2023-2024学年云南省下关第一中学高二上学期12月月考数学word版含答案

这是一份2023-2024学年云南省下关第一中学高二上学期12月月考数学word版含答案，文件包含数学试题docx、数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

试卷满分150分考试时间120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.
【答案】D
2.
【答案】C
3.
【答案】B
4.
【答案】A
5.
【答案】A
6.
【答案】D
7.
【答案】B
8.
【答案】B
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.
【答案】AC
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ABC
12.
【答案】ACD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
【答案】18
14.
【答案】（满足即可）
15.
【答案】##
16.
【答案】239
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知数列满足，且成等比数列，
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.
【答案】（1）
（2） 最小值为,
【解析】
【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式；
（2）求出，求出最小值及的值.
【小问1详解】
由知为等差数列，设的公差为，则，
成等比数列，所以，即，
解得，又，所以的通项公式为；
【小问2详解】
由(1)得，
所以当时，取得最小值，最小值为.
18. 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．
【答案】（1），
（2）估计众数70，分位数为
（3）
【解析】
【分析】（1）由第三、四、五组的频率之和为0.7，各组频率之和为，建立方程组求解；
（2）由频率分布直方图可知最高的矩形组为第三组，取中点可得众数，求前两组与前三组频率之和，确定第分位数所在组，再由比例关系求解；
（3）由抽样比可得两组选取人数，列举法得，，再由古典概型概率公式可求.
【小问1详解】
由题意可知：，，
解得，；
【小问2详解】
由频率分布直方图估计众数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
则估计第分位数为；
【小问3详解】
根据分层抽样，和的频率比为
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和
则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有
共10个，
即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含的样本点有
共4个，即，
所以.
19. 如图，在四棱锥中，平面，，E是棱PB上一点．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若E是PB的中点，求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
因为，
取中点M，连接CM，则，
,,所以,
即,
又平面ABCD，平面ABCD，所以，
且平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面PBC；
【小问2详解】
以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，
因为E是PB的中点,则
所以．
设平面EAC的法向量为，
则即，令，则
所以平面EAC的法向量为，
显然，平面PDC的法向量为.
设平面PDC和平面EAC的夹角为，为锐角
则．
故平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为．
20. 在中，的对边分别为.
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得结果；
（2）设，把表示成两个三角形的面积和，表示出，再求其取值范围；
【小问1详解】
已知，
由正弦定理可得，
，
，
，
，即，
.
【小问2详解】
由（1）知，由，则.
设，，
，，
.
21. 已知数列的前项和为，且．
（1）求证：是等比数列；
（2）若，数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用数列通项与前n项和的关系，当时，解得，当时，由得到，两式相减得到，再利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得，进而得到，利用放缩法得，再利用等比数列前n和公式求解.
【小问1详解】
当时，，解得，
当时，由，
得，
两式相减并整理得，即，
∴是首项为3，公比为3的等比数列；
【小问2详解】
由（1）可得：，
，
当时，，
则，所以，
，
∴，
所以.
22. 已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）曲线与轴的两个交点为，，过点的直线与曲线交与，两点(注：点，与，不重合），设直线，的斜率分别是，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆的方程得出其圆心与半径，利用中垂线的性质得出，即可得出，根据椭圆的定义得出点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，即可得出答案；
（2）由（1）得出的曲线的方程得出点，的坐标，设过点的直线为，，，联立直线与椭圆方程根据韦达定理得出，，即可得出，再根据两点的斜率公式得出，即可化简代入得出答案.
【小问1详解】
由，得，
所以圆心为，半径为4，
连接，由是线段的中垂线，得，
所以，又，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，
所以，，，所求曲线的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，
设过点的直线为，，，
联立和，
消去，整理得，,
，，
从而，
．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，得到韦达定理式，再化积为和得，再代入计算的值即可.