2023-2024学年云南省下关第一中学高二上学期见面考试数学试题含答案

2023-2024学年云南省下关第一中学高二上学期见面考试数学试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（     ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.

【详解】命题“”的否定是“，”.

故选：C

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由诱导公式以及商数关系求解即可.

【详解】，则.

故选：D

3．欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】由欧拉公式化简复数z，再由复数的定义即可得出答案.

【详解】因为，

因为，所以z的虚部为.

故选：D.

4．如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用相等向量的定义判断选项AB，利用平面向量的三角形法则判断CD．

【详解】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；

对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；

对于C，利用三角形法则知，故C错误；

对于D，利用三角形法则知，故D正确；

故选：D

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断可.

【详解】因为，

所以，

故选：A

6．设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（     ）

A．8 B．4 C．16 D．12

【答案】A

【分析】先根据，得到，再根据，得到，进而求出的取值范围，再根据，即可求解．

【详解】因为，所以，所以，

由，所以，化简得到，

所以，则，当且仅当时，等号成立，

所以，则的最小值为.

故选：A．

7．已知函数，则下列说法错误的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的值域为

C．点是函数的图象的一个对称中心

D．

【答案】D

【分析】根据解析式，求出的周期和值域以及对称中心，判断出和的正负，从而得到答案.

【详解】A：因为，

所以函数的最小正周期，故A正确.

B：由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确.

C：由，，

得，，

当时，，

所以点是函数的图象的一个对称中心，故C正确.

D：因为，

，

所以，故D不正确.

故选：D.

8．已知，定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，给出下列四个结论，不正确结论的是（    ）

A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有两个解

C．方程有且仅有五个解 D．方程有且仅有一个解

【答案】B

【分析】根据函数图象判断复合函数的零点情况，即可判断各项的正误.

【详解】A：由题意时，或或，

故时，则或或，

，则，又在上单调递减，

故都有唯一解，即有且仅有三个解，正确；

B：由图知时，故时，而，

由图象知有一个解，即有且仅有一个解，不正确；

C：时，或或，

由得：或或，而，

，故和各有唯一解，有3个解，

故有且仅有五个解，正确；

D：时，由得，而在上单调递减，

故有唯一解，故有且仅有一个解，正确.

故选：B

二、多选题

9．给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则关于这组数据，下列说法正确的是（    ）

A．中位数为3 B．方差为

C．众数为2和3 D．第85%分位数为4.5

【答案】AC

【分析】先将这组数从小到大排序，易判断AC；先求平均数再求方差，从而判断B；利用百分位数的求解即可判断D.

【详解】将数据从小到大排序为，，，，，，，，，，

故中位数为，故A正确；

平均数为，

则方差为，故B错误；

众数为和，故C正确；

这组数据的第百分位数为，不是整数，故取第9个数字，第9个数字为，故D错误.

故选：AC.

10．以下结论正确的是（    ）

A．“事件，互斥"是“事件，对立”的充分不必要条件.

B．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“第二次出现偶数点”，则与相互独立

C．假设，，且与相互独立，则

D．若，，则事件，相互独立与事件，互斥不能同时成立

【答案】BD

【分析】根据互斥事件、对立事件的概念判断A，根据相互独立事件的概念判断B，根据和事件的概率公式判断C，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式判断D.

【详解】对于A：由事件，互斥得不到事件，对立，故充分性不成立，

由事件，对立一定可以得到事件，互斥，故必要性成立，

所以“事件，互斥"是“事件，对立”的必要不充分条件，故A错误；

对于B：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“第二次出现偶数点”，

因为是掷两枚质地均匀的骰子，事件，可以同时出现，因此二者不互斥，不对立，

事件的发生与否不影响事件的发生，故这两事件相互独立，故B正确；

对于C：因为，且与相互独立，

所以，故C错误；

对于D：因为，，

若事件、相互独立，则，所以事件、不互斥，

若事件、互斥，则，又，

所以，则事件、不相互独立，

即，，则事件，相互独立与事件，互斥不能同时成立，故D正确.

故选：BD

11．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，点横坐标为12，点坐标为点横坐标为128．则下面说法中正确的是（    ）

A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件

C．点的横坐标是200 D．的最大值是216

【答案】ACD

【分析】甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；设的坐标为，由题得，则有，解可得，所以选项C正确；当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.

【详解】根据题意，甲一共加工的时间为分钟，

一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确，

设的坐标为，

在区间和，20 上，都是乙在加工，则直线和的斜率相等，

则有，

在区间和上，甲乙同时加工，同理可得，

则，

则有，解可得；

即点的坐标是，所以选项C正确；

由题得乙每分钟加工的零件数为个，

所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，

在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；

当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.

故选：ACD

12．如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，则（    ）

A．平面平面AMCD

B．线段CN的长为定值

C．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球表面积为

D．直线AM和CN所成的角始终为

【答案】ABD

【分析】对于A，由已知可得△ABC为等边三角形，则，由翻折性质知，平面，再由面面垂直的判定可得结论，对于B，取AD中点E，由三角形中位线定理可得，，由等角定理得，然后在△NEC中由余弦定理可求出CN长，对于C，由题意可知将三棱锥的顶点放置在长宽高分别为2，，1的长方体的顶点处，从而可求出其外接球的半径，进而可求出球的表面积，对于D，利用异面直线夹角定义即可得到答案.

【详解】对于A，如图所示，在菱形ABCD中，，，所以△ABC为等边三角形，

又M是BC的中点，所以，由翻折性质知，又因为，平面，，

所以平面，因为平面AMCD，所以平面平面AMCD，故A正确；

对于B，如图所示，取AD中点E，则，，在菱形ABCD中，

因为，所以四边形为平行四边形，

所以，，

因为和的两边方向相同，

则由等角定理得，在△NEC中，

由余弦定理可得，

所以，即CN长为定值，故B正确；

对于C，由题意可知当平面平面AMD时，三棱锥的体积最大，

由A项已证知此时平面AMD，易知，所以，

故可将三棱锥的顶点放置在长宽高分别为2，，1的长方体的顶点处，

此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，

则长方体的外接球半径，表面积为，故C错误；

对于D，因为，则直线AM和CN所成的角为或其补角，

因为，，故D正确.

故选：ABD．

【点睛】关键点睛：本题B选项的关键是多次利用余弦定理求出，C选项的关键是通过将棱锥放置于长方体中以便减少运算.

三、填空题

13．计算的值为           .

【答案】/

【分析】由对数的运算性质求解，

【详解】原式，

故答案为：

14．已知角的终边经过点，则的值等于      .

【答案】

【解析】根据三角函数定义求出、的值，由此可求得的值.

【详解】由三角函数的定义可得，，

因此，.

故答案为：.

15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积的最大值为           ．

【答案】

【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可．

【详解】在中，，，

，即，

因为，所以，当且仅当时等号成立，

则，当且仅当时等号成立，

即的面积的最大值为.

故答案为：．

16．如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，.设 是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为        .

【答案】1

【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，再由三棱锥的体积公式可得，由乘1法和基本不等式，可得，由不等式恒成立思想，解不等式可得的最小值．

【详解】解：在三棱锥中，、、两两垂直，且，，，

可得平面，

则，

由题意可得，即，

恒成立，等价为，

由

，

当且仅当时，上式取得等号．

所以，

解得，即的最小值为1，

故答案为：．

四、解答题

17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

(1)请将数据补充完整；函数的解析式为＝_______（直接写出结果即可）；

(2)求函数的单调递增区间．

【答案】(1)表格见解析，；

(2).

【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊值求出φ的值，可得函数的解析式，并补充表格数据即可；

（2）利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．

【详解】（1）把表格补充完整如下所示：

根据表格可得，∴ω＝2．

又函数的最大值为，，故；

再根据五点法作图可得2，∴φ，

∴函数的解析式为：.

（2）令2kπ2x2kπ，求得 kπx≤kπ,，

故可得函数的单调递增区间为[kπ，kπ]，．

18．400名大学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)在频率分布直方图中，求分数小于70的频率；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内人数；

(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图求得分数不小于的频率为，进而求得样本中分数小于的频率；

（2）根据题意，求得样本中分数不小于50的频率为，得到分数在区间内的人数为，进而求得总体中分数在区间内的人数；

（3）根据题意分别求得样本中的男生和女生人数，得到男生和女生人数的比例，结合分层抽样的概念，即可求解.

【详解】（1）解：根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为

所以样本中分数小于的频率为.

（2）解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为，

分数在区间内的人数为.

所以总体中分数在区间内的人数估计为.

（3）解：由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，

所以样本中分数不小于70的男生人数为.

所以样本中的男生人数为，女生人数为，

男生和女生人数的比例为.

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.

19．的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

【答案】(1) ;(2).

【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.

(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.

【详解】(1)

[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】

由三角形的内角和定理得，

此时就变为．

由诱导公式得，所以．

在中，由正弦定理知，

此时就有，即，

再由二倍角的正弦公式得，解得．

[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】

由解法1得，

两边平方得，即．

又，即，所以，

进一步整理得，

解得，因此．

[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】

根据题意，由正弦定理得，

因为，故，

消去得．

，，因为故或者，

而根据题意，故不成立，所以，

又因为，代入得，所以.

(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】

因为是锐角三角形，又，所以，

则．

因为，所以，则，

从而，故面积的取值范围是．

[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】

由题设及（1）知的面积．

因为为锐角三角形，且，

所以即

又由余弦定理得，所以即，

所以，故面积的取值范围是．

[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】

如图1，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．

由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，

所以点C位于在线段上且不含端点，从而，

即，即，所以，

故面积的取值范围是．

【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；

方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；

方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.

(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；

方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；

方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.

20．某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛．

(1)求恰好抽到2名男生的概率；

(2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为，女生乙答对每道题的概率均为，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响，求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，由相互独立事件的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）记3名男生分别为，，，2名女生分别为，，则随机抽取2名同学的样本空间

，

共10种；

记事件 “恰好抽到2名男生”，

则事件共3种；

∴．

（2）设事件 “甲答对2道题”，事件“乙只答对1道题”，

根据独立性假定，得

，

，

∴，

所以，甲答对2道且乙只答对1道题的概率是．

21．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点.

(1)求证：平面；

(2)在棱上是否存在点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)在棱上存在点，使得，.

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点和向量的坐标，设点M坐标并用参数表示，利用向量垂直的坐标表示可求得参数的值，即可得出结论，求得答案.

【详解】（1）设交与点F，连接，

因为底面为矩形，所以F为的中点，

又为中点，故，

而平面，平面，

故平面；

（2）在棱上存在点，使得；

取的中点为O，连接,

因为底面为矩形，故，

，故O为的中点，则，而F为的中点，

故；

又平面平面，平面，平面平面，

故平面，

故以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

设，则，

即，则，可得，

故，

因为，故，即，

解得，

即在棱上存在点，使得，此时.

22．定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立.

(1)求的值；

(2)判断并证明的单调性；

(3)当时，解关于x的不等式.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)答案见解析

【分析】（1）令可得；

（2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；任取且，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定的单调性；

（3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集.

【详解】（1）令，则, 可得；

（2）在上单调递减，证明如下：

由已知，对于有成立，，

令，则，

所以，对有，故是奇函数，

任取且，则，由已知有，

又，得

所以在上是减函数；

（3）因为，

所以，

即，

因为在上是减函数，

所以， 即，又，

所以，

当时，即时，原不等式的解集为；

当时，即时，原不等式的解集为；

当时，即时，原不等式的解集为.

综上所述：当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

【点睛】方法点睛：函数不等式的解法通常是利用函数单调性，脱去抽象符合“”,转化为一般不等式求解，所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质，如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决.