
11.【答案】(1,3)
【解析】解：点A(1,−3)关于x轴的对称点B的坐标是(1,3)．
故答案为：(1,3)．
直接利用关于x轴对称点的性质(横坐标不变，纵坐标互为相反数)得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12.【答案】40°，40°
【解析】解：∵100°>90°，
∴100°的角是顶角，
∴12(180°−100°)=40°，
∴其他底角的度数分别为：40°，40°．
故答案为：40°，40°．
根据100°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出100°的角是顶角是解题的关键．
13.【答案】4cm
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC=21cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13(cm)，
∴AC=8cm，
∴AE=4cm，
故答案为：4cm．
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，AE=EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的周长计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14.【答案】58°
【解析】法一，设∠ABD=α，∠BAD=β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD=90°，
即α+β=90°
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD=2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°
∴2α+β+38°+20°=180°，
∴联立可得α+β=90∘2α+β=122∘解得：α=32∘β=58∘
∴∠BAD=58°
故答案为：58°
法二，延长AD交BC于E，
∵∠DAC=20°，∠C=38°，
∴∠AEB=20°+38°=58°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA=90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠BEA=∠BAD=58°，
故答案为：58°
法一设∠ABD=α，∠BAD=β，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出α与β的值．
本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于α与β的方程组，本题属于中等题型．
15.【答案】2或52
【解析】解：∵AB=AC=10cm，BC=6cm，点D为AB的中点，
∴BD=12×10=5cm，
设点P、Q的运动时间为t，则BP=2t(cm)，
PC=(6−2t)cm，
①当BD=PC时，
6−2t=5，
解得：t=12，
则BP=CQ=2t=1cm，
故点Q的运动速度为：1÷12=2(cm/s)；
②当BP=PC时，
∵BC=6cm，
∴BP=PC=3cm，
∴t=4÷2=2(s)，
故点Q的运动速度为5÷2=52(cm/s)；
故答案为：2或52．
用t表示出相关线段，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论即可．
本题考查全等三角形的对应边相等的性质，根据对应角分情况讨论是本题的关键．
16.【答案】92
【解析】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，
∵S△OMN=12MN⋅OH=12，且MN=8，
∴OH=3，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，
∴∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°，
∴△OP1P2的面积为12OP1⋅OP2=12OP2，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH=3，
∴△OP1P2的面积的最小值为12×32=92，
故答案为：92．
连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出OH，再根据轴对称的性质可得∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，从而可得∠P1OP2=90°，然后利用三角形的面积公式可得△OP1P2的面积为12OP2，可得当点P与点H重合时，OP取得最小值，△OP1P2的面积最小，由此即可得．
本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
17.【答案】解：(1)设围成的等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm，
由题意得：x+2x+2x=24，
解得：x=245，
则2x=485，
∴该等腰三角形的腰长为485cm；
(2)当腰长为6cm时，
则底边长为24−2×6=12(cm)，
∵6+6=12，
∴该等腰三角形不满足两边之大于第三边，故该等腰三角形不成立；
当底边为6cm时，
则腰长为(24−6)÷2=9(cm)
∵9、9、6满足三角形三边关系，
∴能围成一个腰长为9cm的等腰三角形．
【解析】(1)设围成的等腰三角形的底边长为x cm，则腰长常为2x cm，根据等腰三角形的周长为24cm列出方程求解即可；
(2)分腰长为6cm或底边长为6cm讨论，再依据三角形的三边关系判断不同情况下的等腰三角形是否成立即可．
本题主要考查一元一次方程的应用、等腰三角形的性质、三角形三边关系．三角形三边关系：三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．(3)三角形的两边差小于第三边．(4)在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
18.【答案】解：(1)∵AD是高，∠C=70°，
∴∠DAC=90°−70°=20°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=180°−∠C−∠ABC=180°−70°−60°=50°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC=12∠BAC=12×50°=25°，
∵∠DAE=∠EAC−∠DAC=25°−20°=5°；
(2)∵∠C=70°，
∴∠ABC+∠BAC=180°−70°=110°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠BAE+∠ABF=12(∠ABC+∠BAC)=12×110°=55°，
∵∠BOE是△AOB的外角，
∴∠BOE=∠BAE+∠ABF=55°．
【解析】(1)先根据AD是高，∠C=70°得出∠DAC的度数，再由∠ABC=60°得出∠BAC的度数，由AE是∠BAC的平分线得出∠EAC的度数，由∠DAE=∠EAC−∠DAC即可得出结论；
(2)由∠C=70°得出∠ABC+∠BAC的度数，再由AE、BF是角平分线可得出∠BAE+∠ABF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解题的关键．
19.【答案】解：CD=AB，CD/​/AB，理由如下：
∵CE=BF，
∴CE−EF=BF−EF，
∴CF=BE，
在△CFD和△BEA中，
CF=BE∠CFD=∠BEADF=AE，
∴△CFD≌△BEA(SAS)，
∴CD=AB，∠C=∠B，
∴CD/​/AB．
【解析】先证CF=BE，再由SAS证△CFD≌△BEA，得CD=AB，∠C=∠B，然后由平行线的判定推出CD/​/AB即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】(4,−2) (−2,−1.5)
【解析】(1)解：作出点A、B关于y轴的对称点D、E，顺次连接，则△DEC即为所求作的三角形，如图所示：
点E的坐标为：(4,−2)．
故答案为：(4,−2)．
(2)解：连接PQ，交BC于一点M，连接AM，则AM即为所求，如图所示：
根据作图可知，点M为所在方格的中点上，点M的坐标为：(−2,−1.5)．
故答案为：(−2,−1.5)；
(3)解：连接BN，交AC于一点F，则BF即为所求作△ABC的高，如图所示：
(1)作出点A、B关于y轴的对称点D、E，然后顺次连接即可，写出点E的坐标；
(2)连接PQ，交BC于一点M，连接AM即可，根据点M为BC的中点，写出点M的坐标即可；
(3)连接BN，交AC于一点F，则BF即为△ABC的高．
本题主要考查了在网格中作三角形的高和中线以及作轴对称图形，解题的关键是作出对应点，掌握网格的结构特点．
21.【答案】(1)证明：∵AB=3AD，
∴AD=12BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°， AB=AC，
在Rt△DBE中，∠B=60°，∠BDE=30°，
∴BE=12BD=AD，
在△ACD和△BAE中，
AD=BE∠CAD=∠B=60°AC=BA,
∴△ACD≌△BAE(SAS)．
(2)CF=2FG．
证明：如图所示，过点C作CG⊥AE于G，
∵△ACD≌△BAE，
∴∠ACD=∠BAE，
∴∠EFC=∠EAC+∠ACD=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°，
又∵CG⊥EF，
∴在Rt△CFG中，∠FCG=30°，
∴CF=2FG．
【解析】△ABC为等边三角形，则∠BAC=∠B=60°，AB=AC，利用两边夹一角求解全等，探究问题可在第一问的基础上利用边角关系得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°−∠AOB−∠COD=360°−90°−90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
(2)①延长OP至E，使PE=OP，

∵P为BD的中点，
∴BP=PD，
在△BPE和△DPO中，
PE=OP∠BPE=∠DPOBP=PD，
∴△BPE≌△DPO(SAS)，
∴BE=OD；
②∵△BPE≌△DPO，
∴∠E=∠DOP，
∴BE/​/OD，
∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，
∴∠EBO=∠AOC，
∵BE=OD，OD=OC，
∴BE=OC，
在△EBO和△COA中，
EB=OC∠EBO=∠AOCOB=OA，
∴△EBO≌△COA(SAS)，
∴OE=AC，
又∵OE=2OP，
∴AC=2OP．
【解析】(1)证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
(2)①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO(SAS)，由全等三角形的性质得出BE=OD；
②证明△EBO≌△COA(SAS)，由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】120
【解析】(1)①证明：∵∠BAC=∠ADE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
②解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°；
∴∠BCE的度数为90°；
(2)解：∵AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，∠B=∠ACB=60°，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，
故答案为：120；
(3)由(2)可知：△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴CD+CE=CD+BD=BC，
∵△ECD的周长=DE+CD+CE=DE+BC，
∵BC为定值，
∴当DE的值最小时，△DCE得到周长最小，
∵AD=AE，∠ADE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD
∴AD⊥BC时，AD的值最小，此时BD=CD，
∴当点D运动到BC的中点时，△DCE是周长最小．
(1)根据∠BAC=∠ADE=90°，易得∠BAD=∠CAE，再证△BAD≌△CAE；
(2)证明△BAD≌△CAE(SAS)，推出∠ACE=∠B=45°，再由∠BCE=∠ACB+∠ACE得出结论；
(3)由△BAD≌△CAE可得出BD=CE，推出CD+EC=CD+BD=BC，由△ECD的周长=DE+CD+CE=DE+BC，BC为定值，推出DE最小时，△DCE得到周长最小，由垂线段最短即可解决问题．
本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24.【答案】解：(1)如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
在△DAC和△OBA中，
∠DAC=∠OBA∠ADC=∠BOAAC=AB，
∴△DAC≌△OBA(AAS)，
∴AD=OB=6，DC=OA=3，
∴C点的坐标为(−9,−3)；
(2)如图2，过点D作DH⊥y轴于点H，
则四边形OHDE为矩形，
∴OH=DE，
∴OP−DE=OP−OH=PH，
∵∠AOP=90°，
∴∠OAP+∠OPA=90°，
∵∠APD=90°，
∴∠OPA+∠DPH=90°，
∴∠OAP=∠HPD，
在△AOP和△PHD中，
∠OAP=∠HPD∠AOP=∠PHDAP=PD，
∴△AOP≌△PHD(AAS)，
∴PH=OA=3，
∴OP−DE=PH=3；
(3)如图3，过点F作FS⊥x轴于点S，FT⊥y轴于点T，
∵点F坐标为(−6,−6)，
∴FS=FT=6，
∴四边形SFTO为正方形，
∴∠SFT=90°，
∵∠GFH=90°，
∴∠SFH=∠TFG，
在△HST和△GTF中，
∠HST=∠GTF∠SFH=∠TFGFS=TF，
∴△HST≌△GTF(AAS)，
∴GT=SH，
∵G(0,m)，H(n,0)，
∴SH=n+6，GT=−m−6，
∴n+6=−m−6，
∴m+n=−12．
【解析】(1)过点C作CD⊥x轴于点D，证明△DAC≌△OBA，得到AD=OB=6，DC=OA=3，求出C点的坐标；
(2)过点D作DH⊥y轴于点H，证明△AOP≌△PHD，得到PH=OA=3，得到答案；
(3)过点F作FS⊥x轴于点S，FT⊥y轴于点T，证明△HST≌△GTF，得到GT=SH，根据题意列式计算即可．
本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．