苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算优秀综合训练题

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一、空间向量相关概念
1、空间向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：AB或a。
2、空间向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或
3、空间向量的有关概念：
（1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。
（2）单位向量：长度为1的空间向量，即.
（3）相等向量：方向相同且模相等的向量。
（4）相反向量：方向相反但模相等的向量。
（5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
（6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
二、空间向量的线性运算
1、空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．

2、空间向量加减法运算律
交换律： 结合律：
小结：空间向量加法的运算的小技巧
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
3、空间向量的数乘运算
（1）定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与a方向相同；
当λ<0时，λa与a方向相反；
当λ=0时，λa=0．
λa的长度是a的长度的|λ|倍．
（2）运算律：分配律：λa+b=λa+λb；
结合律：λμa=(λμ)a．
三、向量共线定理
1、空间向量共线的充要条件：
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a=λb.
2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，存在实数λ，使得OP=λa.
与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，
也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。
3、证明空间三点共线的三种思路：
对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线
（1）存在实数λ，使PA=λPB成立.
（2）对空间任一点O，有OP=OA+tAB(t∈R).
（3）对空间任一点O，有OP=xOA+yOB(x+y=1).
题型一 空间向量概念的理解
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【变式1-1】下列说法中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量和是共线向量，则、、、四点共线
C．在空间中，任意两个单位向量都相等
D．零向量与任意向量平行
【变式1-2】在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-4】如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与相等的向量； （2）与相反的向量； （3）与平行的向量．
题型二 空间向量的线性运算
【例2】化简算式：______．
【变式2-1】正六棱柱中，设，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.
（1）；
（2）.
【变式2-3】构造始点、终点都是平行六面体顶点的向量，使它与下列各式所表示的向量分别相等：
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）．
题型三 空间向量的线性表示
【例3】在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】如图，在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型四 向量共线与三点共线问题
【例4】若向量与不共线且，，，则（ ）
A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面
【变式4-1】满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A． B． C． D．
【变式4-2】在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________．
【变式4-3】如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？
【变式4-4】如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．
题型五 利用向量共线证明线线平行
【例5】如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：．
【变式5-1】已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．
【变式5-2】如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点.求证：BF∥ED′.
【变式5-3】如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.