高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推同步训练题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推同步训练题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．数列1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，…的递推公式可以是( )
A．an＝eq \f(1,2n)B．an＝eq \f(1,2n)
C．an＋1＝eq \f(1,2)anD．an＋1＝2an
2．已知数列{an}中，a1＝1，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2)，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2nB．an＝eq \f(1,2n)
C．an＝eq \f(1,2n－1)D．an＝eq \f(1,n2)
3．符合递推关系式an＝eq \r(2)an－1的数列是( )
A．1，2，3，4，…B．1, eq \r(2)，2，2eq \r(2)，…
C．eq \r(2)，2, eq \r(2)，2，…D．0, eq \r(2)，2，2eq \r(2)，…
4．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－eq \f(1,an－1)(n≥2)，则a2019＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．2 D．－2
二、填空题
5．数列{an}的前n项的和Sn＝3n2＋n＋1，an＝________．
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an＝________．
7．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2019的值为________．
三、解答题
8．已知数列{an}的第1项是2，以后的各项由公式an＝eq \f(an－1,1－an－1)(n＝2，3，4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{an}的通项公式．
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最大或最小值．
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10．设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a eq \\al(2,n＋1) －na eq \\al(2,n) ＋an＋1an＝0(n＝1，2，3，…)，求它的通项公式．
课时作业(二) 数列中的递推
1．解析：由题意可知C选项符合．
答案：C
2．解析：a1＝1，a2＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(1,4)，a4＝eq \f(1,8)，观察得an＝eq \f(1,2n－1).
答案：C
3．解析：由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的eq \r(2)倍为后一项，所以只有B符合．
答案：B
4．解析：方法一 由已知可得，a1＝2，a2＝－eq \f(1,2)，a3＝2，a4＝－eq \f(1,2)，∴{an}是周期为2的数列，则a2019＝a1009×2＋1＝a1＝2.
方法二 ∵an＝－eq \f(1,an－1)(n≥2)，∴an＋2＝－eq \f(1,an＋1)＝an，
∴{an}是周期为2的数列，则a2019＝a1009×2＋1＝a1＝2.
答案：C
5．解析：由题可知，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2＋n＋1－[3(n－1)2＋(n－1)＋1]＝6n－2，
当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＋1＝5，
∴an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5，n＝1，,6n－2，n≥2.))
答案：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5，n＝1,6n－2，n≥2))
6．解析：∵an＋1－an＝－1，
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1),\s\d4(共(n－1)个))
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项an＝3－n(n∈N*).
答案：3－n
7．解析：因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2；
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1；
由a3＝2，a4＝1，得a5＝eq \f(1,2)；
由a4＝1，a5＝eq \f(1,2)，得a6＝eq \f(1,2)；
由a5＝eq \f(1,2)，a6＝eq \f(1,2)，得a7＝1；
由a6＝eq \f(1,2)，a7＝1，得a8＝2
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以a2019＝a3＝2.
答案：2
8．解析：可依次代入项数进行求值．
a1＝2，a2＝eq \f(2,1－2)＝－2，a3＝eq \f(－2,1－（－2）)＝－eq \f(2,3)，
a4＝eq \f(－\f(2,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))))＝－eq \f(2,5)，a5＝eq \f(－\f(2,5),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5))))＝－eq \f(2,7).
即数列{an}的前5项为2，－2，－eq \f(2,3)，－eq \f(2,5)，－eq \f(2,7).
也可写为eq \f(－2,－1)，eq \f(－2,1)，eq \f(－2,3)，eq \f(－2,5)，eq \f(－2,7).
即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以
an＝－eq \f(2,2n－3)(n∈N＋).
9．解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[(n－1)2－4(n－1)]＝2n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＝－3满足上式，
所以an＝2n－5.
(2)Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，
结合二次函数的性质可知当n＝2时，Sn有最小值－4，无最大值．
10．解析：∵(n＋1)a eq \\al(2,n＋1) －na eq \\al(2,n) ＋an＋1an＝0，
∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.
又∵an>0，∴an＋1＋an>0.∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
即eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1).
∴eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·…·eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(n－1,n).
∴eq \f(an,a1)＝eq \f(1,n).又a1＝1，∴an＝eq \f(1,n).